Na pochopenie toho, čo sú extrémne body funkcie, nie je vôbec potrebné vedieť o prítomnosti prvej a druhej derivácie a rozumieť ich fyzikálnemu významu. Najprv musíte pochopiť nasledovné:
- extrémy funkcie maximalizujú alebo naopak minimalizujú hodnotu funkcie v ľubovoľne malom okolí;
- V extrémnom bode by nemalo byť prerušenie funkcie.
A teraz to isté, len v jednoduchom jazyku. Pozrite sa na špičku guľôčkového pera. Ak je pero umiestnené vertikálne, s koncom na písanie hore, potom bude extrémnym bodom - najvyšším bodom samotný stred gule. V tomto prípade hovoríme o maxime. Ak teraz otočíte pero koncom na písanie dole, v strede guľôčky už bude minimum funkcií. Pomocou tu uvedeného obrázku si môžete predstaviť uvedené manipulácie pre kancelársku ceruzku. Takže extrémy funkcie sú vždy kritické body: jej maximá alebo minimá. Susedná časť grafu môže byť ľubovoľne ostrá alebo hladká, ale musí existovať na oboch stranách, len v tomto prípade je bod extrémom. Ak je graf prítomný iba na jednej strane, tento bod nebude extrémom, aj keď na jednej stranesú splnené extrémne podmienky. Teraz poďme študovať extrémy funkcie z vedeckého hľadiska. Na to, aby bol bod považovaný za extrém, je potrebné a postačujúce, aby:
- prvá derivácia sa rovnala nule alebo v danom bode neexistovala;
- prvá derivácia v tomto bode zmenila svoje znamienko.
Podmienka sa z hľadiska derivácií vyššieho rádu interpretuje trochu inak: pre funkciu diferencovateľnú v bode stačí, že existuje derivácia nepárneho rádu, ktorá sa nerovná nule, pričom všetky deriváty nižšieho rádu musia existovať a musia sa rovnať nule. Ide o najjednoduchší výklad viet z učebníc vyššej matematiky. Ale pre najbežnejších ľudí stojí za to vysvetliť tento bod na príklade. Základom je obyčajná parabola. Okamžite urobte rezerváciu, v bode nula má minimum. Len trochu matematiky:
- prvá derivácia (X2)|=2X, pre nulový bod 2X=0;
- druhá derivácia (2X)|=2, pre nulový bod 2=2.
Toto je jednoduchá ilustrácia podmienok, ktoré určujú extrémy funkcie pre derivácie prvého rádu aj pre derivácie vyššieho rádu. K tomu môžeme dodať, že druhá derivácia je len tá istá derivácia nepárneho rádu, ktorá sa nerovná nule, o ktorej sa hovorilo trochu vyššie. Pokiaľ ide o extrémy funkcie dvoch premenných, musia byť splnené podmienky pre oba argumenty. Kedydochádza k zovšeobecneniu, potom sa používajú parciálne derivácie. To znamená, že pre prítomnosť extrému v bode je nevyhnutné, aby sa obe derivácie prvého rádu rovnali nule, alebo aspoň jedna z nich neexistovala. Pre dostatočnosť prítomnosti extrému sa skúma výraz, ktorý je rozdielom medzi súčinom derivácií druhého rádu a druhou mocninou zmiešanej derivácie druhého rádu funkcie. Ak je tento výraz väčší ako nula, potom existuje extrém, a ak je nula, potom otázka zostáva otvorená a je potrebný ďalší výskum.
