Jednou z najťažších a nepochopiteľných tém univerzitnej matematiky je integrácia a diferenciálny počet. Tieto pojmy musíte poznať a rozumieť im, ako aj vedieť ich aplikovať. Mnoho univerzitných technických disciplín je viazaných na diferenciály a integrály.
Stručné informácie o rovniciach
Tieto rovnice sú jedným z najdôležitejších matematických konceptov vo vzdelávacom systéme. Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá dáva do vzťahu nezávislé premenné, funkciu, ktorá sa má nájsť, a deriváty tejto funkcie s premennými, o ktorých sa predpokladá, že sú nezávislé. Diferenciálny počet na nájdenie funkcie jednej premennej sa nazýva obyčajný. Ak požadovaná funkcia závisí od viacerých premenných, potom hovoríme o parciálnej diferenciálnej rovnici.
V skutočnosti nájdenie určitej odpovede na rovnicu vedie k integrácii a spôsob riešenia je určený typom rovnice.
Rovnice prvého rádu
Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica, ktorá môže opísať premennú, požadovanú funkciu a jej prvú deriváciu. Takéto rovnice môžu byť uvedené v troch formách: explicitná, implicitná, diferenciálna.
Koncepty potrebné na vyriešenie
Počiatočná podmienka - nastavenie hodnoty požadovanej funkcie pre danú hodnotu premennej, ktorá je nezávislá.
Riešenie diferenciálnej rovnice - akákoľvek diferencovateľná funkcia, presne dosadená do pôvodnej rovnice, ju zmení na identicky rovnú. Získané riešenie, ktoré nie je explicitné, je integrálom rovnice.
Všeobecným riešením diferenciálnych rovníc je funkcia y=y(x;C), ktorá môže spĺňať tieto úsudky:
- Funkcia môže mať iba jednu ľubovoľnú konštantu С.
- Výsledná funkcia musí byť riešením rovnice pre ľubovoľné hodnoty ľubovoľnej konštanty.
- S danou počiatočnou podmienkou je možné definovať ľubovoľnú konštantu jedinečným spôsobom, takže výsledné konkrétne riešenie bude konzistentné s danou počiatočnou podmienkou.
V praxi sa často používa Cauchyho problém - nájdenie riešenia, ktoré je konkrétne a možno ho porovnať s podmienkou nastavenou na začiatku.
Cauchyho veta je veta, ktorá zdôrazňuje existenciu a jedinečnosť konkrétneho riešenia v diferenciálnom počte.
Geometrický zmysel:
- Všeobecné riešenie y=y(x;C)rovnica je celkový počet integrálnych kriviek.
- Diferenciálny počet vám umožňuje spojiť súradnice bodu v rovine XOY a dotyčnicu nakreslenú k integrálnej krivke.
- Nastavenie počiatočnej podmienky znamená nastavenie bodu na rovine.
- Vyriešiť Cauchyho problém znamená, že z celej množiny integrálnych kriviek reprezentujúcich rovnaké riešenie rovnice je potrebné vybrať jedinú, ktorá prechádza jediným možným bodom.
- Splnenie podmienok Cauchyho vety v bode znamená, že integrálna krivka (navyše len jedna) nevyhnutne prechádza zvoleným bodom v rovine.
Rovnica oddeliteľnej premennej
Podľa definície je diferenciálna rovnica rovnica, ktorej pravá strana opisuje alebo sa odráža ako súčin (niekedy pomer) dvoch funkcií, z ktorých jedna závisí iba od „x“a druhá – iba od „y“. Jasný príklad tohto druhu: y'=f1(x)f2(y).
Ak chcete vyriešiť rovnice konkrétneho tvaru, musíte najskôr transformovať deriváciu y'=dy/dx. Potom pomocou manipulácie s rovnicou ju musíte priviesť do formy, v ktorej môžete integrovať dve časti rovnice. Po potrebných transformáciách obe časti integrujeme a výsledok zjednodušíme.
Homogénne rovnice
Podľa definície možno diferenciálnu rovnicu nazvať homogénnou, ak má nasledujúci tvar: y'=g(y/x).
V tomto prípade sa najčastejšie používa náhrada y/x=t(x).
Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebné zredukovať homogénnu rovnicu do tvaru s oddeliteľnými premennými. Ak to chcete urobiť, musíte vykonať nasledujúce operácie:
- Zobrazenie vyjadrujúce deriváciu pôvodnej funkcie z akejkoľvek pôvodnej funkcie ako novú rovnicu.
