V školskom kurze objemovej geometrie je jedným z najjednoduchších útvarov, ktorý má nenulové rozmery pozdĺž troch priestorových osí, štvoruholníkový hranol. V článku sa zamyslite nad tým, o aký obrazec ide, z akých prvkov pozostáva a tiež ako môžete vypočítať jeho povrch a objem.
Koncept hranola
Hranol je v geometrii priestorový útvar, ktorý tvoria dve identické základne a bočné plochy, ktoré spájajú strany týchto základní. Všimnite si, že obe bázy sa navzájom transformujú pomocou operácie paralelnej translácie nejakým vektorom. Toto priradenie hranolu vedie k tomu, že všetky jeho strany sú vždy rovnobežníky.
Počet strán základne môže byť ľubovoľný, počnúc tromi. Keď toto číslo smeruje k nekonečnu, hranol sa hladko zmení na valec, pretože jeho základňa sa stane kruhom a bočné rovnobežníky, ktoré sa spájajú, tvoria valcovú plochu.
Ako každý mnohosten, aj hranol sa vyznačujestrany (roviny, ktoré ohraničujú postavu), hrany (úseky, pozdĺž ktorých sa pretínajú ľubovoľné dve strany) a vrcholy (body stretnutia troch strán, pre hranol sú dve bočné a tretia je základňa). Veličiny vymenovaných troch prvkov obrázku sú vzájomne prepojené nasledujúcim výrazom:
P=C + B - 2
Tu P, C a B predstavujú počet hrán, strán a vrcholov. Tento výraz je matematickým zápisom Eulerovej vety.
Na obrázku vyššie sú dva hranoly. Na základni jednej z nich (A) leží pravidelný šesťuholník a bočné strany sú kolmé na základne. Obrázok B znázorňuje ďalší hranol. Jeho strany už nie sú kolmé na základne a základňa je pravidelný päťuholník.
Čo je to štvoruholníkový hranol?
Ako je zrejmé z popisu vyššie, typ hranola je primárne určený typom mnohouholníka, ktorý tvorí základňu (obe základne sú rovnaké, takže môžeme hovoriť o jednej z nich). Ak je tento mnohouholník rovnobežník, dostaneme štvoruholníkový hranol. Všetky strany tohto typu hranolu sú teda rovnobežníky. Štvorhranný hranol má svoj vlastný názov - rovnobežnosten.
Počet strán rovnobežnostena je šesť a každá strana má podobnú rovnobežku. Keďže základne krabice sú dve strany, zvyšné štyri sú bočné.
Počet vrcholov kvádra je osem, čo je ľahké zistiť, ak si zapamätáme, že vrcholy hranola sú tvorené iba vo vrcholoch základných polygónov (4x2=8). Aplikovaním Eulerovej vety dostaneme počet hrán:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Z 12 rebier sú iba 4 tvorené nezávisle bokmi. Zvyšných 8 leží v rovinách podstav obrázku.
V článku sa ďalej budeme baviť iba o štvorhranných hranoloch.
Typy rovnobežnostenov
Prvým typom klasifikácie sú znaky základného rovnobežníka. Môže to vyzerať takto:
- pravidelný, ktorého uhly sa nerovnajú 90o;
- rectangle;
- štvorec je pravidelný štvoruholník.
Druhým typom klasifikácie je uhol, pod ktorým strana pretína základňu. Tu sú možné dva rôzne prípady:
- tento uhol nie je rovný, potom sa hranol nazýva šikmý alebo šikmý;
- uhol je 90o, potom je takýto hranol pravouhlý alebo len rovný.
Tretí typ klasifikácie súvisí s výškou hranola. Ak je hranol pravouhlý a základňa je buď štvorec alebo obdĺžnik, potom sa nazýva kváder. Ak je na základni štvorec, hranol je pravouhlý a jeho výška sa rovná dĺžke strany štvorca, dostaneme známy kockový obrazec.
Povrch a plocha hranola
Množina všetkých bodov, ktoré ležia na dvoch základniach hranola(rovnobežníky) a po jej stranách (štyri rovnobežníky) tvoria povrch obrazca. Plochu tohto povrchu je možné vypočítať výpočtom plochy základne a tejto hodnoty pre bočný povrch. Potom ich súčet poskytne požadovanú hodnotu. Matematicky je to napísané takto:
S=2So+ Sb
Tu So a Sb sú plochy základného a bočného povrchu. Číslo 2 pred So sa zobrazí, pretože existujú dva základy.
Všimnite si, že napísaný vzorec platí pre akýkoľvek hranol, nielen pre oblasť štvoruholníkového hranola.
Je užitočné pripomenúť, že plocha rovnobežníka Sp sa vypočíta podľa vzorca:
Sp=ah
Kde symboly a a h označujú dĺžku jednej z jej strán a výšku nakreslenú na túto stranu.
Plocha pravouhlého hranola so štvorcovou základňou
V pravidelnom štvorhrannom hranole je základňou štvorec. Pre jednoznačnosť označujeme jeho stranu písmenom a. Na výpočet plochy pravidelného štvoruholníkového hranola by ste mali poznať jeho výšku. Podľa definície pre túto veličinu sa rovná dĺžke kolmice spadnutej z jednej základne na druhú, to znamená, že sa rovná vzdialenosti medzi nimi. Označme ho písmenom h. Pretože všetky bočné strany sú kolmé na základne pre uvažovaný typ hranola, výška pravidelného štvoruholníkového hranola sa bude rovnať dĺžke jeho bočnej hrany.
