Fourierov rad je reprezentácia ľubovoľne prijatej funkcie s konkrétnou periódou ako rad. Vo všeobecnosti sa toto riešenie nazýva rozklad prvku na ortogonálnej báze. Rozšírenie funkcií vo Fourierovom rade je pomerne silným nástrojom na riešenie rôznych problémov vďaka vlastnostiam tejto transformácie pri integrácii, diferenciácii, ako aj pri posúvaní výrazu v argumente a konvolúcii.
Človek, ktorý nie je oboznámený s vyššou matematikou, ako aj s prácami francúzskeho vedca Fouriera, s najväčšou pravdepodobnosťou nepochopí, čo tieto „riadky“sú a na čo slúžia. Medzitým sa táto transformácia v našich životoch dosť zhustla. Používajú ho nielen matematici, ale aj fyzici, chemici, lekári, astronómovia, seizmológovia, oceánografi a mnohí ďalší. Pozrime sa bližšie na diela veľkého francúzskeho vedca, ktorý urobil objav, ktorý predbehol svoju dobu.
Človek a Fourierova transformácia
Fourierove rady sú jednou z metód (spolu s analýzou a inými) Fourierovej transformácie. Tento proces nastáva zakaždým, keď človek počuje zvuk. Naše ucho automaticky prevádza zvukvlny. Oscilačné pohyby elementárnych častíc v elastickom prostredí sú rozložené do radov (pozdĺž spektra) po sebe nasledujúcich hodnôt úrovne hlasitosti pre tóny rôznych výšok. Potom mozog premení tieto údaje na zvuky, ktoré sú nám známe. Toto všetko sa deje popri našej túžbe alebo vedomí samo od seba, ale aby sme pochopili tieto procesy, bude trvať niekoľko rokov, kým budeme študovať vyššiu matematiku.
Viac o Fourierovej transformácii
Fourierova transformácia môže byť vykonaná analytickými, numerickými a inými metódami. Fourierove rady označujú číselný spôsob rozkladu akýchkoľvek oscilačných procesov – od morských prílivov a svetelných vĺn až po cykly slnečnej (a iných astronomických objektov) aktivity. Pomocou týchto matematických techník je možné analyzovať funkcie reprezentujúce akékoľvek oscilačné procesy ako sériu sínusových komponentov, ktoré idú od minima k maximu a naopak. Fourierova transformácia je funkcia, ktorá popisuje fázu a amplitúdu sínusoidov zodpovedajúcich konkrétnej frekvencii. Tento proces je možné použiť na riešenie veľmi zložitých rovníc, ktoré popisujú dynamické procesy, ku ktorým dochádza pod vplyvom tepelnej, svetelnej alebo elektrickej energie. Fourierove rady tiež umožňujú izolovať konštantné zložky v komplexných oscilačných signáloch, čo umožnilo správne interpretovať získané experimentálne pozorovania v medicíne, chémii a astronómii.
Historické pozadie
Zakladateľ tejto teórieJean Baptiste Joseph Fourier je francúzsky matematik. Táto premena bola následne pomenovaná po ňom. Spočiatku vedec aplikoval svoju metódu na štúdium a vysvetlenie mechanizmov vedenia tepla - šírenia tepla v pevných látkach. Fourier navrhol, že počiatočné nepravidelné rozloženie vlny horúčav možno rozložiť na najjednoduchšie sínusoidy, z ktorých každá bude mať svoje vlastné teplotné minimum a maximum, ako aj svoju vlastnú fázu. V tomto prípade bude každý takýto komponent meraný od minima po maximum a naopak. Matematická funkcia, ktorá opisuje horné a dolné vrcholy krivky, ako aj fázu každej z harmonických, sa nazýva Fourierova transformácia výrazu rozloženia teploty. Autor teórie zredukoval všeobecnú distribučnú funkciu, ktorú je ťažké matematicky opísať, na veľmi ľahko ovládateľný rad periodických kosínusových a sínusových funkcií, ktoré tvoria pôvodné rozdelenie.
Princíp transformácie a názory súčasníkov
Vedcovi súčasníci – poprední matematici začiatku devätnásteho storočia – túto teóriu neprijali. Hlavnou námietkou bolo Fourierovo tvrdenie, že nespojitú funkciu opisujúcu priamku alebo nespojitú krivku možno reprezentovať ako súčet sínusových výrazov, ktoré sú spojité. Ako príklad uvažujme Heavisideov „krok“: jeho hodnota je nula naľavo od medzery a jedna vpravo. Táto funkcia popisuje závislosť elektrického prúdu od časovej premennej pri uzavretí obvodu. Súčasníci vtedajšej teórie sa s takým nikdy nestretlisituácia, keď by nespojitý výraz bol opísaný kombináciou spojitých bežných funkcií, ako je exponenciálna, sínusová, lineárna alebo kvadratická.
