V geometrii je po bode priama čiara možno tým najjednoduchším prvkom. Používa sa pri konštrukcii akýchkoľvek zložitých postáv v rovine a v trojrozmernom priestore. V tomto článku zvážime všeobecnú rovnicu priamky a pomocou nej vyriešime niekoľko problémov. Začnime!
Priama čiara v geometrii
Každý vie, že tvary ako obdĺžnik, trojuholník, hranol, kocka a podobne vznikajú pretínajúcimi sa priamkami. Priamka v geometrii je jednorozmerný objekt, ktorý možno získať prenesením určitého bodu do vektora, ktorý má rovnaký alebo opačný smer. Pre lepšie pochopenie tejto definície si predstavte, že v priestore je nejaký bod P. Vezmite ľubovoľný vektor u v tomto priestore. Potom je možné získať ľubovoľný bod Q na priamke ako výsledok nasledujúcich matematických operácií:
Q=P + λu¯.
Tu je λ ľubovoľné číslo, ktoré môže byť kladné alebo záporné. Ak rovnosťnapíšte vyššie z hľadiska súradníc, potom dostaneme nasledujúcu rovnicu priamky:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Táto rovnosť sa nazýva rovnica priamky vo vektorovom tvare. A vektor u¯ sa nazýva sprievodca.
Všeobecná rovnica priamky v rovine
Každý študent si to môže bez problémov zapísať. Ale najčastejšie sa rovnica píše takto:
y=kx + b.
Kde k a b sú ľubovoľné čísla. Číslo b sa nazýva voľný člen. Parameter k sa rovná dotyčnici uhla vytvoreného priesečníkom priamky s osou x.
Vyššie uvedená rovnica je vyjadrená vzhľadom na premennú y. Ak to uvedieme vo všeobecnejšej forme, dostaneme nasledujúci zápis:
Ax + By + C=0.
Je ľahké ukázať, že táto forma zápisu všeobecnej rovnice priamky na rovine sa ľahko transformuje do predchádzajúcej formy. Na to je potrebné ľavú a pravú časť vydeliť faktorom B a vyjadriť y.
Obrázok vyššie ukazuje priamku prechádzajúcu cez dva body.
Čiara v 3D priestore
Pokračujme v štúdiu. Zvažovali sme otázku, ako je rovnica priamky vo všeobecnom tvare daná na rovine. Ak použijeme označenie uvedené v predchádzajúcom odseku článku pre priestorový prípad, čo dostaneme? Všetko je jednoduché – už nie priamka, ale rovina. V skutočnosti nasledujúci výraz opisuje rovinu, ktorá je rovnobežná s osou z:
Ax + By + C=0.
Ak C=0, tak takáto rovina prejdecez os z. Toto je dôležitá funkcia.
Ako teda byť so všeobecnou rovnicou priamky v priestore? Aby ste pochopili, ako sa to opýtať, musíte si niečo zapamätať. Dve roviny sa pretínajú pozdĺž určitej priamky. Čo to znamená? Jedine, že všeobecná rovnica je výsledkom riešenia sústavy dvoch rovníc pre roviny. Napíšme tento systém:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Tento systém je všeobecná rovnica priamky v priestore. Všimnite si, že roviny nesmú byť navzájom rovnobežné, to znamená, že ich normálové vektory musia byť voči sebe naklonené pod určitým uhlom. V opačnom prípade nebude mať systém žiadne riešenia.
Vyššie sme uviedli vektorový tvar rovnice pre priamku. Je vhodné použiť pri riešení tohto systému. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr nájsť vektorový súčin normál týchto rovín. Výsledkom tejto operácie bude smerový vektor priamky. Potom by sa mal vypočítať akýkoľvek bod patriaci do priamky. Aby ste to dosiahli, musíte ľubovoľnú premennú nastaviť na určitú hodnotu, zvyšné dve premenné nájdete riešením redukovaného systému.
Ako preložiť vektorovú rovnicu na všeobecnú? Nuansy
Toto je skutočný problém, ktorý môže nastať, ak potrebujete napísať všeobecnú rovnicu priamky pomocou známych súradníc dvoch bodov. Ukážme si, ako sa tento problém rieši na príklade. Nech sú známe súradnice dvoch bodov:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Rovnica vo vektorovej forme sa skladá pomerne jednoducho. Súradnice smerového vektora sú:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Všimnite si, že nie je žiadny rozdiel, ak súradnice Q odpočítame od súradníc bodu P, vektor iba zmení svoj smer na opačný. Teraz by ste mali vziať ľubovoľný bod a zapísať vektorovú rovnicu:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Na napísanie všeobecnej rovnice priamky by mal byť parameter λ vyjadrený v oboch prípadoch. A potom porovnajte výsledky. Máme:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Zostáva len otvoriť zátvorky a preniesť všetky členy rovnice na jednu stranu rovnice, aby sme získali všeobecný výraz pre priamku prechádzajúcu cez dva známe body.
V prípade trojrozmernej úlohy je algoritmus riešenia zachovaný, len jeho výsledkom bude sústava dvoch rovníc pre roviny.
Úloha
Je potrebné vytvoriť všeobecnú rovnicupriamka, ktorá pretína os x v bode (-3, 0) a je rovnobežná s osou y.
Začnime riešiť problém napísaním rovnice vo vektorovej forme. Keďže priamka je rovnobežná s osou y, smerový vektor pre ňu bude nasledujúci:
u¯=(0, 1).
Potom bude požadovaný riadok napísaný takto:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Teraz preložme tento výraz do všeobecnej formy, na tento účel vyjadríme parameter λ:
- x=-3;
- y=λ.
Akákoľvek hodnota premennej y teda patrí do riadku, ale zodpovedá jej iba jediná hodnota premennej x. Všeobecná rovnica teda bude mať tvar:
x + 3=0.
Problém s rovnou čiarou v priestore
Je známe, že dve pretínajúce sa roviny sú dané nasledujúcimi rovnicami:
- 2x + y - z=0;
- x – 2y + 3=0.
Je potrebné nájsť vektorovú rovnicu priamky, pozdĺž ktorej sa tieto roviny pretínajú. Začnime.
Ako bolo povedané, všeobecná rovnica priamky v trojrozmernom priestore je už daná vo forme systému dvoch s tromi neznámymi. Najprv určíme smerový vektor, pozdĺž ktorého sa roviny pretínajú. Vynásobením vektorových súradníc normál k rovinám dostaneme:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Keďže násobenie vektora záporným číslom obráti jeho smer, môžeme písať:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Komuak chcete nájsť vektorový výraz pre priamku, okrem smerového vektora by ste mali poznať aj nejaký bod tejto priamky. Nájdite, keďže jeho súradnice musia spĺňať sústavu rovníc v podmienke úlohy, potom ich nájdeme. Napríklad, dajme x=0, potom dostaneme:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Bod patriaci do požadovanej priamky má teda súradnice:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Potom dostaneme odpoveď na tento problém, vektorová rovnica požadovanej čiary bude vyzerať takto:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Správnosť riešenia sa dá ľahko skontrolovať. Na to je potrebné zvoliť ľubovoľnú hodnotu parametra λ a získané súradnice bodu priamky dosadiť do oboch rovníc pre roviny, v oboch prípadoch získate identitu.
