Súdiac podľa popularity požiadavky „Fermatova veta – krátky dôkaz“, tento matematický problém skutočne mnohých zaujíma. Túto vetu prvýkrát vyslovil Pierre de Fermat v roku 1637 na okraji kópie Aritmetiky, kde tvrdil, že má riešenie, ktoré je príliš veľké na to, aby sa zmestilo na okraj.
Prvý úspešný dôkaz bol publikovaný v roku 1995 – bol to úplný dôkaz Fermatovej vety od Andrewa Wilesa. Bol opísaný ako „ohromujúci pokrok“a viedol Wilesa k získaniu Abelovej ceny v roku 2016. Hoci je dôkaz Fermatovej vety opísaný pomerne stručne, dokázal tiež veľa z vety o modularite a otvoril nové prístupy k mnohým ďalším problémom a efektívnym metódam zdvíhania modularity. Tieto úspechy posunuli matematiku o 100 rokov do budúcnosti. Dôkaz Fermatovej malej vety dnes nie jeje niečo neobvyklé.
Nevyriešený problém podnietil rozvoj algebraickej teórie čísel v 19. storočí a hľadanie dôkazu vety o modularite v 20. storočí. Toto je jedna z najpozoruhodnejších teorémov v histórii matematiky a až do úplného dôkazu Fermatovej poslednej vety bola v Guinessovej knihe rekordov ako „najťažší matematický problém“, ktorého jednou z čŕt je, že má najväčší počet neúspešných dôkazov.
Historické pozadie
Pytagorova rovnica x2 + y2=z2 má nekonečný počet kladných celočíselné riešenia pre x, y a z. Tieto riešenia sú známe ako pytagorejské trojice. Okolo roku 1637 Fermat napísal na okraj knihy, že všeobecnejšia rovnica a + b =cnemá žiadne riešenia v prirodzených číslach, ak n je celé číslo väčšie ako 2. Hoci sám Fermat tvrdil, že má riešenie svojho problému, nezanechal žiadne podrobnosti o jeho dôkaze. Elementárnym dôkazom Fermatovej vety, ktorú tvrdil jej tvorca, bol skôr jeho vychvaľovací vynález. Kniha veľkého francúzskeho matematika bola objavená 30 rokov po jeho smrti. Táto rovnica, nazývaná Fermatova posledná veta, zostala v matematike nevyriešená tri a pol storočia.
Veta sa nakoniec stala jedným z najvýznamnejších nevyriešených problémov v matematike. Pokusy dokázať to spôsobili významný rozvoj teórie čísel as týmČasom sa posledná Fermatova veta stala známou ako nevyriešený problém v matematike.
Stručná história dôkazov
Ak n=4, ako to dokázal sám Fermat, stačí dokázať vetu pre indexy n, ktoré sú prvočíslami. Počas nasledujúcich dvoch storočí (1637-1839) sa dohad potvrdil len pre prvočísla 3, 5 a 7, hoci Sophie Germain aktualizovala a dokázala prístup, ktorý sa aplikoval na celú triedu prvočísel. V polovici 19. storočia Ernst Kummer túto vetu rozšíril a dokázal vetu pre všetky regulárne prvočísla, pričom nepravidelné prvočísla boli analyzované individuálne. Na základe Kummerovej práce a pomocou sofistikovaného počítačového výskumu boli iní matematici schopní rozšíriť riešenie vety s cieľom pokryť všetky hlavné exponenty do štyroch miliónov, ale dôkaz pre všetky exponenty stále nebol k dispozícii (to znamená, že matematici sa zvyčajne považuje riešenie vety za nemožné, mimoriadne ťažké alebo nedosiahnuteľné so súčasnými znalosťami).
Práca Shimuru a Taniyamu
V roku 1955 mali japonskí matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama podozrenie, že existuje spojenie medzi eliptickými krivkami a modulárnymi formami, dvoma veľmi odlišnými odvetviami matematiky. V tom čase známy ako domnienka Taniyama-Shimura-Weyl a (v konečnom dôsledku) ako teorém modularity, existoval sám osebe, bez zjavného spojenia s poslednou Fermatovou vetou. Samotná bola všeobecne považovaná za dôležitú matematickú vetu, ale považovala sa (podobne ako Fermatovu vetu) za nemožné dokázať. Pri tomV tom istom čase bol dôkaz Fermatovej poslednej vety (rozdelením a aplikáciou zložitých matematických vzorcov) vykonaný až o pol storočia neskôr.