- Ďalším krokom je transformácia výslednej funkcie do tvaru f(x;y)=g(y/x). Jednoduchšie povedané, urobte, aby rovnica obsahovala iba pomer y/x a konštanty.
- Vykonajte nasledujúce nahradenie: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Vykonaná substitúcia pomôže rozdeliť premenné v rovnici a postupne ju priviesť k jednoduchšej forme.
Lineárne rovnice
Definícia takýchto rovníc je nasledovná: lineárna diferenciálna rovnica je rovnica, ktorej pravá strana je vyjadrená ako lineárny výraz vzhľadom na pôvodnú funkciu. Požadovaná funkcia v tomto prípade: y'=a(x)y + b(x).
Preformulujme definíciu takto: každá rovnica 1. rádu sa stane lineárnou vo svojom tvare, ak pôvodná funkcia a jej derivácia sú zahrnuté v rovnici prvého stupňa a nie sú navzájom vynásobené. "Klasická forma" lineárnej diferenciálnej rovnice má nasledujúcu štruktúru: y' + P(x)y=Q(x).
Pred riešením takejto rovnice by sa mala previesť do „klasickej formy“. Ďalším krokom bude výber metódy riešenia: Bernoulliho metóda alebo Lagrangeova metóda.
Riešenie rovnice pomocoupomocou metódy zavedenej Bernoullim, implikuje substitúciu a redukciu lineárnej diferenciálnej rovnice na dve rovnice so samostatnými premennými vo vzťahu k funkciám U(x) a V(x), ktoré boli dané v pôvodnom tvare.
Lagrangeova metóda je nájsť všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.
- Je potrebné nájsť rovnaké riešenie homogénnej rovnice. Po vyhľadaní máme funkciu y=y(x, C), kde C je ľubovoľná konštanta.
- Hľadáme riešenie pôvodnej rovnice v rovnakom tvare, ale uvažujeme C=C(x). Do pôvodnej rovnice dosadíme funkciu y=y(x, C(x)), nájdeme funkciu C(x) a zapíšeme riešenie všeobecnej pôvodnej rovnice.
Bernoulliho rovnica
Bernoulliho rovnica - ak má pravá strana výpočtu tvar f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kde k je akákoľvek možná racionálna číselná hodnota, ktorá sa neberie ako príklady prípadov, keď k=0 ak=1.
Ak k=1, potom sa počet stane oddeliteľným, a keď k=0, rovnica zostane lineárna.
Uvažujme o všeobecnom prípade riešenia tohto typu rovnice. Máme štandardnú Bernoulliho rovnicu. Musí sa zredukovať na lineárny, preto musíte rovnicu rozdeliť yk. Po tejto operácii nahraďte z(x)=y1-k. Po sérii transformácií sa rovnica zredukuje na lineárnu, najčastejšie substitučnou metódou z=UV.
Rovnice v celkových diferenciáloch
Definícia. Rovnica so štruktúrou P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 sa nazýva rovnica v plnom znení.diferenciály, ak je splnená nasledujúca podmienka (v tejto podmienke je "d" čiastočný diferenciál): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Všetky skôr uvažované diferenciálne rovnice prvého rádu možno zobraziť ako diferenciály.
Takéto výpočty sa riešia niekoľkými spôsobmi. Všetky však začínajú kontrolou stavu. Ak je podmienka splnená, potom krajná ľavá oblasť rovnice je celkovým diferenciálom zatiaľ neznámej funkcie U(x;y). Potom sa v súlade s rovnicou dU (x; y) bude rovnať nule, a preto sa rovnaký integrál rovnice v celkových diferenciáloch zobrazí v tvare U (x; y) u003d C. riešenie rovnice je redukované na nájdenie funkcie U (x; y).
Integrujúci faktor
Ak podmienka dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nie je v rovnici splnená, potom rovnica nemá tvar, ktorý sme uvažovali vyššie. Ale niekedy je možné zvoliť nejakú funkciu M(x;y), po vynásobení ktorej rovnica nadobudne tvar rovnice v plnom rozsahu "rozpadne". Funkcia M (x;y) sa označuje ako integračný faktor.
Integrátor možno nájsť iba vtedy, keď sa stane funkciou iba jednej premennej.
