V článku, ktorý sme vám dali do pozornosti, ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré úlohy spojené s matematickým modelovaním.
Ďalšia z našich otázok sa týka matematických modelov v ekonomike, príkladov, ktorých definíciu zvážime o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, krátko zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.
Koncept „modelu“
Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento výraz má veľa definícií, tu sú len tri z nich:
- špecifický objekt, ktorý je vytvorený na prijímanie a uchovávanie informácií, odrážajúcich niektoré vlastnosti alebo charakteristiky, atď., originálu tohto objektu (tento špecifický objekt môže byť vyjadrený v rôznych formách: mentálny, popis pomocou znakov, a tak ďalej);
- model znamená aj zobrazenie akejkoľvek konkrétnej situácie, života respmanažérsky;
- model môže slúžiť ako zmenšená kópia akéhokoľvek objektu (sú vytvorené na podrobnejšie štúdium a analýzu, pretože model odráža štruktúru a vzťahy).
Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme urobiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.
Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých kritérií:
- podľa oblasti použitia (vzdelávacie, experimentálne, vedecké a technické, herné, simulačné);
- podľa dynamiky (statickej a dynamickej);
- podľa odvetvia vedomostí (fyzikálne, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
- spôsobom prezentácie (materiálnej a informačnej).
Informačné modely sa zase delia na znakové a verbálne. A ikonické – na počítači aj mimo počítača. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.
Matematický model
Ako asi tušíte, matematický model odráža niektoré vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie vzorcov okolitého sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.
Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto modelovacej metódy bol však daný objavením sa počítačov (elektronických počítačov).
Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Oni súsú uvedené v tabuľke nižšie.
| Klasifikácia podľa vedného odboru | Aplikácia matematických modelov vo fyzike, sociológii, chémii a tak ďalej |
| Podľa matematického aparátu použitého v procese modelovania | Modely založené na diferenciálnych rovniciach, diskrétnych algebraických transformáciách a podobne |
| Podľa modelovania cieľov | Podľa tohto princípu existujú deskriptívne, optimalizačné, multikriteriálne, herné a simulačné modely |
Navrhujeme zastaviť sa a bližšie sa pozrieť na poslednú klasifikáciu, pretože odráža všeobecné vzorce modelovania a ciele vytváraných modelov.
Popisné modely
V tejto kapitole navrhujeme, aby sme sa podrobnejšie venovali deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.
Na začiatok možno tento pohľad nazvať popisným. Je to spôsobené tým, že robíme iba výpočty a prognózy, ale nemôžeme žiadnym spôsobom ovplyvniť výsledok udalosti.
Výrazným príkladom deskriptívneho matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti a vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá napadla rozľahlosť našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred nejakým druhom nebezpečenstva. Ovplyvniť výsledok udalosti, bohužiaľ, nemámeMôcť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na záchranu života na Zemi.
Modely optimalizácie
Teraz si povieme niečo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príklady môžu byť rôzne situácie. V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré pomáhajú nájsť správnu odpoveď v určitých podmienkach. Musia mať nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, zvážte príklad z poľnohospodárskej časti.
Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správny teplotný režim a optimalizovať proces skladovania.
Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nie), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Uvažovali sme o príklade matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.
Všimnite si ešte jednu nuanciu: modely môžu mať rôzny charakter (pozri tabuľku nižšie).
| deterministický | V tomto prípade výsledok závisí od vstupných údajov |
| stochastic | Popis náhodných procesov. V tomto prípade zostane výsledok nedefinovaný |
Modely s viacerými kritériami
Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávalimatematický model viaccieľovej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?
Pozoruhodným príkladom multikriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy pre veľké skupiny ľudí. Takéto úlohy sa často vyskytujú v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a podobne.
Aké kritériá sú uvedené v tomto probléme?
- Jedlo by malo byť zdravé.
- Výdavky na jedlo by sa mali obmedziť na minimum.
Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi dvoma kritériami.
