Dôležitým pojmom v matematike je funkcia. S jeho pomocou môžete vizualizovať mnohé procesy vyskytujúce sa v prírode, odrážať vzťah medzi určitými veličinami pomocou vzorcov, tabuliek a obrázkov v grafe. Príkladom je závislosť tlaku vrstvy kvapaliny na teleso od hĺbky ponorenia, zrýchlenie - od pôsobenia určitej sily na predmet, zvýšenie teploty - od odovzdanej energie a mnohé ďalšie procesy. Štúdium funkcie zahŕňa konštrukciu grafu, objasnenie jeho vlastností, rozsahu a hodnôt, intervalov nárastu a poklesu. Dôležitým bodom v tomto procese je nájdenie extrémnych bodov. O tom, ako to urobiť správne, a konverzácia bude pokračovať.
O samotnom koncepte na konkrétnom príklade
V medicíne môže vykreslenie funkčného grafu vypovedať o postupe choroby v tele pacienta, pričom vizuálne odráža jeho stav. Predpokladajme, že čas v dňoch je vynesený pozdĺž osi OX a teplota ľudského tela je vynesená pozdĺž osi OY. Obrázok jasne ukazuje, ako tento ukazovateľ prudko stúpa apotom to padne. Je tiež ľahké si všimnúť singulárne body, ktoré odrážajú momenty, keď funkcia, ktorá sa predtým zvýšila, začína klesať a naopak. Toto sú extrémne body, teda kritické hodnoty (maximum a minimum) v tomto prípade teploty pacienta, po ktorých nastanú zmeny v jeho stave.
Uhol naklonenia
Z obrázku je ľahké určiť, ako sa mení derivácia funkcie. Ak priame čiary grafu časom stúpajú, je to pozitívne. A čím sú strmšie, tým väčšia je hodnota derivácie, pretože uhol sklonu sa zvyšuje. Počas obdobia poklesu táto hodnota nadobúda záporné hodnoty, v extrémnych bodoch sa mení na nulu a graf derivácie v druhom prípade je nakreslený rovnobežne s osou OX.
Akýkoľvek iný proces by sa mal riešiť rovnakým spôsobom. Ale to najlepšie na tomto koncepte dokáže povedať pohyb rôznych telies, jasne znázornený na grafoch.
Pohyb
Predpokladajme, že sa nejaký objekt pohybuje priamočiaro a rovnomerne naberá rýchlosť. V tomto období zmena súradníc telesa graficky predstavuje určitú krivku, ktorú by matematik nazval vetvou paraboly. Zároveň sa funkcia neustále zvyšuje, pretože súradnicové ukazovatele sa menia každou sekundou rýchlejšie a rýchlejšie. Rýchlostný graf ukazuje správanie derivácie, ktorej hodnota tiež rastie. To znamená, že pohyb nemá žiadne kritické body.
Pokračovalo by to na neurčito. Ale ak sa telo náhle rozhodne spomaliť, zastavte sa a začnite sa pohybovať v inomsmer? V tomto prípade začnú klesať súradnicové ukazovatele. A funkcia prekoná kritickú hodnotu a zmení sa z rastúcej na klesajúcu.
V tomto príklade môžete opäť pochopiť, že extrémne body na grafe funkcií sa objavujú v momentoch, keď prestáva byť monotónny.
Fyzikálny význam derivátu
Popísané vyššie jasne ukázalo, že derivácia je v podstate miera zmeny funkcie. Toto spresnenie obsahuje svoj fyzický význam. Extrémne body sú kritické oblasti na mape. Je možné ich zistiť a odhaliť výpočtom hodnoty derivácie, ktorá sa rovná nule.
Je tu ešte jeden znak, ktorý je postačujúcou podmienkou pre extrém. Derivácia v takýchto miestach inflexie mení svoje znamienko: z „+“na „-“v oblasti maxima a z „-“na „+“v oblasti minima.
