Aby si čitateľ ľahšie vedel predstaviť, čo je hyperboloid – trojrozmerný objekt – musíte najprv zvážiť zakrivenú hyperbolu s rovnakým názvom, ktorá sa zmestí do dvojrozmerného priestoru.
Hyperbola má dve osi: skutočnú, ktorá sa na tomto obrázku zhoduje s osou x, a imaginárnu s osou y. Ak v duchu začnete otáčať rovnicu hyperboly okolo jej imaginárnej osi, potom povrch „videný“krivkou bude jednovrstvový hyperboloid.
Ak však začneme hyperbolu otáčať okolo jej skutočnej osi týmto spôsobom, potom každá z dvoch „polovíc“krivky vytvorí svoj vlastný samostatný povrch a spolu sa bude nazývať dvoj- listový hyperboloid.
Získané rotáciou zodpovedajúcej rovinnej krivky sa nazývajú hyperboloidy rotácie. Majú parametre vo všetkých smeroch kolmých na os otáčania,prislúchajúce k otočenej krivke. Vo všeobecnosti to tak nie je.
Hyperboloidná rovnica
Vo všeobecnosti môže byť povrch definovaný nasledujúcimi rovnicami v karteziánskych súradniciach (x, y, z):
V prípade rotačného hyperboloidu je jeho symetria okolo osi, okolo ktorej rotoval, vyjadrená v rovnosti koeficientov a=b.
Hyperboloidné charakteristiky
Má trik. Vieme, že krivky v rovine majú ohniská - napríklad v prípade hyperboly modul rozdielu vzdialeností od ľubovoľného bodu na hyperbole k jednému ohnisku a druhému je z definície konštantný, v skutočnosti ohnisko body.
Pri prechode do trojrozmerného priestoru sa definícia prakticky nemení: ohniská sú opäť dva body a rozdiel vo vzdialenostiach od nich k ľubovoľnému bodu patriacemu k povrchu hyperboloidu je konštantný. Ako vidíte, zo zmien sa pre všetky možné body objavila iba tretia súradnica, pretože teraz sú zasadené do priestoru. Všeobecne povedané, definovanie ohniska je ekvivalentné identifikácii typu krivky alebo povrchu: rozprávaním o tom, ako sú body povrchu umiestnené vzhľadom na ohniská, vlastne odpovedáme na otázku, čo je hyperboloid a ako vyzerá.
Je potrebné pripomenúť, že hyperbola má asymptoty - priame čiary, ku ktorým jej vetvy smerujú do nekonečna. Ak sa pri konštrukcii rotačného hyperboloidu mentálne otáčajú asymptoty spolu s hyperbolou, potom okrem hyperboloidu dostaneme aj kužeľ nazývaný asymptotický. Asymptotický kužeľ jepre jednovrstvové a dvojvrstvové hyperboloidy.
Ďalšou dôležitou charakteristikou, ktorú má iba jednovrstvový hyperboloid, sú priamočiare generátory. Ako už názov napovedá, ide o čiary a úplne ležia na danom povrchu. Cez každý bod jednovrstvového hyperboloidu prechádzajú dva priamočiare generátory. Patria do dvoch rodín čiar, ktoré sú opísané nasledujúcimi sústavami rovníc:
Jednovrstvový hyperboloid teda môže byť celý zložený z nekonečného počtu priamych čiar dvoch rodín a každá čiara jednej z nich sa bude pretínať so všetkými čiarami druhej. Povrchy zodpovedajúce takýmto vlastnostiam sa nazývajú riadkované; môžu byť skonštruované pomocou rotácie jednej priamky. Definícia prostredníctvom vzájomného usporiadania čiar (priamočiarych generátorov) v priestore môže slúžiť aj ako jednoznačné označenie toho, čo je hyperboloid.
Zaujímavé vlastnosti hyperboloidu
Krivky druhého rádu a ich zodpovedajúce rotačné povrchy majú zaujímavé optické vlastnosti spojené s ohniskami. V prípade hyperboloidu je to formulované nasledovne: ak je lúč vyžarovaný z jedného ohniska, potom po odraze od najbližšej „steny“naberie taký smer, ako keby prišiel z druhého ohniska.
Hyperboloidy v živote
S najväčšou pravdepodobnosťou sa väčšina čitateľov začala zoznamovať s analytickou geometriou a povrchmi druhého rádu zo sci-fi románu od Alexeja Tolstého"Hyperboloidný inžinier Garin". Sám pisateľ však buď dobre nevedel, čo je hyperboloid, alebo kvôli umeniu obetoval presnosť: opísaný vynález je z hľadiska fyzikálnych vlastností skôr paraboloidom, ktorý zbiera všetky lúče do jedného ohniska (zatiaľ čo optické vlastnosti hyperboloidu sú spojené s rozptylom lúčov).
Takzvané hyperboloidné štruktúry sú v architektúre veľmi obľúbené: sú to štruktúry, ktoré majú tvar jednovrstvového hyperboloidu alebo hyperbolického paraboloidu. Faktom je, že iba tieto rotačné plochy druhého rádu majú priamočiare generátory: zakrivenú štruktúru je teda možné postaviť iba z priamych nosníkov. Výhody takýchto konštrukcií sú v schopnosti odolať veľkému zaťaženiu, napríklad vetrom: hyperboloidný tvar sa používa pri stavbe vysokých konštrukcií, napríklad televíznych veží.