Herné modely
Keď už hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Uvedomte si, že na rozdiel od skutočného konfliktu má matematický model hry svoje vlastné špecifické pravidlá.
Teraz bude k dispozícii minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. A tak v modeli sú nevyhnutne strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.
Všetky modely majú určité vlastnosti.
| Predmety | Počet hráčov |
| Stratégia | Možnosti možných akcií |
| Platba | Výsledok konfliktu (výhra alebo prehra). |
Herný model môže byť spárovaný alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, konflikt je spárovaný, ak je viac - viacnásobný. Dá sa rozlíšiť aj antagonistická hra, nazýva sa aj hra s nulovým súčtom. Toto je model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.
Simulačné modely
V tejto časti budeme venovať pozornosť simulačným matematickým modelom. Príklady úloh sú:
- model dynamiky počtu mikroorganizmov;
- model pohybu molekúl atď.
V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Vo všeobecnosti napodobňujú akýkoľvek prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad modelovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. V tomto prípade môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedka, častejšie sú tam písomné podmienky:
- po piatich dňoch samica znesie vajíčka;
- 20 dní nato mravec uhynie atď.
Na popis veľkého systému sa teda používajú simulačné modely. Matematickým záverom je spracovanie prijatých štatistických údajov.
Požiadavky
Veľmi dôležitéuvedomte si, že na tento typ modelu existujú určité požiadavky, medzi ktoré patria aj požiadavky uvedené v tabuľke nižšie.
| Všestrannosť | Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise skupín objektov rovnakého typu. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu |
| Adekvátnosť | Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť vám umožňuje čo najpresnejšie reprodukovať skutočné procesy. V prevádzkových úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, výsledkom čoho je kontrola správnosti zostaveného modelu |
| Presnosť | Táto požiadavka predpokladá zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu |
| Ekonomika | Požiadavka nákladovej efektívnosti pre akýkoľvek matematický model je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak sa práca s modelom vykonáva ručne, potom je potrebné vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, potom sa vypočítajú ukazovatele nákladov na čas a počítačovú pamäť |
Fázymodeling
Celkovo je v matematickom modelovaní zvykom rozlišovať štyri stupne.
- Formulujte zákony, ktoré spájajú časti modelu.
- Výskum matematických problémov.
- Objasnenie zhody praktických a teoretických výsledkov.
- Analýza a modernizácia modelu.
Ekonomický a matematický model
V tejto časti stručne upozorníme na problematiku ekonomických a matematických modelov. Príklady úloh sú:
- tvorba výrobného programu na výrobu mäsových výrobkov, zabezpečujúca maximálny zisk výroby;
- maximalizujte zisk organizácie výpočtom optimálneho počtu stolov a stoličiek, ktoré sa majú vyrobiť v továrni na nábytok atď.
Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických výrazov a znakov.
Počítačový matematický model
Príklady počítačového matematického modelu sú:
- problémy hydrauliky pomocou vývojových diagramov, diagramov, tabuliek atď.;
- problémy s mechanikou pevných látok a tak ďalej.
Počítačový model je obrázok objektu alebo systému prezentovaný ako:
- stoly;
- flowcharts;
- diagrams;
- grafika a tak ďalej.
Tento model zároveň odráža štruktúru a prepojenia systému.
Budovanie ekonomicko-matematického modelu
Už sme hovorili o tom, aké ekonomickématematický model. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Musíme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.
Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale vytvoríme len ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: Л=р1х1+р2х2… smerujúce k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku, x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné urobiť výpočty a zhrnúť.
Príklad vytvorenia jednoduchého matematického modelu
Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:
- 8 ryby – obyvatelia severných morí;
- 20 % úlovku – obyvatelia južných morí;
- z miestnej rieky sa nenašla ani jedna ryba.
Koľko rýb kúpil v obchode?
Príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému je nasledujúci. Celkový počet rýb označíme ako x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0, 2x+8. Vyriešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.
