Goldbachov problém je jedným z najstarších a najviac medializovaných problémov v histórii celej matematiky.
Dokázalo sa, že táto domnienka platí pre všetky celé čísla menšie ako 4 × 1018, no napriek značnému úsiliu matematikov zostáva nedokázaná.
Number
Goldbachovo číslo je kladné párne celé číslo, ktoré je súčtom párov nepárnych prvočísel. Ďalšou formou Goldbachovho dohadu je, že všetky párne celé čísla väčšie ako štyri sú Goldbachove čísla.
Oddelenie takýchto čísel sa nazýva Goldbachov oddiel (alebo oddiel). Nižšie sú uvedené príklady podobných sekcií pre niektoré párne čísla:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Objavenie hypotézy
Goldbach mal kolegu menom Euler, ktorý rád počítal, písal zložité vzorce a predkladal neriešiteľné teórie. V tomto boli podobní Goldbachovi. Euler urobil podobnú matematickú hádanku ešte pred Goldbachom, s ktorým saneustála korešpondencia. Potom na okraj svojho rukopisu navrhol druhý návrh, podľa ktorého by sa celé číslo väčšie ako 2 dalo zapísať ako súčet troch prvočísel. Jedničku považoval za prvočíslo.
V súčasnosti je známe, že tieto dve hypotézy sú podobné, ale v tom čase sa to nezdalo byť problémom. Moderná verzia Goldbachovho problému uvádza, že každé celé číslo väčšie ako 5 možno zapísať ako súčet troch prvočísel. Euler odpovedal listom z 30. júna 1742 a pripomenul Goldbachovi ich skorší rozhovor („… takže hovoríme o pôvodnej (a nie okrajovej) hypotéze vyplývajúcej z nasledujúceho vyhlásenia“).
Euler-Goldbach problem
2 a jeho párne čísla možno zapísať ako súčet dvoch prvočísel, čo je tiež Goldbachova domnienka. V liste z 30. júna 1742 Euler uviedol, že každé párne celé číslo je výsledkom sčítania dvoch prvočísel, čo považuje za dobre definovanú vetu, hoci to nemôže dokázať.
Tretia verzia
Tretia verzia Goldbachovho problému (ekvivalentná k ostatným dvom verziám) je forma, v akej sa tento dohad zvyčajne uvádza dnes. Je tiež známa ako „silná“, „párne“alebo „binárna“Goldbachova hypotéza, aby sa odlíšila od slabšej hypotézy, ktorá je dnes známa ako „slabá“, „nepárna“alebo „ternárna“Goldbachova hypotéza. Slabý dohad hovorí, že všetky nepárne čísla väčšie ako 7 sú súčtom troch nepárnych prvočísel. Slabý predpoklad sa potvrdil v roku 2013. Slabá hypotéza jedôsledkom silnej hypotézy. Opačný dôsledok a silný Goldbachov dohad zostávajú dodnes nepreukázaný.
Skontrolovať
Pre malé hodnoty n je možné overiť Goldbachov problém (a teda Goldbachovu hypotézu). Napríklad Nils Pipping v roku 1938 starostlivo testoval hypotézu až do n ≦ 105. S príchodom prvých počítačov bolo vypočítaných oveľa viac hodnôt n.
Oliveira Silva vykonal distribuované počítačové vyhľadávanie, ktoré potvrdilo hypotézu pre n ≦ 4 × 1018 (a dvojitú kontrolu až do 4 × 1017) od roku 2013. Jeden záznam z tohto vyhľadávania je, že 3 325 581 707 333 960 528 je najmenšie číslo, ktoré nemá Goldbachovo rozdelenie s prvočíslom pod 9781.
Heuristika
Verzia pre silnú formu Goldbachovej domnienky je nasledovná: keďže kvantita má tendenciu k nekonečnu, keď n rastie, očakávame, že každé veľké párne celé číslo má viac ako jedno vyjadrenie ako súčet dvoch prvočísel. Ale v skutočnosti existuje veľa takýchto reprezentácií. Kto vyriešil Goldbachov problém? Bohužiaľ, stále nikto.
Tento heuristický argument je v skutočnosti trochu nepresný, pretože predpokladá, že m je štatisticky nezávislé od n. Napríklad, ak je m nepárne, potom je n - m tiež nepárne, a ak je m párne, potom je n - m párne, a to je netriviálny (komplexný) vzťah, pretože okrem čísla 2 je len nepárne čísla môžu byť prvočísla. Podobne, ak n je deliteľné 3 a m už bolo prvočíslo iné ako 3, potom n - m je tiež vzájomneprvočíslo s 3, takže je pravdepodobnejšie, že ide o prvočíslo ako o celkové číslo. Hardy a Littlewood vykonali tento typ analýzy opatrnejšie a v roku 1923, ako súčasť ich slávnej jednoduchej n-tice Hardy-Littlewood, urobili vyššie uvedené spresnenie celej teórie. Ale zatiaľ to nepomohlo vyriešiť problém.
Silná hypotéza
Silná Goldbachova domnienka je oveľa komplikovanejšia ako slabá Goldbachova domnienka. Shnirelman neskôr dokázal, že každé prirodzené číslo väčšie ako 1 možno zapísať ako súčet najviac C prvočísel, kde C je efektívne vypočítateľná konštanta. Mnohí matematici sa to pokúšali vyriešiť, počítali a násobili čísla, ponúkali zložité vzorce atď. Ale nikdy neuspeli, pretože hypotéza je príliš komplikovaná. Nepomohli žiadne vzorce.
