Čo je to – kužeľ? Definícia, vlastnosti, vzorce a príklad riešenia úlohy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Kužeľ je jedným z priestorových útvarov rotácie, ktorého charakteristiky a vlastnosti sú študované stereometriou. V tomto článku zadefinujeme tento obrázok a zvážime základné vzorce spájajúce lineárne parametre kužeľa s jeho povrchom a objemom.

Čo je to kužeľ?

Z pohľadu geometrie hovoríme o priestorovom útvare, ktorý je tvorený množinou priamych segmentov spájajúcich určitý bod v priestore so všetkými bodmi hladkej plochej krivky. Táto krivka môže byť kruh alebo elipsa. Obrázok nižšie zobrazuje kužeľ.

Predložený obrazec nemá žiadny objem, pretože steny jeho povrchu majú nekonečne malú hrúbku. Ak je však naplnený látkou a zhora ohraničený nie krivkou, ale plochým útvarom, napríklad kruhom, dostaneme pevné objemové teleso, ktoré sa bežne nazýva aj kužeľ.

Tvar kužeľa možno často nájsť v živote. Má teda kornútok zmrzliny alebo pruhované čierne a oranžové dopravné kužele, ktoré sú umiestnené na vozovke, aby upútali pozornosť účastníkov premávky.

Prvky kužeľa a jeho typy

Keďže kužeľ nie je mnohosten, počet prvkov, ktoré ho tvoria, nie je taký veľký ako pri mnohostene. V geometrii sa všeobecný kužeľ skladá z nasledujúcich prvkov:

• základňa, ktorej hraničná krivka sa nazýva priamka alebo generatrix;
• bočnej plochy, ktorá je súborom všetkých bodov priamych úsečiek (generatúr) spájajúcich vrchol a body vodiacej krivky;
• vertex, ktorý je priesečníkom tvoriacich čiar.

Všimnite si, že vrchol nesmie ležať v rovine základne, pretože v tomto prípade kužeľ degeneruje do plochého tvaru.

Ak nakreslíme kolmý segment zhora na základňu, dostaneme výšku postavy. Ak sa posledná základňa pretína v geometrickom strede, potom je to rovný kužeľ. Ak sa kolmica nezhoduje s geometrickým stredom základne, potom bude obrazec naklonený.

Na obrázku sú znázornené rovné a šikmé kužele. Výška a polomer základne kužeľa sú tu označené h a r. Čiara, ktorá spája hornú časť obrázku a geometrický stred základne, je osou kužeľa. Z obrázku je vidieť, že u rovnej postavy leží výška na tejto osi a u naklonenej postavy zviera s osou uhol. Os kužeľa je označená písmenom a.

Priamy kužeľ s okrúhlou základňou

Tento kužeľ je možno najbežnejší z uvažovanej triedy figúrok. Skladá sa z kruhu a stranypovrchy. Nie je ťažké ho získať geometrickými metódami. Aby ste to urobili, vezmite pravouhlý trojuholník a otočte ho okolo osi, ktorá sa zhoduje s jednou z nôh. Je zrejmé, že táto noha sa stane výškou postavy a dĺžka druhej nohy trojuholníka tvorí polomer základne kužeľa. Nižšie uvedený diagram znázorňuje opísanú schému na získanie príslušného čísla rotácie.

Zobrazený trojuholník je možné otočiť okolo ďalšej nohy, čo bude mať za následok kužeľ s väčším polomerom základne a nižšou výškou ako prvý.

Na jednoznačné určenie všetkých parametrov okrúhleho rovného kužeľa by sme mali poznať ľubovoľné dve z jeho lineárnych charakteristík. Medzi nimi sa rozlišuje polomer r, výška h alebo dĺžka tvoriacej čiary g. Všetky tieto veličiny sú dĺžkami strán uvažovaného pravouhlého trojuholníka, preto pre ich spojenie platí Pytagorova veta:

g²=r²+ h^2.

Povrch

Pri štúdiu povrchu akejkoľvek trojrozmernej postavy je vhodné použiť jej rozvinutie v rovine. Kužeľ nie je výnimkou. Pre okrúhly kužeľ je vývoj znázornený nižšie.

Vidíme, že rozloženie postavy pozostáva z dvoch častí:

1. Kruh, ktorý tvorí základňu kužeľa.
2. Sektor kruhu, ktorý je kužeľovou plochou postavy.

Oblasť kruhu sa dá ľahko nájsť a príslušný vzorec pozná každý študent. Keď už hovoríme o kruhovom sektore, poznamenávame, že ánoje súčasťou kružnice s polomerom g (dĺžka tvoriacej priamky kužeľa). Dĺžka oblúka tohto sektora sa rovná obvodu základne. Tieto parametre umožňujú jednoznačne určiť jeho plochu. Zodpovedajúci vzorec je:

S=pir2+ pirg.

Prvý a druhý výraz vo výraze sú kužeľ základne a bočný povrch plochy.

Ak dĺžka generátora g nie je známa, ale je daná výška h obrázku, vzorec možno prepísať ako:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Objem postavy

Ak vezmeme rovnú pyramídu a zväčšíme počet strán jej základne v nekonečne, tvar základne bude mať tendenciu ku kružnici a bočná plocha pyramídy sa priblíži ku kužeľovej ploche. Tieto úvahy nám umožňujú použiť vzorec pre objem pyramídy pri výpočte podobnej hodnoty pre kužeľ. Objem kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

V=1/3hS_o.

Tento vzorec je vždy pravdivý, bez ohľadu na to, aká je základňa kužeľa s plochou S_{o. Navyše vzorec platí aj pre šikmý kužeľ.}

Keďže študujeme vlastnosti rovného útvaru s okrúhlou základňou, môžeme na určenie jeho objemu použiť nasledujúci výraz:

V=1/3hpir2.

Vzorec je jasný.

Problém s nájdením plochy a objemu

Nech je daný kužeľ, ktorého polomer je 10 cm a dĺžka tvoriacej čiary je 20pozri Potreba určiť objem a plochu povrchu tohto tvaru.

Na výpočet plochy S môžete okamžite použiť vzorec napísaný vyššie. Máme:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Na určenie hlasitosti potrebujete poznať výšku h obrázku. Vypočítame ho pomocou vzťahu medzi lineárnymi parametrami kužeľa. Získame:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Teraz môžete použiť vzorec pre V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83 cm}3^.

Všimnite si, že objem okrúhleho kužeľa je jedna tretina valca, do ktorého je vpísaný.