Funkcia a štúdium jej vlastností je jednou z kľúčových kapitol modernej matematiky. Hlavnou súčasťou každej funkcie sú grafy zobrazujúce nielen jej vlastnosti, ale aj parametre derivácie tejto funkcie. Poďme sa pozrieť na túto ošemetnú tému. Aký je teda najlepší spôsob, ako nájsť maximálny a minimálny počet bodov funkcie?
Funkcia: Definícia
Akúkoľvek premennú, ktorá závisí nejakým spôsobom od hodnôt inej hodnoty, možno nazvať funkciou. Napríklad funkcia f(x2) je kvadratická a určuje hodnoty pre celú množinu x. Povedzme, že x=9, potom sa hodnota našej funkcie bude rovnať 92=81.
Funkcie sú dostupné v mnohých rôznych typoch: logické, vektorové, logaritmické, trigonometrické, numerické a iné. Do ich štúdia sa zapojili také vynikajúce mysle ako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Ich spisy slúžia ako opora v moderných spôsoboch štúdia funkcií. Pred nájdením minimálneho počtu bodov je veľmi dôležité pochopiť samotný význam funkcie a jej derivácie.
Derivát a jeho úloha
Všetky funkcie sú k dispozíciiv závislosti od ich premenných hodnôt, čo znamená, že svoju hodnotu môžu kedykoľvek zmeniť. Na grafe to bude znázornené ako krivka, ktorá buď klesá alebo stúpa pozdĺž osi y (toto je celá množina čísel "y" pozdĺž vertikály grafu). A tak je s týmito "osciláciami" spojená práve definícia bodu maxima a minima funkcie. Dovoľte nám vysvetliť, čo je tento vzťah.
Derivácia ľubovoľnej funkcie je nakreslená do grafu, aby bolo možné študovať jej hlavné charakteristiky a vypočítať, ako rýchlo sa funkcia mení (tj mení svoju hodnotu v závislosti od premennej „x“). V momente, keď sa funkcia zväčší, zväčší sa aj graf jej derivácie, ale každú sekundu sa funkcia môže začať zmenšovať a potom sa graf derivácie zmenší. Body, pri ktorých derivácia prechádza z mínusu do plusu, sa nazývajú minimálne body. Aby ste vedeli, ako nájsť minimálny počet bodov, mali by ste lepšie porozumieť konceptu derivácie.
Ako vypočítať deriváciu?
Definovanie a výpočet derivácie funkcie zahŕňa niekoľko konceptov z diferenciálneho počtu. Vo všeobecnosti možno samotnú definíciu derivácie vyjadriť takto: toto je hodnota, ktorá ukazuje rýchlosť zmeny funkcie.
Matematický spôsob jeho určenia sa pre mnohých študentov zdá komplikovaný, no v skutočnosti je všetko oveľa jednoduchšie. Treba len nasledovaťštandardný plán na nájdenie derivácie ľubovoľnej funkcie. Nasledujúci text popisuje, ako môžete nájsť minimálny bod funkcie bez použitia pravidiel diferenciácie a bez zapamätania si tabuľky derivácií.
- Deriváciu funkcie môžete vypočítať pomocou grafu. Aby ste to dosiahli, musíte znázorniť samotnú funkciu, potom na nej zobrať jeden bod (bod A na obr.) Nakresliť čiaru zvisle nadol k osi x (bod x0) a v bode A nakreslite dotyčnicu k funkčnej grafike. Os x a dotyčnica zvierajú uhol a. Ak chcete vypočítať hodnotu, ako rýchlo funkcia rastie, musíte vypočítať tangens tohto uhla a.
- Ukazuje sa, že dotyčnica uhla medzi dotyčnicou a smerom osi x je deriváciou funkcie v malej oblasti s bodom A. Táto metóda sa považuje za geometrický spôsob určenia derivácie.
Metódy skúmania funkcie
V školských osnovách matematiky je možné nájsť minimálny bod funkcie dvoma spôsobmi. Prvú metódu sme už analyzovali pomocou grafu, ale ako určiť číselnú hodnotu derivácie? Aby ste to dosiahli, budete sa musieť naučiť niekoľko vzorcov, ktoré popisujú vlastnosti derivácie a pomáhajú konvertovať premenné ako „x“na čísla. Nasledujúca metóda je univerzálna, takže ju možno použiť na takmer všetky druhy funkcií (geometrických aj logaritmických).
- Je potrebné prirovnať funkciu k derivačnej funkcii a potom výraz zjednodušiť pomocou pravidieldiferenciácia.
- vydeliť nulou).
- Potom by ste mali previesť pôvodný tvar funkcie na jednoduchú rovnicu, pričom celý výraz priradíte k nule. Napríklad, ak funkcia vyzerala takto: f(x)=2x3+38x, potom podľa pravidiel diferenciácie sa jej derivácia rovná f'(x)=3x 2 +1. Potom tento výraz transformujeme na rovnicu v nasledujúcom tvare: 3x2+1=0.
- Po vyriešení rovnice a nájdení bodov „x“by ste ich mali nakresliť na os x a určiť, či je derivácia v týchto oblastiach medzi označenými bodmi kladná alebo záporná. Po označení bude jasné, v ktorom bode funkcia začína klesať, to znamená, že mení znamienko z mínus na opačné. Týmto spôsobom môžete nájsť minimálny aj maximálny počet bodov.
Pravidlá diferenciácie
Najzákladnejšou časťou učenia sa funkcie a jej derivácie je poznanie pravidiel diferenciácie. Len s ich pomocou je možné transformovať ťažkopádne výrazy a veľké zložité funkcie. Poďme sa s nimi zoznámiť, je ich pomerne veľa, no všetky sú veľmi jednoduché vďaka regulárnym vlastnostiam mocninových aj logaritmických funkcií.
- Derivácia akejkoľvek konštanty je nula (f(x)=0). To znamená, že derivácia f(x)=x5+ x - 160 bude mať nasledujúci tvar: f' (x)=5x4+1.
- Derivácia súčtu dvoch členov: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivácia logaritmickej funkcie: (logad)'=d/ln ad. Tento vzorec platí pre všetky druhy logaritmov.
- Derivácia stupňa: (x)'=nxn-1. Napríklad (9x2)'=92x=18x.
- Derivácia sínusovej funkcie: (sin a)'=cos a. Ak je sin uhla a 0,5, potom jeho derivácia je √3/2.
Extrémne body
Už sme prišli na to, ako nájsť minimum bodov, existuje však koncept maximálnych bodov funkcie. Ak minimum označuje tie body, v ktorých funkcia prechádza z mínusu do plusu, potom maximálne body sú tie body na osi x, v ktorých sa derivácia funkcie mení z plusu na opačný - mínus.
Maximálny počet bodov môžete nájsť pomocou vyššie opísanej metódy, len treba vziať do úvahy, že označujú tie oblasti, kde funkcia začína klesať, to znamená, že derivácia bude menšia ako nula.
V matematike je zvykom zovšeobecňovať oba pojmy a nahrádzať ich frázou „extrémne body“. Keď úloha požaduje určiť tieto body, znamená to, že je potrebné vypočítať deriváciu tejto funkcie a nájsť minimum a maximum bodov.