V roku 1984 si Gerhard Frey všimol zjavné spojenie medzi týmito dvoma predtým nesúvisiacimi a nevyriešenými problémami. Úplné potvrdenie, že tieto dve vety spolu úzko súvisia, publikoval v roku 1986 Ken Ribet, ktorý vychádzal z čiastočného dôkazu Jeana-Pierra Serru, ktorý dokázal všetky okrem jednej časti, známej ako „hypotéza epsilon“. Jednoducho povedané, tieto práce Freya, Serra a Ribeho ukázali, že ak by sa veta o modulárnosti dala dokázať, aspoň pre semistabilnú triedu eliptických kriviek, potom by sa skôr či neskôr objavil aj dôkaz poslednej Fermatovej vety. Akékoľvek riešenie, ktoré môže byť v rozpore s poslednou Fermatovou vetou, môže byť tiež použité na protirečenie teorému modularity. Preto, ak sa teorém o modulárnosti ukázal ako pravdivý, potom podľa definície nemôže existovať riešenie, ktoré by bolo v rozpore s Fermatovou poslednou vetou, čo znamená, že by malo byť čoskoro dokázané.
Hoci obe vety boli ťažké problémy v matematike, považované za neriešiteľné, práca dvoch Japoncov bola prvým návrhom, ako by sa posledná Fermatova veta dala rozšíriť a dokázať pre všetky čísla, nielen pre niektoré. Pre výskumníkov, ktorí si zvolili tému štúdia, bola dôležitá skutočnosť, že na rozdiel od poslednej Fermatovej vety bola hlavnou aktívnou oblasťou výskumu teorém modularity, pre ktorýboli vyvinuté dôkazy, a to nielen historické zvláštnosti, takže čas strávený jej prácou mohol byť z odborného hľadiska opodstatnený. Všeobecný konsenzus však bol, že riešenie dohadu Taniyama-Shimura sa ukázalo ako nevhodné.
Posledná veta farmy: Wilesov dôkaz
Po zistení, že Ribet dokázal, že Freyova teória je správna, sa anglický matematik Andrew Wiles, ktorý sa o Fermatovu poslednú vetu zaujíma už od detstva a má skúsenosti s prácou s eliptickými krivkami a priľahlými doménami, rozhodol pokúsiť dokázať Taniyama-Shimuru Dohady ako spôsob, ako dokázať poslednú Fermatovu vetu. V roku 1993, šesť rokov po ohlásení svojho cieľa, sa Wilesovi pri tajnej práci na probléme riešenia vety podarilo dokázať súvisiaci dohad, ktorý mu zase pomohol dokázať poslednú Fermatovu vetu. Wilesov dokument bol obrovský čo do veľkosti a rozsahu.
Chyba bola objavená v jednej časti jeho pôvodného článku počas partnerského hodnotenia a vyžadovala si ďalší rok spolupráce s Richardom Taylorom na spoločné vyriešenie vety. Výsledkom bolo, že Wilesov posledný dôkaz Fermatovej poslednej vety na seba nenechal dlho čakať. V roku 1995 bola publikovaná v oveľa menšom rozsahu ako predchádzajúca Wilesova matematická práca, čo ilustruje, že sa vo svojich predchádzajúcich záveroch o možnosti dokázať vetu nemýlil. Wilesov úspech bol široko publikovaný v populárnej tlači a popularizovaný v knihách a televíznych programoch. Zostávajúce časti dohadu Taniyama-Shimura-Weil, ktoré boli teraz preukázané aznáme ako teorém modularity, boli následne dokázané ďalšími matematikmi, ktorí stavali na Wilesovej práci v rokoch 1996 až 2001. Za svoj úspech bol Wiles ocenený a získal množstvo ocenení vrátane Abelovej ceny za rok 2016.
Wilesov dôkaz poslednej Fermatovej vety je špeciálnym prípadom riešenia vety o modulárnosti pre eliptické krivky. Toto je však najznámejší prípad takejto rozsiahlej matematickej operácie. Spolu s riešením Ribeho vety získal britský matematik aj dôkaz poslednej Fermatovej vety. Fermatov posledný teorém a teorém modulárnosti boli modernými matematikmi takmer všeobecne považované za nepreukázateľné, ale Andrew Wiles dokázal vedeckému svetu dokázať, že aj učenci sa môžu mýliť.