BVšeobecný vzorec pre povrchovú plochu hranola sú dva pojmy. Plocha základne sa v tomto prípade dá ľahko vypočítať, rovná sa:
So=a2
Pre výpočet plochy bočnej plochy argumentujeme takto: táto plocha je tvorená 4 rovnakými obdĺžnikmi. Okrem toho sa strany každého z nich rovnajú a a h. To znamená, že plocha Sb sa bude rovnať:
Sb=4ah
Všimnite si, že súčin 4a je obvod štvorcovej základne. Ak tento výraz zovšeobecníme na prípad ľubovoľnej základne, potom pre pravouhlý hranol možno bočnú plochu vypočítať takto:
Sb=Poh
Kde Po je obvod základne.
Vráťme sa k problému výpočtu plochy pravidelného štvoruholníkového hranola, môžeme napísať konečný vzorec:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Plocha šikmého rovnobežnostena
Výpočet je o niečo náročnejší ako pri obdĺžnikovom. V tomto prípade sa základná plocha štvoruholníkového hranolu vypočíta pomocou rovnakého vzorca ako pre rovnobežník. Zmeny sa týkajú spôsobu, akým sa určuje plocha bočného povrchu.
Na tento účel použite rovnaký vzorec cez obvod, ako je uvedené v odseku vyššie. Len teraz bude mať trochu iné násobiče. Všeobecný vzorec pre Sb v prípade šikmého hranola je:
Sb=Psrc
Tu c je dĺžka bočného okraja obrázku. Hodnota Psr je obvod obdĺžnikového rezu. Toto prostredie je postavené nasledovne: je potrebné preťať všetky bočné plochy rovinou tak, aby bola na všetky kolmá. Výsledný obdĺžnik bude mať požadovaný rez.
Vyššie uvedený obrázok zobrazuje príklad šikmého rámčeka. Jeho šrafovaná časť zviera so stranami pravé uhly. Obvod sekcie je Psr. Tvoria ho štyri výšky bočných rovnobežníkov. Pre tento štvoruholníkový hranol sa plocha bočného povrchu vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca.
Dĺžka uhlopriečky kvádra
Uhlopriečka rovnobežnostena je segment, ktorý spája dva vrcholy, ktoré nemajú spoločné strany, ktoré ich tvoria. V každom štvorhrannom hranole sú len štyri uhlopriečky. Pre kváder s obdĺžnikom na základni sú dĺžky všetkých uhlopriečok navzájom rovnaké.
Na obrázku nižšie je zobrazený zodpovedajúci obrázok. Červený segment je jeho uhlopriečka.
Výpočet jeho dĺžky je veľmi jednoduchý, ak si pamätáte Pytagorovu vetu. Každý študent môže získať požadovaný vzorec. Má nasledujúci tvar:
D=√(A2+ B2 + C2)
Tu D je dĺžka uhlopriečky. Zostávajúce znaky sú dĺžky strán škatule.
Mnoho ľudí si mýli uhlopriečku rovnobežnostena s uhlopriečkami jeho strán. Nižšie je obrázok, kde je farebnýsegmenty predstavujú uhlopriečky strán obrázku.
Dĺžku každého z nich určuje aj Pytagorova veta a rovná sa druhej odmocnine súčtu druhých mocnín príslušných dĺžok strán.
Objem hranolu
Na vyriešenie niektorých geometrických problémov by ste okrem plochy pravidelného štvorbokého hranola alebo iných typov hranolov mali poznať aj ich objem. Táto hodnota pre absolútne akýkoľvek hranol sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:
V=Soh
Ak je hranol pravouhlý, stačí vypočítať plochu jeho základne a vynásobiť ju dĺžkou okraja strany, aby sme dostali objem obrazca.
Ak je hranol obyčajný štvoruholníkový hranol, jeho objem bude:
V=a2h.
Je ľahké vidieť, že tento vzorec sa prevedie na výraz pre objem kocky, ak sa dĺžka bočnej hrany h rovná strane základne a.
Problém s kvádrom
Pre konsolidáciu študovaného materiálu vyriešime nasledovný problém: existuje pravouhlý hranol, ktorého strany sú 3 cm, 4 cm a 5 cm, je potrebné vypočítať jeho povrch, dĺžku uhlopriečky a objem.
Pre jednoznačnosť budeme predpokladať, že základom obrazca je obdĺžnik so stranami 3 cm a 4 cm. Jeho plocha je potom 12 cm2 a bodka je 14 cm. Pomocou vzorca pre povrch hranola dostaneme:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Na určenie dĺžky uhlopriečky a objemu postavy môžete priamo použiť vyššie uvedené výrazy:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problém so šikmým hranolom
Na obrázku nižšie je znázornený šikmý hranol. Jeho strany sú rovnaké: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Musíte nájsť plochu povrchu tohto obrázku.
Najprv určme plochu základne. Obrázok ukazuje, že ostrý uhol je 50o. Potom je jeho oblasť:
So=ha=sin(50o)ba
Na určenie plochy bočného povrchu by ste mali nájsť obvod tieňovaného obdĺžnika. Strany tohto obdĺžnika sú asin(45o) a bsin(60o). Potom je obvod tohto obdĺžnika:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Celková plocha tohto boxu je:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Dĺžky strán obrázku dosadíme za údaje z podmienky úlohy, dostaneme odpoveď:
S=458, 5496 cm3
Z riešenia tohto problému je zrejmé, že goniometrické funkcie sa používajú na určenie plôch šikmých útvarov.
