Pohyb tela pod uhlom k horizontu: vzorce, výpočet doletu a maximálnej výšky vzletu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Pri štúdiu mechanického pohybu vo fyzike, po oboznámení sa s rovnomerným a rovnomerne zrýchleným pohybom objektov, pristúpia k úvahe o pohybe telesa pod uhlom k horizontu. V tomto článku sa budeme tejto problematike venovať podrobnejšie.

Aký je pohyb telesa pod uhlom k horizontu?

Tento typ pohybu objektu nastáva, keď osoba vyhodí do vzduchu kameň, delo vystrelí delovú loptu alebo brankár vykopne futbalovú loptu z brány. Všetky takéto prípady zvažuje balistika.

Poznaný typ pohybu objektov vo vzduchu prebieha pozdĺž parabolickej trajektórie. Vo všeobecnosti nie je vykonanie zodpovedajúcich výpočtov jednoduchou úlohou, pretože je potrebné vziať do úvahy odpor vzduchu, rotáciu tela počas letu, rotáciu Zeme okolo svojej osi a niektoré ďalšie faktory.

V tomto článku nebudeme brať do úvahy všetky tieto faktory, ale zvážime problém z čisto teoretického hľadiska. Výsledné vzorce sú však celkom dobréopísať trajektórie telies pohybujúcich sa na krátke vzdialenosti.

Získanie vzorcov pre uvažovaný typ pohybu

Poďme odvodiť vzorce pre pohyb telesa k horizontu pod uhlom. V tomto prípade budeme brať do úvahy len jednu jedinú silu pôsobiacu na letiaci objekt – gravitáciu. Keďže pôsobí vertikálne smerom nadol (rovnobežne s osou y a proti nej), potom vzhľadom na horizontálnu a vertikálnu zložku pohybu môžeme povedať, že prvá bude mať charakter rovnomerného priamočiareho pohybu. A druhý - rovnako pomalý (rovnomerne zrýchlený) priamočiary pohyb so zrýchlením g. To znamená, že zložky rýchlosti cez hodnotu v₀ (počiatočná rýchlosť) a θ (uhol smeru pohybu tela) budú zapísané takto:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

Prvý vzorec (pre v_x) je vždy platný. Pokiaľ ide o druhý, tu je potrebné poznamenať jednu nuanciu: znamienko mínus pred súčinom gt sa vloží iba vtedy, ak vertikálna zložka v₀sin(θ) smeruje nahor. Vo väčšine prípadov sa to však stane, ak hodíte teleso z výšky a nasmerujete ho nadol, potom vo výraze pre v_y by ste mali dať znak „+“pred g t.

Integráciou vzorcov pre zložky rýchlosti v priebehu času a pri zohľadnení počiatočnej výšky h letu telesa získame rovnice pre súradnice:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Vypočítať dolet

Keď vo fyzike uvažujeme o pohybe telesa k horizontu v uhle užitočnom pre praktické použitie, ukazuje sa, že vypočítame dolet. Poďme to definovať.

Vzhľadom na to, že tento pohyb je rovnomerný pohyb bez zrýchlenia, stačí doň nahradiť čas letu a dosiahnuť požadovaný výsledok. Dosah letu je určený výlučne pohybom pozdĺž osi x (rovnobežne s horizontom).

Čas, počas ktorého je teleso vo vzduchu, možno vypočítať prirovnaním súradnice y k nule. Máme:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Táto kvadratická rovnica je vyriešená prostredníctvom diskriminantu, dostaneme:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

V poslednom výraze je jeden koreň so znamienkom mínus vyradený z dôvodu jeho nevýznamnej fyzickej hodnoty. Dosadením doby letu t do výrazu pre x dostaneme rozsah letu l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

Najjednoduchší spôsob, ako analyzovať tento výraz, je počiatočná výškasa rovná nule (h=0), potom dostaneme jednoduchý vzorec:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Tento výraz označuje, že maximálny dosah letu možno dosiahnuť, ak je telo odhodené pod uhlom 45^o(sin(245^o) )=m1).

Maximálna výška postavy

Okrem dosahu letu je užitočné nájsť aj výšku nad zemou, do ktorej sa telo môže zdvihnúť. Keďže tento typ pohybu je opísaný parabolou, ktorej vetvy smerujú dole, maximálna výška zdvihu je jej extrém. Ten sa vypočíta vyriešením rovnice pre deriváciu vzhľadom na t pre y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Dosaďte tento čas do rovnice pre y, dostaneme:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Tento výraz znamená, že telo sa zdvihne do maximálnej výšky, ak je hodené vertikálne nahor (sin²(90^o)=1).