Wyles prvýkrát oznámil svoj objav v stredu 23. júna 1993 na prednáške v Cambridge s názvom „Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations“. V septembri 1993 sa však zistilo, že jeho výpočty obsahovali chybu. O rok neskôr, 19. septembra 1994, v čase, ktorý by nazval „najdôležitejším momentom svojho pracovného života“, Wiles narazil na odhalenie, ktoré mu umožnilo vyriešiť problém do bodu, kedy by mohlo uspokojiť matematické otázky. komunita.
Popis práce
Dôkaz Fermatovej vety od Andrewa Wilesa používa mnoho metód z algebraickej geometrie a teórie čísel a má v nich mnoho dôsledkovoblasti matematiky. Používa tiež štandardné konštrukcie modernej algebraickej geometrie, ako je kategória schém a teória Iwasawa, ako aj iné metódy 20. storočia, ktoré Pierre de Fermat nemal k dispozícii.
Dva články obsahujúce dôkazy majú 129 strán a boli napísané v priebehu siedmich rokov. John Coates opísal tento objav ako jeden z najväčších úspechov teórie čísel a John Conway ho označil za hlavný matematický úspech 20. storočia. Wiles, aby dokázal poslednú Fermatovu vetu dokázaním vety o modularite pre špeciálny prípad semistabilných eliptických kriviek, vyvinul výkonné metódy na zdvíhanie modularity a otvoril nové prístupy k mnohým ďalším problémom. Za vyriešenie poslednej Fermatovej vety bol pasovaný za rytiera a získal ďalšie ocenenia. Keď sa zistilo, že Wiles získal Abelovu cenu, Nórska akadémia vied opísala jeho úspech ako „úžasný a elementárny dôkaz poslednej Fermatovej vety.“
Ako to bolo
Jeden z ľudí, ktorí recenzovali Wilesov pôvodný rukopis s riešením vety, bol Nick Katz. V priebehu svojej recenzie položil Britovi niekoľko objasňujúcich otázok, ktoré viedli Wilesa k priznaniu, že jeho práca jasne obsahuje medzeru. V jednej kritickej časti dôkazu sa vyskytla chyba, ktorá poskytla odhad poradia konkrétnej skupiny: Eulerov systém použitý na rozšírenie Kolyvaginovej a Flachovej metódy bol neúplný. Chyba však nespravila jeho prácu zbytočnou – každý diel Wilesovho diela bol sám o sebe veľmi významný a inovatívny, rovnako ako mnohévývoj a metódy, ktoré vytvoril v priebehu svojej práce a ktoré sa dotkli len jednej časti rukopisu. Táto pôvodná práca, publikovaná v roku 1993, však v skutočnosti nemala dôkaz o Fermatovej poslednej vete.
Wyles sa takmer rok pokúšal znovu objaviť riešenie tejto vety, najprv sám a potom v spolupráci so svojím bývalým študentom Richardom Taylorom, no všetko sa zdalo byť márne. Do konca roku 1993 sa šírili fámy, že Wilesov dôkaz zlyhal pri testovaní, ale nebolo známe, aké závažné zlyhanie bolo. Matematici začali vyvíjať nátlak na Wilesa, aby odhalil detaily svojej práce, či už bola vykonaná alebo nie, aby širšia komunita matematikov mohla preskúmať a použiť čokoľvek, čo bol schopný dosiahnuť. Namiesto rýchleho napravenia svojej chyby Wiles objavil iba ďalšie zložité aspekty v dôkaze Fermatovej poslednej vety a nakoniec si uvedomil, aké ťažké to bolo.
Wyles uvádza, že ráno 19. septembra 1994 bol na pokraji vzdať sa a vzdať sa a bol takmer rezignovaný na zlyhanie. Bol pripravený zverejniť svoje nedokončené dielo, aby na ňom mohli ďalší stavať a nájsť, kde sa mýlil. Anglický matematik sa rozhodol dať si poslednú šancu a naposledy analyzoval vetu, aby sa pokúsil pochopiť hlavné dôvody, prečo jeho prístup nefungoval, keď si zrazu uvedomil, že prístup Kolyvagin-Flac nebude fungovať, kýmzahrnie aj Iwasawovu teóriu do procesu dokazovania, vďaka čomu bude fungovať.
Wiles 6. októbra požiadal troch kolegov (vrátane F altinsa), aby zhodnotili jeho novú prácu, a 24. októbra 1994 predložil dva rukopisy – „Modulárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta“a „Teoretické vlastnosti ring of some Hecke algebras“, druhý z nich napísal Wiles spolu s Taylorom a dokázal, že boli splnené určité podmienky na odôvodnenie opraveného kroku v hlavnom článku.
