Pri štúdiu absolútne akéhokoľvek priestorového útvaru je dôležité vedieť vypočítať jeho objem. Tento článok poskytuje vzorec pre objem pravidelnej štvorhrannej pyramídy a tiež ukazuje, ako by sa mal tento vzorec použiť na príklade riešenia problémov.
O ktorej pyramíde hovoríme?
Každý stredoškolák vie, že pyramída je mnohosten pozostávajúci z trojuholníkov a mnohouholníka. Ten je základom obrázku. Trojuholníky majú jednu spoločnú stranu so základňou a pretínajú sa v jedinom bode, ktorým je vrchol pyramídy.
Každá pyramída je charakterizovaná dĺžkou strán základne, dĺžkou bočných hrán a výškou. Ten je kolmým segmentom, ktorý sa spúšťa k základni z hornej časti obrázku.
Pravidelná štvorhranná pyramída je postava so štvorcovou základňou, ktorej výška pretína tento štvorec v jeho strede. Asi najznámejším príkladom tohto typu pyramíd sú staroegyptské kamenné stavby. Nižšie je fotografiaCheopsove pyramídy.
Študovaný obrazec má päť stien, z ktorých štyri sú identické rovnoramenné trojuholníky. Vyznačuje sa tiež piatimi vrcholmi, z ktorých štyri patria k základni, a ôsmimi hranami (4 hrany základne a 4 hrany bočných plôch).
Vzorec pre objem štvorhrannej pyramídy je správny
Objem danej postavy je časťou priestoru, ktorý je ohraničený piatimi stranami. Na výpočet tohto objemu používame nasledujúcu závislosť plochy rezu rovnobežného so základňou pyramídy Sz od vertikálnej súradnice z:
Sz=So (h – z/h)2
Tu So je plocha štvorcovej základne. Ak do písaného výrazu dosadíme z=h, tak pre Sz dostaneme nulovú hodnotu. Táto hodnota z zodpovedá výseku, ktorý bude obsahovať iba vrchol pyramídy. Ak z=0, dostaneme hodnotu základnej plochy So.
Je ľahké nájsť objem pyramídy, ak poznáte funkciu Sz(z), na to stačí obrázok rozrezať na nekonečný počet vrstvy rovnobežne so základňou a potom vykonajte integračnú operáciu. Postupujem podľa tejto techniky, dostaneme:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Pretože S0 jeplocha štvorcovej základne, potom, keď stranu štvorca označíme písmenom a, získame vzorec pre objem pravidelnej štvorhrannej pyramídy:
V=1/3a2h.
Poďme teraz na príkladoch riešenia problémov ukázať, ako by sa mal tento výraz použiť.
Problém určenia objemu pyramídy cez jej apotém a bočnú hranu
Apotéma pyramídy je výška jej bočného trojuholníka, ktorý je znížený na stranu základne. Keďže všetky trojuholníky sú v pravidelnej pyramíde rovnaké, ich apotémy budú tiež rovnaké. Jeho dĺžku označme symbolom hb. Označte bočný okraj ako b.
Vediac, že apotém pyramídy je 12 cm a jej bočný okraj je 15 cm, nájdite objem pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy.
Vzorec pre objem obrazca napísaný v predchádzajúcom odseku obsahuje dva parametre: dĺžku strany a a výšku h. Momentálne nepoznáme ani jedného z nich, tak sa poďme pozrieť na ich výpočty.
Dĺžku strany štvorca a možno ľahko vypočítať, ak použijete Pytagorovu vetu pre pravouhlý trojuholník, v ktorom prepona je hrana b a nohy sú apotéma h b a polovica strany základne a/2. Získame:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Nahradením známych hodnôt z podmienky dostaneme hodnotu a=18 cm.
Na výpočet výšky h pyramídy môžete urobiť dve veci: zvážiť obdĺžniktrojuholník s preponou-laterálnou hranou alebo s preponou-apotémou. Obe metódy sú rovnaké a zahŕňajú vykonanie rovnakého počtu matematických operácií. Zastavme sa pri úvahe o trojuholníku, kde prepona je apotéma hb. Nohy v ňom budú h a a / 2. Potom dostaneme:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7 937 cm.
Teraz môžete použiť vzorec pre objem V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Objem pravidelnej štvorhrannej pyramídy je teda približne 0,86 litra.
Objem Cheopsovej pyramídy
Teraz vyriešme zaujímavý a prakticky dôležitý problém: nájdite objem najväčšej pyramídy v Gíze. Z literatúry je známe, že pôvodná výška budovy bola 146,5 metra a dĺžka jej základne je 230,363 metra. Tieto čísla nám umožňujú použiť vzorec na výpočet V. Získame:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Výsledná hodnota je takmer 2,6 milióna m3. Tento objem zodpovedá objemu kocky, ktorej strana je 137,4 metra.
