Štúdium funkcií a ich grafov je téma, ktorej sa v rámci stredoškolských osnov venuje osobitná pozornosť. Niektoré základy matematickej analýzy - diferenciácia - sú zahrnuté v profilovej úrovni skúšky z matematiky. Niektorí školáci majú s touto témou problémy, pretože si mýlia grafy funkcie a derivácie a tiež zabúdajú na algoritmy. Tento článok sa bude zaoberať hlavnými typmi úloh a ich riešením.
Aká je hodnota funkcie?
Matematická funkcia je špeciálna rovnica. Vytvára vzťah medzi číslami. Funkcia závisí od hodnoty argumentu.
Hodnota funkcie sa vypočíta podľa daného vzorca. Ak to chcete urobiť, nahraďte ľubovoľný argument, ktorý zodpovedá rozsahu platných hodnôt v tomto vzorci, namiesto x a vykonajte potrebné matematické operácie. Čo?
Ako môžete nájsť najmenšiu hodnotu funkcie,pomocou funkcie grafu?
Grafické znázornenie závislosti funkcie na argumente sa nazýva funkčný graf. Je postavený na rovine s určitým jednotkovým segmentom, kde je hodnota premennej alebo argumentu vynesená pozdĺž vodorovnej osi x a zodpovedajúca funkčná hodnota pozdĺž zvislej osi y.
Čím väčšia je hodnota argumentu, tým viac vpravo leží v grafe. A čím väčšia je hodnota samotnej funkcie, tým vyšší je bod.
Čo to hovorí? Najmenšia hodnota funkcie bude bod, ktorý leží na grafe najnižšie. Ak ho chcete nájsť v segmente grafu, potrebujete:
1) Nájdite a označte konce tohto segmentu.
2) Vizuálne určite, ktorý bod na tomto segmente leží najnižšie.
3) Ako odpoveď si zapíšte jeho číselnú hodnotu, ktorú možno určiť premietnutím bodu na os y.
Extrémne body na derivačnom grafe. Kde hľadať?
Pri riešení problémov však niekedy nie je uvedený graf funkcie, ale jej derivácie. Aby ste sa vyhli náhodnej hlúpej chybe, je lepšie si pozorne prečítať podmienky, pretože to závisí od toho, kde potrebujete hľadať extrémne body.
Derivácia je teda okamžitá rýchlosť nárastu funkcie. Podľa geometrickej definície derivácia zodpovedá sklonu dotyčnice, ktorá je priamo nakreslená k danému bodu.
Je známe, že v extrémnych bodoch je dotyčnica rovnobežná s osou Ox. To znamená, že jeho sklon je 0.
Z toho môžeme usúdiť, že v extrémnych bodoch derivácia leží na osi x alebo zmizne. Ale navyše v týchto bodoch funkcia mení svoj smer. To znamená, že po období nárastu začne klesať a derivát sa podľa toho zmení z pozitívneho na negatívny. Alebo naopak.
Ak sa derivácia stane zápornou z kladnej, je to maximálny bod. Ak sa z negatívneho stane kladné - minimálny bod.
Dôležité: ak potrebujete v úlohe špecifikovať minimálny alebo maximálny bod, ako odpoveď by ste mali napísať zodpovedajúcu hodnotu pozdĺž osi x. Ak však potrebujete nájsť hodnotu funkcie, musíte najskôr nahradiť zodpovedajúcu hodnotu argumentu do funkcie a vypočítať ju.
Ako nájsť extrémne body pomocou derivácie?
Uvažované príklady sa týkajú najmä úlohy číslo 7 skúšky, ktorá zahŕňa prácu s grafom derivácie alebo primitívnej derivácie. Úloha 12 USE – nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na segmente (niekedy najväčšiu) – sa vykonáva bez akýchkoľvek nákresov a vyžaduje si základné zručnosti v matematickej analýze.
Ak to chcete vykonať, musíte byť schopní nájsť extrémne body pomocou derivácie. Algoritmus na ich nájdenie je nasledujúci:
- Nájdite deriváciu funkcie.
- Nastavte ho na nulu.
- Nájdite korene rovnice.
- Skontrolujte, či sú získané body extrémnymi alebo inflexnými bodmi.