Tieto dva články boli recenzované a nakoniec publikované ako plné textové vydanie v máji 1995 Annals of Mathematics. Andrewove nové výpočty boli široko analyzované a nakoniec prijaté vedeckou komunitou. V týchto článkoch bola stanovená teoréma modularity pre semistabilné eliptické krivky - posledný krok k dokázaniu Fermatovej poslednej vety, 358 rokov po jej vytvorení.
História veľkého problému
Vyriešenie tejto vety sa po mnoho storočí považuje za najväčší problém v matematike. V roku 1816 av roku 1850 Francúzska akadémia vied ponúkla cenu za všeobecný dôkaz Fermatovej poslednej vety. V roku 1857 akadémia udelila Kummerovi 3000 frankov a zlatú medailu za výskum ideálnych čísel, hoci sa o cenu neuchádzal. Ďalšiu cenu mu ponúkla v roku 1883 Bruselská akadémia.
Wolfskell Prize
V roku 1908 odkázal nemecký priemyselník a amatérsky matematik Paul Wolfskel 100 000 zlatých mariek (na tú dobu veľké množstvo)akadémie vied v Göttingene, aby sa tieto peniaze stali cenou za úplný dôkaz poslednej Fermatovej vety. 27. júna 1908 Akadémia zverejnila deväť pravidiel udeľovania. Tieto pravidlá okrem iného vyžadovali zverejnenie dôkazu v recenzovanom časopise. Cena mala byť udelená až dva roky po zverejnení. Súťaž mala vypršať 13. septembra 2007 – asi storočie po jej začatí. 27. júna 1997 dostal Wiles Wolfschelovu odmenu a potom ďalších 50 000 dolárov. V marci 2016 dostal od nórskej vlády 600 000 eur ako súčasť Abelovej ceny za „úžasný dôkaz poslednej Fermatovej vety pomocou predpokladu modularity pre semistabilné eliptické krivky, čím sa otvorila nová éra v teórii čísel“. Bol to svetový triumf skromného Angličana.
Pred Wilesovým dôkazom bola Fermatova veta, ako už bolo spomenuté, po stáročia považovaná za absolútne neriešiteľnú. Wolfskellskému výboru boli v rôznom čase predložené tisíce nesprávnych dôkazov, ktoré predstavovali približne 3 metre korešpondencie. Len v prvom roku existencie ceny (1907-1908) bolo podaných 621 žiadostí o vyriešenie vety, hoci do 70. rokov 20. storočia ich počet klesol na približne 3-4 žiadosti mesačne. Podľa F. Schlichtinga, Wolfschelovho recenzenta, väčšina dôkazov bola založená na elementárnych metódach vyučovaných na školách a často boli prezentovaní ako „ľudia s technickým zázemím, ale neúspešnou kariérou“. Podľa historika matematiky Howarda Avesa poslednýFermatova veta zaznamenala akýsi rekord – ide o vetu s najväčším počtom nesprávnych dôkazov.
Vavríny farmy si odniesli Japonci
Ako už bolo spomenuté, okolo roku 1955 japonskí matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama objavili možné spojenie medzi dvoma zjavne úplne odlišnými odvetviami matematiky – eliptickými krivkami a modulárnymi formami. Výsledná teoréma modularity (vtedy známa ako hypotéza Taniyama-Shimura) uvádza, že každá eliptická krivka je modulárna, čo znamená, že ju možno spojiť s jedinečnou modulárnou formou.
Táto teória bola pôvodne odmietnutá ako nepravdepodobná alebo vysoko špekulatívna, ale bola braná vážnejšie, keď teoretik čísel André Weil našiel dôkazy na podporu japonských záverov. V dôsledku toho bola hypotéza často označovaná ako hypotéza Taniyama-Shimura-Weil. Stala sa súčasťou programu Langlands, čo je zoznam dôležitých hypotéz, ktoré treba v budúcnosti dokázať.
Dokonca aj po serióznom preskúmaní bol tento dohad uznávaný modernými matematikmi ako mimoriadne ťažký, alebo možno neprístupný na dôkaz. Teraz táto konkrétna veta čaká na svojho Andrewa Wilesa, ktorý by svojím riešením mohol prekvapiť celý svet.
Fermatova veta: Perelmanov dôkaz
Napriek populárnym mýtom nemá ruský matematik Grigorij Perelman pri všetkej svojej genialite nič spoločné s Fermatovou vetou. Čo mu však v žiadnom prípade neuberá.početné príspevky vedeckej komunite.