Čo zmiatlo francúzskych matematikov vo Fourierovej teórii?
Koniec koncov, ak mal matematik pravdu vo svojich tvrdeniach, potom zhrnutím nekonečného trigonometrického Fourierovho radu môžete získať presné vyjadrenie stupňovitého vyjadrenia, aj keď má veľa podobných krokov. Na začiatku devätnásteho storočia sa takéto vyhlásenie zdalo absurdné. Ale napriek všetkým pochybnostiam mnohí matematici rozšírili rozsah štúdia tohto javu a prekročili rámec štúdií tepelnej vodivosti. Väčšina vedcov sa však naďalej trápila otázkou: „Môže súčet sínusového radu konvergovať k presnej hodnote nespojitej funkcie?“
Konvergencia Fourierových radov: príklad
Otázka konvergencie vzniká vždy, keď je potrebné sčítať nekonečný rad čísel. Aby ste pochopili tento jav, zvážte klasický príklad. Dokážete niekedy dosiahnuť na stenu, ak je každý nasledujúci krok polovičný ako ten predchádzajúci? Predpokladajme, že ste dva metre od cieľa, prvý krok vás priblíži k polovici, ďalší k trištvrtinám a po piatom prejdete takmer 97 percent trasy. Avšak bez ohľadu na to, koľko krokov urobíte, nedosiahnete zamýšľaný cieľ v striktnom matematickom zmysle. Pomocou numerických výpočtov sa dá dokázať, že v konečnom dôsledku sa dá dostať tak blízko, ako len chce.malá špecifikovaná vzdialenosť. Tento dôkaz je ekvivalentný preukázaniu, že súčet hodnoty jednej polovice, jednej štvrtiny atď. bude mať tendenciu k jednej.
Otázka konvergencie: Druhý príchod alebo spotrebič lorda Kelvina
Táto otázka bola opakovane nastolená na konci devätnásteho storočia, keď sa Fourierove rady pokúšali použiť na predpovedanie intenzity prílivu a odlivu. V tom čase lord Kelvin vynašiel zariadenie, ktoré je analógovým výpočtovým zariadením, ktoré umožnilo námorníkom vojenskej a obchodnej flotily sledovať tento prírodný jav. Tento mechanizmus určoval súbory fáz a amplitúd z tabuľky výšok prílivu a odlivu a ich zodpovedajúcich časových momentov, starostlivo meraných v danom prístave počas roka. Každý parameter bol sínusovým komponentom vyjadrenia výšky prílivu a bol jedným z pravidelných komponentov. Výsledky meraní boli zadané do kalkulačky lorda Kelvina, ktorá syntetizovala krivku, ktorá predpovedala výšku vody ako funkciu času na nasledujúci rok. Veľmi skoro boli podobné krivky vypracované pre všetky prístavy sveta.
A ak je proces prerušený prerušovanou funkciou?
V tom čase sa zdalo zrejmé, že prediktor prílivových vĺn s veľkým počtom počítacích prvkov dokáže vypočítať veľký počet fáz a amplitúd, a tak poskytnúť presnejšie predpovede. Napriek tomu sa ukázalo, že táto pravidelnosť nie je dodržaná v prípadoch, keď sa prejaví príliv a odliv, ktorý nasledujesyntetizovať, obsahoval prudký skok, teda bol nespojitý. V prípade, že sa do prístroja zadávajú údaje z tabuľky časových momentov, potom vypočíta niekoľko Fourierových koeficientov. Pôvodná funkcia je obnovená vďaka sínusovým zložkám (podľa zistených koeficientov). Rozdiel medzi pôvodným a obnoveným výrazom možno merať v ktoromkoľvek bode. Pri opakovaných výpočtoch a porovnávaniach je vidieť, že hodnota najväčšej chyby neklesá. Sú však lokalizované v oblasti zodpovedajúcej bodu diskontinuity a majú sklon k nule v ktoromkoľvek inom bode. V roku 1899 tento výsledok teoreticky potvrdil Joshua Willard Gibbs z Yale University.