Ale stojí za to sa trochu vzdialiť od otázky dokazovania Goldbachovho problému. Shnirelmanova konštanta je najmenšie C číslo s touto vlastnosťou. Samotný Shnirelman dostal C <800 000. Tento výsledok následne doplnili mnohí autori, ako napríklad Olivier Ramaret, ktorý v roku 1995 ukázal, že každé párne číslo n ≧ 4 je v skutočnosti súčtom najviac šiestich prvočísel. Najznámejší výsledok, ktorý sa v súčasnosti spája s Goldbachovou teóriou od Haralda Helfgotta.
Ďalší vývoj
V roku 1924 Hardy a Littlewood prevzali G. R. H. ukázali, že počet párnych čísel do X, ktoré porušujú binárny Goldbachov problém, je oveľa menší ako pre malé c.
V roku 1973 Chen JingyunSnažil som sa tento problém vyriešiť, ale nefungovalo to. Bol tiež matematik, takže veľmi rád riešil hádanky a dokazoval vety.
V roku 1975 dvaja americkí matematici ukázali, že existujú kladné konštanty c a C – tie, pre ktoré je dostatočne veľké N. Najmä množina párnych celých čísel má nulovú hustotu. Toto všetko bolo užitočné pre prácu na riešení ternárneho Goldbachovho problému, ktorá bude prebiehať v budúcnosti.
V roku 1951 Linnik dokázal existenciu konštanty K tak, že každé dostatočne veľké párne číslo je výsledkom vzájomného sčítania jedného prvočísla a ďalšieho prvočísla. Roger Heath-Brown a Jan-Christoph Schlage-Puchta v roku 2002 zistili, že K=13 funguje. Toto je veľmi zaujímavé pre všetkých ľudí, ktorí sa radi sčítavajú, sčítavajú rôzne čísla a sledujú, čo sa stane.
Riešenie Goldbachovho problému
Ako mnoho známych dohadov v matematike, existuje množstvo údajných dôkazov Goldbachovej domnienky, z ktorých žiadny nie je akceptovaný matematickou komunitou.
Hoci Goldbachova domnienka naznačuje, že každé kladné celé číslo väčšie ako jedna možno zapísať ako súčet najviac troch prvočísel, nie je vždy možné nájsť takýto súčet pomocou zištného algoritmu, ktorý používa najväčšie možné prvočíslo pri každom kroku. Pillaiova sekvencia sleduje čísla vyžadujúce najviac prvočísel v ich chamtivých reprezentáciách. Preto riešenie Goldbachovho problémustále v otázke. Napriek tomu sa to skôr či neskôr s najväčšou pravdepodobnosťou vyrieši.
Existujú teórie podobné Goldbachovmu problému, v ktorých sú prvočísla nahradené inými špecifickými množinami čísel, ako sú napríklad štvorce.
Christian Goldbach
Christian Goldbach bol nemecký matematik, ktorý študoval aj právo. Dnes si ho pamätáme pre Goldbachovu domnienku.
Celý život pracoval ako matematik – veľmi rád sčítal čísla, vymýšľal nové vzorce. Vedel aj niekoľko jazykov, v každom si viedol svoj osobný denník. Týmito jazykmi boli nemčina, francúzština, taliančina a ruština. Tiež podľa niektorých zdrojov hovoril anglicky a latinsky. Počas svojho života bol známy ako pomerne známy matematik. Goldbach bol tiež dosť úzko spätý s Ruskom, pretože mal veľa ruských kolegov a osobnú priazeň kráľovskej rodiny.
Pokračoval v práci na novootvorenej Akadémii vied v Petrohrade v roku 1725 ako profesor matematiky a historik akadémie. V roku 1728, keď sa Peter II. stal ruským cárom, Goldbach sa stal jeho mentorom. V roku 1742 vstúpil na ruské ministerstvo zahraničia. To znamená, že skutočne pôsobil u nás. V tom čase prišlo do Ruska veľa vedcov, spisovateľov, filozofov a vojenských ľudí, pretože Rusko bolo v tom čase krajinou príležitostí ako Amerika. Mnohí tu urobili kariéru. A náš hrdina nie je výnimkou.
Christian Goldbach bol viacjazyčný – písal si denník v nemčine a latinčine, jeho listyboli napísané v nemčine, latinčine, francúzštine a taliančine a pre oficiálne dokumenty používal ruštinu, nemčinu a latinčinu.
Zomrel 20. novembra 1764 vo veku 74 rokov v Moskve. Deň, keď sa Goldbachov problém vyrieši, bude vhodnou poctou jeho pamiatke.
Záver
Goldbach bol skvelý matematik, ktorý nám dal jednu z najväčších záhad tejto vedy. Či sa to niekedy vyrieši alebo nie, nie je známe. Vieme len, že jej domnelé riešenie, ako v prípade Fermatovej vety, otvorí matematike nové perspektívy. Matematici to veľmi radi riešia a analyzujú. Je to veľmi zaujímavé a kuriózne z heuristického hľadiska. Dokonca aj študenti matematiky radi riešia Goldbachovu úlohu. Ako inak? Mladých ľudí totiž neustále priťahuje všetko svetlé, ambiciózne a nedoriešené, pretože prekonávaním ťažkostí sa človek môže presadiť. Dúfajme, že čoskoro tento problém vyriešia mladé, ambiciózne a zvedavé mysle.