Ak to chcete urobiť, nakreslite diagram a pokračujtevýsledné intervaly určujú znamienka derivácie dosadením čísel patriacich segmentom do derivácie. Ak ste pri riešení rovnice dostali odmocniny dvojitej násobnosti, sú to inflexné body.
Aplikovaním teorém určte, ktoré body sú minimálne a ktoré maximálne
Vypočítajte najmenšiu hodnotu funkcie pomocou derivácie
Po vykonaní všetkých týchto akcií však nájdeme hodnoty minimálneho a maximálneho bodu pozdĺž osi x. Ale ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na segmente?
Čo je potrebné urobiť, aby ste našli číslo, ktoré zodpovedá funkcii v konkrétnom bode? Do tohto vzorca musíte nahradiť hodnotu argumentu.
Body minima a maxima zodpovedajú najmenšej a najväčšej hodnote funkcie v segmente. Ak teda chcete nájsť hodnotu funkcie, musíte funkciu vypočítať pomocou získaných hodnôt x.
Dôležité! Ak úloha vyžaduje, aby ste zadali minimálny alebo maximálny bod, ako odpoveď by ste mali napísať zodpovedajúcu hodnotu pozdĺž osi x. Ak však potrebujete nájsť hodnotu funkcie, musíte najskôr nahradiť zodpovedajúcu hodnotu argumentu do funkcie a vykonať potrebné matematické operácie.
Čo mám robiť, ak v tomto segmente nie sú žiadne minimá?
Ako však nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na segmente bez extrémnych bodov?
To znamená, že funkcia monotónne klesá alebo stúpa. Potom musíte do funkcie dosadiť hodnotu krajných bodov tohto segmentu. Sú dva spôsoby.
1) Po výpočtederivácia a intervaly, v ktorých je kladná alebo záporná, na záver, či funkcia na danom segmente klesá alebo rastie.
V súlade s nimi dosaďte do funkcie väčšiu alebo menšiu hodnotu argumentu.
2) Jednoducho dosaďte oba body do funkcie a porovnajte výsledné hodnoty funkcie.
V ktorých úlohách je hľadanie derivátu voliteľné
Spravidla musíte v priradeniach USE stále nájsť derivát. Existuje len pár výnimiek.
1) Parabola.
Vrchol paraboly nájdeme podľa vzorca.
Ak je < 0, potom vetvy paraboly smerujú nadol. A jeho vrchol je maximálny bod.
Ak je > 0, potom vetvy paraboly smerujú nahor, vrchol je minimálny bod.
Po výpočte bodu vrcholu paraboly by ste mali nahradiť jej hodnotu do funkcie a vypočítať zodpovedajúcu hodnotu funkcie.
2) Funkcia y=tg x. Alebo y=ctg x.
Tieto funkcie monotónne pribúdajú. Preto čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota samotnej funkcie. Ďalej sa pozrieme na to, ako nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v segmente s príkladmi.
Hlavné typy úloh
Úloha: najväčšia alebo najmenšia hodnota funkcie. Príklad na grafe.
Na obrázku vidíte graf derivácie funkcie f (x) na intervale [-6; 6]. V ktorom bode segmentu [-3; 3] f(x) má najmenšiu hodnotu?
Pre začiatok by ste teda mali vybrať špecifikovaný segment. Na ňom funkcia raz nadobudne nulovú hodnotu a zmení svoje znamienko - to je extrémny bod. Keďže derivácia zo záporu sa stáva kladnou, znamená to, že toto je minimálny bod funkcie. Tento bod zodpovedá hodnote argumentu 2.
Odpoveď: 2.
Pokračujte v prezeraní príkladov. Úloha: nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v segmente.
Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=(x - 8) ex-7 na intervale [6; 8].
1. Vezmite deriváciu komplexnej funkcie.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Prirovnajte výslednú deriváciu k nule a vyriešte rovnicu.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x – 7=0 alebo ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, bez koreňov
3. Dosaďte do funkcie hodnotu krajných bodov, ako aj získané korene rovnice.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Odpoveď: -1.
V tomto článku sme sa teda zaoberali hlavnou teóriou, ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na segmente, ktorá je potrebná na úspešné riešenie USE úloh v špecializovanej matematike. Aj prvky matematikyanalýzy sa používajú pri riešení úloh z časti C skúšky, ale zjavne predstavujú inú úroveň zložitosti a algoritmy ich riešenia sa ťažko zmestia do rámca jedného materiálu.