Konvergencia Fourierových radov a vývoj matematiky vo všeobecnosti
Fourierova analýza sa nedá použiť na výrazy obsahujúce nekonečný počet zhlukov v určitom intervale. Vo všeobecnosti platí, že Fourierove rady, ak je pôvodná funkcia výsledkom skutočného fyzikálneho merania, vždy konvergujú. Otázky konvergencie tohto procesu pre špecifické triedy funkcií viedli k vzniku nových sekcií v matematike, napríklad teórie zovšeobecnených funkcií. Spája sa s menami ako L. Schwartz, J. Mikušinskij a J. Temple. V rámci tejto teórie bol vytvorený jasný a presný teoretický základ pre také výrazy ako Diracova delta funkcia (opisuje oblasť jednej oblasti sústredenú v nekonečne malom okolí bodu) a Heaviside „ krok“. Vďaka tejto práci sa Fourierove rady stali použiteľnými preriešenie rovníc a problémov, ktoré zahŕňajú intuitívne koncepty: bodový náboj, hmotnosť bodu, magnetické dipóly, ako aj sústredené zaťaženie lúča.
Fourierova metóda
Fourierove rady v súlade s princípmi interferencie začínajú rozkladom zložitých foriem na jednoduchšie. Napríklad zmena tepelného toku sa vysvetľuje jeho prechodom cez rôzne prekážky z tepelne izolačného materiálu nepravidelného tvaru alebo zmena povrchu zeme – zemetrasenie, zmena obežnej dráhy nebeského telesa – vplyv napr. planét. Podobné rovnice popisujúce jednoduché klasické systémy sa spravidla elementárne riešia pre každú jednotlivú vlnu. Fourier ukázal, že jednoduché riešenia možno zhrnúť aj do riešenia zložitejších problémov. V jazyku matematiky je Fourierov rad technikou na reprezentáciu výrazu ako súčtu harmonických – kosínus a sínusoidy. Preto je táto analýza známa aj ako „harmonická analýza“.
Fourierove série – ideálna technika pred „vekom počítačov“
Pred vytvorením počítačovej technológie bola Fourierova technika najlepšou zbraňou v arzenáli vedcov pri práci s vlnovou povahou nášho sveta. Fourierov rad v komplexnej forme umožňuje riešiť nielen jednoduché problémy, ktoré možno priamo aplikovať na zákony Newtonovej mechaniky, ale aj základné rovnice. Väčšinu objavov newtonovskej vedy v devätnástom storočí umožnila iba Fourierova technika.
Fourierova séria dnes
S vývojom počítačov s Fourierovou transformácioupovýšené na úplne novú úroveň. Táto technika je pevne zakorenená takmer vo všetkých oblastiach vedy a techniky. Príkladom je digitálny audio a video signál. Jeho realizácia bola možná len vďaka teórii vyvinutej francúzskym matematikom na začiatku devätnásteho storočia. Fourierova séria v komplexnej forme teda umožnila urobiť prelom v štúdiu vesmíru. Okrem toho ovplyvnila štúdium fyziky polovodičových materiálov a plazmy, mikrovlnnej akustiky, oceánografie, radaru, seizmológie.
Trigonometrické Fourierove série
V matematike je Fourierov rad spôsob, ako reprezentovať ľubovoľné komplexné funkcie ako súčet jednoduchších. Vo všeobecnosti môže byť počet takýchto výrazov nekonečný. Navyše, čím viac sa pri výpočte zohľadňuje ich počet, tým presnejší je konečný výsledok. Najčastejšie sa ako najjednoduchšie používajú trigonometrické funkcie kosínus alebo sínus. V tomto prípade sa Fourierove rady nazývajú trigonometrické a riešenie takýchto výrazov sa nazýva expanzia harmonickej. Táto metóda hrá dôležitú úlohu v matematike. Po prvé, trigonometrické rady poskytujú prostriedky na obraz, ako aj na štúdium funkcií, sú hlavným aparátom teórie. Okrem toho umožňuje riešiť množstvo problémov matematickej fyziky. Napokon táto teória prispela k rozvoju matematickej analýzy, dala vzniknúť niekoľkým veľmi dôležitým úsekom matematickej vedy (teória integrálov, teória periodických funkcií). Okrem toho slúžil ako východiskový bod pre rozvoj nasledujúcich teórií: množiny, funkciereálna premenná, funkčná analýza a tiež položili základy pre harmonickú analýzu.
