Georg Kantor (fotka je uvedená ďalej v článku) je nemecký matematik, ktorý vytvoril teóriu množín a zaviedol koncept transfinitných čísel, nekonečne veľkých, ale navzájom odlišných. Definoval tiež radové a kardinálne čísla a vytvoril ich aritmetiku.
Georg Kantor: krátky životopis
Narodený v Petrohrade 3.3.1845. Jeho otcom bol Dán protestantského vierovyznania Georg-Valdemar Kantor, ktorý sa zaoberal obchodom, a to aj na burze. Jeho matka Maria Bem bola katolíčka a pochádzala z rodiny významných hudobníkov. Keď Georgov otec v roku 1856 ochorel, rodina sa presťahovala najprv do Wiesbadenu a potom do Frankfurtu, aby hľadala miernejšie podnebie. Chlapcov matematický talent sa prejavil ešte pred jeho 15. narodeninami počas štúdia na súkromných školách a gymnáziách v Darmstadte a Wiesbadene. Nakoniec Georg Cantor presvedčil svojho otca o svojom pevnom úmysle stať sa matematikom, nie inžinierom.
Po krátkom štúdiu na univerzite v Zürichu prestúpil Kantor v roku 1863 na univerzitu v Berlíne, kde študoval fyziku, filozofiu a matematiku. Tu je onučil:
- Karl Theodor Weierstrass, ktorého špecializácia na analýzu mala na Georga pravdepodobne najväčší vplyv;
- Ernst Eduard Kummer, ktorý vyučoval vyššiu aritmetiku;
- Leopold Kronecker, teoretik čísel, ktorý sa neskôr postavil proti Cantorovi.
Po tom, čo Georg strávil jeden semester na univerzite v Göttingene v roku 1866, nasledujúci rok napísal svoju doktorandskú dizertačnú prácu s názvom „V matematike je umenie klásť otázky cennejšie ako riešiť problémy“, ktorá sa týka problému, ktorý mal Carl Friedrich Gauss. zostal nevyriešený v jeho Disquisitiones Arithmeticae (1801). Po krátkom vyučovaní na berlínskej dievčenskej škole začal Kantor pôsobiť na univerzite v Halle, kde zostal až do konca svojho života, najskôr ako učiteľ, od roku 1872 ako odborný asistent a od roku 1879 ako profesor.
Výskum
Na začiatku série 10 článkov z rokov 1869 až 1873 Georg Cantor uvažoval o teórii čísel. Práca odrážala jeho vášeň pre túto tému, jeho štúdie Gaussa a vplyv Kroneckera. Na návrh Heinricha Eduarda Heineho, Cantorovho kolegu v Halle, ktorý rozpoznal jeho matematický talent, prešiel k teórii trigonometrických radov, v ktorej rozšíril pojem reálnych čísel.
Na základe práce nemeckého matematika Bernharda Riemanna o funkcii komplexnej premennej v roku 1854 Kantor v roku 1870 ukázal, že takáto funkcia môže byť reprezentovaná iba jedným spôsobom - trigonometrickým radom. Úvaha o množine čísel (bodov), ktoréby takémuto názoru neodporovalo, priviedlo ho v roku 1872 najskôr k definícii iracionálnych čísel v zmysle konvergentných postupností racionálnych čísel (zlomkov celých čísel) a ďalej k začiatku práce na jeho celoživotnom diele, teórii množín a koncepte transfinitných čísel.
Teória množín
Georg Cantor, ktorého teória množín vznikla v korešpondencii s matematikom Technického inštitútu v Braunschweigu Richardom Dedekindom, bol jeho priateľom už od detstva. Dospeli k záveru, že množiny, či už konečné alebo nekonečné, sú súbory prvkov (napr. čísla, {0, ±1, ±2…}), ktoré majú určitú vlastnosť, pričom si zachovávajú svoju individualitu. Keď však Georg Cantor použil individuálnu korešpondenciu (napríklad {A, B, C} až {1, 2, 3}) na štúdium ich charakteristík, rýchlo si uvedomil, že sa líšia stupňom členstva, dokonca ak by išlo o nekonečné množiny, t. j. množiny, ktorých časť alebo podmnožina obsahuje toľko objektov ako ona sama. Jeho metóda čoskoro priniesla úžasné výsledky.
V roku 1873 Georg Cantor (matematik) ukázal, že racionálne čísla, hoci sú nekonečné, sú spočítateľné, pretože ich možno dať do vzájomnej korešpondencie s prirodzenými číslami (t.j. 1, 2, 3 atď.). d.). Ukázal, že množina reálnych čísel, pozostávajúca z iracionálnych a racionálnych, je nekonečná a nespočítateľná. Paradoxnejšie Cantor dokázal, že množina všetkých algebraických čísel obsahuje toľko prvkov akokoľko je množina všetkých celých čísel a že transcendentálne čísla, ktoré nie sú algebraické, ktoré sú podmnožinou iracionálnych čísel, sú nespočítateľné, a preto je ich počet väčší ako celé čísla a mali by sa považovať za nekonečné.
Odporcovia a priaznivci
Ale Kantorova práca, v ktorej prvýkrát predložil tieto výsledky, nebola publikovaná v Krell, pretože jeden z recenzentov, Kronecker, bol vehementne proti. Ale po zásahu Dedekinda bola publikovaná v roku 1874 pod názvom "O charakteristických vlastnostiach všetkých reálnych algebraických čísel."
