Schopnosť pracovať s numerickými výrazmi obsahujúcimi druhú odmocninu je nevyhnutná pre úspešné riešenie množstva problémov z OGE a USE. Pri týchto skúškach zvyčajne postačuje základné pochopenie toho, čo je extrakcia koreňov a ako sa to robí v praxi.
Definícia
N-tá odmocnina čísla X je číslo x, pre ktoré platí rovnosť: xn =X.
Nájsť hodnotu výrazu s odmocninou znamená nájsť x dané X a n.
Odmocnina alebo, čo je to isté, druhá odmocnina z X - číslo x, pre ktoré je splnená rovnosť: x2 =X.
Označenie: ∛Х. Tu je 3 stupeň koreňa, X je výraz koreňa. Znak „√“sa často nazýva radikál.
Ak číslo nad odmocninou neoznačuje stupeň, potom je predvolený stupeň 2.
V školskom kurze pre párne stupne sa negatívne korene a radikálne prejavy zvyčajne neberú do úvahy. Napríklad neexistuje√-2 a pre výraz √4 je správna odpoveď 2, napriek tomu, že (-2)2 sa rovná aj 4.
Racionalita a iracionalita koreňov
Najjednoduchšou možnou úlohou s koreňom je nájsť hodnotu výrazu alebo ho otestovať na racionalitu.
Vypočítajte napríklad hodnoty √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, pretože 52 =25;
- ∛8=2 pretože 23 =8;
- ∛ - 125=-5 od (-5)3 =-125.
Odpovede v uvedených príkladoch sú racionálne čísla.
Pri práci s výrazmi, ktoré neobsahujú doslovné konštanty a premenné, sa odporúča vždy vykonať takúto kontrolu pomocou inverznej operácie zvýšenia na prirodzenú mocninu. Nájdenie čísla x na n-tú mocninu je ekvivalentné výpočtu súčinu n faktorov x.
Existuje veľa výrazov s odmocninou, ktorých hodnota je iracionálna, teda zapísaná ako nekonečný neperiodický zlomok.
Podľa definície sú racionálne čísla tie, ktoré možno vyjadriť ako spoločný zlomok, a iracionálne sú všetky ostatné reálne čísla.
Sem patria √24, √0, 1, √101.
Ak sa v knihe problémov píše: nájdite hodnotu výrazu s odmocninou 2, 3, 5, 6, 7 atď., teda z tých prirodzených čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v tabuľke druhých mocnín, potom je správna odpoveď √ Môže byť prítomných 2 (pokiaľ nie je uvedené inak).
Posudzovanie
V problémoch sotvorená odpoveď, ak nie je možné nájsť hodnotu výrazu s odmocninou a zapísať ho ako racionálne číslo, výsledok by mal byť ponechaný ako radikál.
Niektoré úlohy môžu vyžadovať vyhodnotenie. Napríklad porovnajte 6 a √37. Riešenie vyžaduje umocnenie oboch čísel a porovnanie výsledkov. Z dvoch čísel je to, ktorého štvorec je väčšie, väčšie. Toto pravidlo funguje pre všetky kladné čísla:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- znamená √37 > 6.
Rovnakým spôsobom sa riešia problémy, v ktorých je potrebné zoradiť niekoľko čísel vzostupne alebo zostupne.
Príklad: Usporiadajte 5, √6, √48, √√64 vzostupne.
Po kvadratúre máme: 25, 6, 48, √64. Dalo by sa znova odmocniť všetky čísla a porovnať ich s √64, ale to sa rovná racionálnemu číslu 8. 6 < 8 < 25 < 48, takže riešenie je: 48.
Zjednodušenie výrazu
Stáva sa, že nie je možné nájsť hodnotu výrazu s odmocninou, preto to treba zjednodušiť. K tomu pomáha nasledujúci vzorec:
√ab=√a√b.
Odmocnina súčinu dvoch čísel sa rovná súčinu ich koreňov. Táto operácia bude tiež vyžadovať schopnosť rozkladu čísla na faktorizáciu.
V počiatočnej fáze sa na urýchlenie práce odporúča mať po ruke tabuľku prvočísel a štvorcov. Tieto tabuľky s častýmpoužitie v budúcnosti bude zapamätané.
Napríklad √242 je iracionálne číslo, môžete ho previesť takto:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Výsledok sa zvyčajne zapíše ako 11√2 (čítaj: jedenásť koreňov z dvoch).
Ak je ťažké okamžite zistiť, na ktoré dva faktory treba číslo rozložiť, aby sa z jedného z nich dal extrahovať prirodzený koreň, môžete použiť úplný rozklad na prvočísla. Ak sa rovnaké prvočíslo vyskytuje dvakrát v expanzii, odstráni sa z koreňového znamienka. Ak existuje veľa faktorov, môžete extrahovať koreň v niekoľkých krokoch.
Príklad: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Číslo 2 sa vyskytuje v expanzii 2-krát (v skutočnosti viac ako dvakrát, ale stále nás zaujímajú prvé dva výskyty v expanzii).
Vyberáme to pod koreňovým znakom:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Zopakujte rovnakú akciu:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Vo zvyšnom radikálovom výraze sa 2 a 3 vyskytujú raz, takže zostáva vyňať faktor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
a vykonávať aritmetické operácie:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Takže dostaneme √2400=20√6.
Ak úloha výslovne neuvádza: „nájdi hodnotu výrazu s druhou odmocninou“, potom výber,v akej forme ponechať odpoveď (či extrahovať koreň spod radikálu) zostáva na študentovi a môže závisieť od riešeného problému.
Na návrh úloh, výpočet, vrátane ústneho alebo písomného, bez použitia technických prostriedkov, sú spočiatku kladené vysoké požiadavky.
Až po dobrom zvládnutí pravidiel pre prácu s iracionálnymi číselnými výrazmi má zmysel prejsť k zložitejším doslovným výrazom a k riešeniu iracionálnych rovníc a výpočtu rozsahu možných hodnôt výrazu podľa radikálne.
S týmto typom problémov sa študenti stretávajú na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, ako aj v prvom ročníku na špecializovaných univerzitách pri štúdiu matematickej analýzy a príbuzných odborov.