Pohyb pod vplyvom gravitácie
Predstavme si inú situáciu. Deti hrajúce loptu hádzali tak, že sa začala pohybovať šikmo k horizontu. V počiatočnom momente bola rýchlosť tohto objektu najväčšia, ale vplyvom gravitácie začala klesať a s každou sekundou o rovnakú hodnotu, rovnajúcu sa približne 9,8 m/s2. Ide o hodnotu zrýchlenia, ktoré vzniká vplyvom zemskej príťažlivosti pri voľnom páde. Na Mesiaci by bol asi šesťkrát menší.
Graf popisujúci pohyb tela je parabola s vetvami,smerom nadol. Ako nájsť extrémne body? V tomto prípade ide o vrchol funkcie, kde rýchlosť telesa (lopty) nadobúda nulovú hodnotu. Derivácia funkcie sa stane nulou. V tomto prípade sa smer a tým aj hodnota rýchlosti zmení na opačný. Telo letí dole každou sekundou rýchlejšie a rýchlejšie a zrýchľuje sa o rovnakú rýchlosť - 9,8 m/s2.
Druhý derivát
V predchádzajúcom prípade je graf rýchlostného modulu nakreslený ako priamka. Táto čiara smeruje najskôr nadol, pretože hodnota tejto veličiny neustále klesá. Po dosiahnutí nuly v jednom z časových bodov sa ukazovatele tejto hodnoty začnú zvyšovať a smer grafického znázornenia rýchlostného modulu sa dramaticky zmení. Čiara teraz smeruje nahor.
Rýchlosť, ktorá je časovou deriváciou súradnice, má tiež kritický bod. V tejto oblasti sa funkcia, spočiatku klesajúca, začína zvyšovať. Toto je miesto krajného bodu derivácie funkcie. V tomto prípade sa sklon dotyčnice stane nulovým. A zrýchlenie, ktoré je druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas, zmení znamienko z „-“na „+“. A pohyb z rovnomerne pomalého sa stáva rovnomerne zrýchlený.
Tabuľka zrýchlenia
Teraz pouvažujte nad štyrmi obrázkami. Každý z nich zobrazuje graf časovej zmeny takej fyzikálnej veličiny, akou je zrýchlenie. V prípade „A“zostáva jeho hodnota kladná a konštantná. To znamená, že rýchlosť tela, rovnako ako jeho súradnice, sa neustále zvyšuje. Akpredstavte si, že objekt sa bude takto pohybovať nekonečne dlho, ukáže sa, že funkcia odrážajúca závislosť súradnice od času bude neustále narastať. Z toho vyplýva, že nemá žiadne kritické regióny. Na grafe derivácie tiež nie sú žiadne extrémne body, to znamená lineárne sa meniaca rýchlosť.
To isté platí pre prípad „B“s pozitívnym a neustále sa zvyšujúcim zrýchlením. Je pravda, že grafy súradníc a rýchlosti tu budú trochu komplikovanejšie.
Keď má zrýchlenie tendenciu k nule
Pri pohľade na obrázok „B“môžete vidieť úplne iný obrázok, ktorý charakterizuje pohyb tela. Jeho rýchlosť bude graficky znázornená ako parabola s vetvami smerujúcimi nadol. Ak budeme pokračovať v čiare opisujúcej zmenu zrýchlenia, až kým sa nepretne s osou OX a ďalej, potom si môžeme predstaviť, že až do tejto kritickej hodnoty, kde sa zrýchlenie rovná nule, sa rýchlosť objektu zvýši. stále pomalšie. Extrémny bod derivácie súradnicovej funkcie bude práve na vrchole paraboly, potom telo radikálne zmení povahu pohybu a začne sa pohybovať opačným smerom.
V druhom prípade, „G“, nie je možné presne určiť povahu pohybu. Tu vieme len to, že na nejaké uvažované obdobie nie je žiadne zrýchlenie. To znamená, že objekt môže zostať na mieste alebo sa pohyb uskutočňuje konštantnou rýchlosťou.