Veda a súkromný život
V tom istom roku, na svadobnej ceste s manželkou Wally Gutman v Interlakene vo Švajčiarsku, Kantor stretol Dedekinda, ktorý sa priaznivo vyjadril o jeho novej teórii. Georgov plat bol malý, ale za peniaze svojho otca, ktorý zomrel v roku 1863, postavil dom pre svoju manželku a päť detí. Mnohé z jeho prác boli publikované vo Švédsku v novom časopise Acta Mathematica, ktorý editoval a založil Gesta Mittag-Leffler, ktorý bol medzi prvými, ktorí rozpoznali talent nemeckého matematika.
Spojenie s metafyzikou
Cantorova teória sa stala úplne novým predmetom štúdia matematiky nekonečna (napr. séria 1, 2, 3 atď. a zložitejšie množiny), ktorá do značnej miery závisela na vzájomnej korešpondencii. Kantorov vývoj nových inscenačných metódotázky týkajúce sa kontinuity a nekonečna dali jeho výskumu nejednoznačný charakter.
Keď tvrdil, že skutočne existujú nekonečné čísla, obrátil sa na starovekú a stredovekú filozofiu týkajúcu sa skutočného a potenciálneho nekonečna, ako aj na rané náboženské vzdelanie, ktoré mu dali rodičia. V roku 1883 Kantor vo svojej knihe Základy všeobecnej teórie množín spojil svoj koncept s Platónovou metafyzikou.
Kronecker, ktorý tvrdil, že „existujú“iba celé čísla („Boh stvoril celé čísla, zvyšok je dielom človeka“), dlhé roky vehementne odmietal jeho úvahy a bránil jeho vymenovaniu na Berlínsku univerzitu.
Prestupné čísla
V rokoch 1895-97. Georg Cantor plne sformoval svoju predstavu o kontinuite a nekonečne, vrátane nekonečných radových a kardinálnych čísel, vo svojom najznámejšom diele, ktoré vyšlo ako Príspevky k ustanoveniu teórie transfinitných čísel (1915). Táto esej obsahuje jeho koncepciu, ku ktorej ho priviedlo demonštrovanie, že nekonečnú množinu možno dať do vzájomnej korešpondencie s jednou z jej podmnožín.
Pod najmenej transfinitným kardinálnym číslom mal na mysli mohutnosť akejkoľvek množiny, ktorú možno dať do vzájomnej korešpondencie s prirodzenými číslami. Cantor to nazval aleph-null. Veľké transfinitné množiny sa označujú ako aleph-jedna, aleph-dva atď. Ďalej rozvinul aritmetiku nekonečných čísel, ktorá bola analogická konečnej aritmetike. takže onobohatil koncept nekonečna.
Opozícia, ktorej čelil, a čas, ktorý trvalo, kým boli jeho myšlienky plne akceptované, sú spôsobené ťažkosťami pri prehodnotení starodávnej otázky, čo je to číslo. Cantor ukázal, že množina bodov na priamke má vyššiu mohutnosť ako aleph-nula. To viedlo k známemu problému hypotézy kontinua – medzi aleph-nulou a mocnosťou bodov na priamke nie sú žiadne kardinálne čísla. Tento problém vzbudil v prvej a druhej polovici 20. storočia veľký záujem a študovali ho mnohí matematici vrátane Kurta Gödela a Paula Cohena.
Depresia
Životopis Georga Kantora od roku 1884 zatienila jeho duševná choroba, no naďalej aktívne pracoval. V roku 1897 pomohol usporiadať prvý medzinárodný matematický kongres v Zürichu. Čiastočne preto, že proti nemu stál Kronecker, často sympatizoval s mladými začínajúcimi matematikmi a snažil sa nájsť spôsob, ako ich zachrániť pred prenasledovaním učiteľov, ktorí sa cítili ohrození novými nápadmi.
Uznanie
Na prelome storočia bola jeho práca plne uznávaná ako základ pre teóriu funkcií, analýzu a topológiu. Okrem toho knihy Cantora Georga slúžili ako impulz pre ďalší rozvoj intuicionistických a formalistických škôl logických základov matematiky. To výrazne zmenilo systém výučby a často sa spája s „novou matematikou“.
V roku 1911 bol Kantor medzi pozvanýmioslava 500. výročia založenia University of St. Andrews v Škótsku. Išiel tam v nádeji, že sa stretne s Bertrandom Russellom, ktorý sa vo svojej nedávno publikovanej práci Principia Mathematica opakovane odvolával na nemeckého matematika, no nestalo sa tak. Univerzita udelila Kantorovi čestný titul, ale pre chorobu si nemohol cenu prevziať osobne.
Kantor odišiel do dôchodku v roku 1913, žil v chudobe a počas prvej svetovej vojny hladoval. Oslavy na počesť jeho 70. narodenín v roku 1915 boli pre vojnu zrušené, no u neho doma sa konal malý obrad. Zomrel 1.6.1918 v Halle v psychiatrickej liečebni, kde strávil posledné roky svojho života.
Georg Kantor: biografia. Rodina
9. augusta 1874 sa nemecký matematik oženil s Wally Gutmann. Pár mal 4 synov a 2 dcéry. Posledné dieťa sa narodilo v roku 1886 v novom dome, ktorý kúpil Kantor. Dedičstvo po otcovi mu pomohlo uživiť rodinu. Kantorovo zdravie výrazne ovplyvnila smrť jeho najmladšieho syna v roku 1899 a odvtedy ho depresia neopustila.