Úloha koordinovať pridávanie
Prejdime k úlohám, ktoré sa často vyskytujú pri štúdiu algebry v škole a ponúkajú sapríprava na skúšku. Na obrázku nižšie je znázornený graf funkcie. Je potrebné vypočítať súčet extrémnych bodov.
Urobme to pre os y určením súradníc kritických oblastí, kde je pozorovaná zmena charakteristík funkcie. Jednoducho povedané, nájdeme hodnoty pozdĺž osi x pre inflexné body a potom pokračujeme v pridávaní výsledných výrazov. Podľa grafu je zrejmé, že nadobúdajú nasledovné hodnoty: -8; -7; -5; -3; -2; jeden; 3. To je výsledok -21, čo je odpoveď.
Optimálne riešenie
Nie je potrebné vysvetľovať, aký dôležitý môže byť výber optimálneho riešenia pri plnení praktických úloh. Koniec koncov, existuje veľa spôsobov, ako dosiahnuť cieľ, a najlepší spôsob, ako sa dostať, je spravidla iba jeden. To je mimoriadne potrebné napríklad pri navrhovaní lodí, kozmických lodí a lietadiel, architektonických štruktúr na nájdenie optimálneho tvaru týchto umelých predmetov.
Rýchlosť vozidiel do značnej miery závisí od kompetentnej minimalizácie odporu, ktorý zažívajú pri pohybe vodou a vzduchom, od preťaženia vznikajúceho pod vplyvom gravitačných síl a mnohých ďalších ukazovateľov. Loď na mori potrebuje také vlastnosti, ako je stabilita počas búrky, pre riečnu loď je dôležitý minimálny ponor. Pri výpočte optimálneho návrhu môžu extrémne body na grafe vizuálne poskytnúť predstavu o najlepšom riešení zložitého problému. Úlohy tohto druhu sú častosa riešia v ekonomike, v ekonomických oblastiach, v mnohých iných životných situáciách.
Z dávnej histórie
Extrémne problémy trápili aj starých mudrcov. Grécki vedci úspešne odhalili záhadu plôch a objemov prostredníctvom matematických výpočtov. Ako prví pochopili, že na rovine rôznych útvarov s rovnakým obvodom má kruh vždy najväčšiu plochu. Podobne je guľa vybavená maximálnym objemom medzi ostatnými objektmi v priestore s rovnakou plochou. Riešeniu takýchto problémov sa venovali také známe osobnosti ako Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius. Pri hľadaní extrémnych bodov sa veľmi dobre darilo Heronovi, ktorý sa uchýlil k výpočtom a zostrojil dômyselné zariadenia. Patrili sem automatické stroje pohybujúce sa pomocou pary, čerpadlá a turbíny fungujúce na rovnakom princípe.
Výstavba Kartága
Existuje legenda, ktorej zápletka je založená na riešení jedného z extrémnych problémov. Výsledkom obchodného prístupu, ktorý predvádzala fénická princezná, ktorá sa obrátila na mudrcov o pomoc, bola výstavba Kartága. Pozemok pre toto starobylé a slávne mesto predložil Didovi (tak sa volal vládca) vodca jedného z afrických kmeňov. Plocha pozemku sa mu spočiatku nezdala príliš veľká, pretože podľa zmluvy mala byť pokrytá volskou kožou. Ale princezná prikázala svojim vojakom, aby ho nakrájali na tenké pásiky a vytvorili z nich opasok. Ukázalo sa, že je taký dlhý, že pokrýval stránku,kam sa zmestí celé mesto.
Počiatky kalkulu
A teraz sa prenesme z dávnych čias do neskoršej doby. Zaujímavosťou je, že v 17. storočí Keplera podnietilo k pochopeniu základov matematickej analýzy stretnutie s predajcom vína. Obchodník sa vo svojej profesii vyznal tak dobre, že dokázal ľahko určiť objem nápoja v sude jednoduchým spustením železného turniketu. Vzhľadom na takúto zvedavosť sa slávnemu vedcovi podarilo vyriešiť túto dilemu pre seba. Ukazuje sa, že šikovní debnári tej doby sa naučili vyrábať nádoby tak, že pri určitej výške a polomere obvodu upevňovacích krúžkov by mali maximálnu kapacitu.
Toto bolo pre Keplera dôvodom na ďalšie uvažovanie. Bochars dospel k optimálnemu riešeniu dlhým hľadaním, chybami a novými pokusmi, odovzdávaním skúseností z generácie na generáciu. Ale Kepler chcel tento proces urýchliť a naučiť sa to isté v krátkom čase pomocou matematických výpočtov. Celý jeho vývoj, zachytený kolegami, sa zmenil na dnes známe Fermatove a Newtonove teorémy - Leibniz.
Problém s maximálnou oblasťou
Predstavme si, že máme drôt s dĺžkou 50 cm. Ako z neho urobiť obdĺžnik s najväčšou plochou?
Pri rozhodovaní by ste mali vychádzať z jednoduchých a známych právd. Je jasné, že obvod našej postavy bude 50 cm. Tiež pozostáva z dvojnásobnej dĺžky oboch strán. To znamená, že po označení jedného z nich ako „X“môže byť druhý vyjadrený ako (25 – X).
Odtiaľtoplocha rovnajúca sa X (25 - X). Tento výraz môže byť reprezentovaný ako funkcia, ktorá nadobúda mnoho hodnôt. Riešenie problému si vyžaduje nájsť ich maximum, čo znamená, že by ste mali zistiť extrémne body.
Na to nájdeme prvú deriváciu a prirovnáme ju k nule. Výsledkom je jednoduchá rovnica: 25 – 2X=0.
Z toho sa dozvedáme, že jedna zo strán X=12, 5.
Preto ďalšie: 25 – 12, 5=12, 5.
Ukazuje sa, že riešením problému bude štvorec so stranou 12,5 cm.
Ako zistiť maximálnu rýchlosť
Uvažujme ešte jeden príklad. Predstavte si, že existuje teleso, ktorého priamočiary pohyb je opísaný rovnicou S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kde vzdialenosť prejdená vzdialenosť je vyjadrená v metroch a čas je v sekundách. Je potrebné nájsť maximálnu rýchlosť. Ako to spraviť? Stiahnuté nájdite rýchlosť, teda prvú deriváciu.
Dostaneme rovnicu: V=- 3t2 + 18t – 24. Teraz, aby sme problém vyriešili, musíme opäť nájsť extrémne body. Toto sa musí vykonať rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcej úlohe. Nájdite prvú deriváciu rýchlosti a prirovnajte ju k nule.
Dostaneme: - 6t + 18=0. Preto t=3 s. Toto je čas, keď rýchlosť tela nadobudne kritickú hodnotu. Získané údaje dosadíme do rýchlostnej rovnice a dostaneme: V=3 m/s.
Ako však pochopiť, že ide presne o maximálnu rýchlosť, pretože kritickými bodmi funkcie môžu byť jej maximálne alebo minimálne hodnoty? Ak chcete skontrolovať, musíte nájsť sekunduderivát rýchlosti. Vyjadruje sa ako číslo 6 so znamienkom mínus. To znamená, že nájdený bod je maximum. A v prípade kladnej hodnoty druhej derivácie by ich bolo minimum. Nájdené riešenie sa teda ukázalo ako správne.
Úlohy uvedené ako príklad sú len časťou tých, ktoré možno vyriešiť tým, že dokážeme nájsť extrémne body funkcie. V skutočnosti je ich oveľa viac. A takéto poznanie otvára neobmedzené možnosti pre ľudskú civilizáciu.
