V algebre existuje koncept dvoch typov rovnosti – identít a rovníc. Identity sú také rovnosti, ktoré sú realizovateľné pre akékoľvek hodnoty písmen, ktoré sú v nich zahrnuté. Rovnice sú tiež rovnosti, ale sú realizovateľné iba pre určité hodnoty písmen, ktoré sú v nich zahrnuté.
Písmená sú zvyčajne nerovnaké z hľadiska úlohy. To znamená, že niektoré z nich môžu nadobudnúť akékoľvek povolené hodnoty, nazývané koeficienty (alebo parametre), zatiaľ čo iné - nazývané neznáme - nadobúdajú hodnoty, ktoré je potrebné nájsť v procese riešenia. Neznáme veličiny sa v rovniciach spravidla označujú písmenami, posledné v latinskej abecede (x.y.z atď.), alebo rovnakými písmenami, ale s indexom (x1, x 2 atď.) a známe koeficienty sú dané prvými písmenami tej istej abecedy.
Na základe počtu neznámych sa rozlišujú rovnice s jednou, dvoma a niekoľkými neznámymi. Všetky hodnoty neznámych, pre ktoré sa riešená rovnica zmení na identitu, sa teda nazývajú riešenia rovníc. Rovnicu možno považovať za vyriešenú, ak sa nájdu všetky jej riešenia alebo sa dokáže, že žiadne nemá. Úloha „vyriešiť rovnicu“je v praxi bežná a znamená, že musíte nájsť koreň rovnice.
Definícia: korene rovnice sú tie hodnoty neznámych z rozsahu prípustných hodnôt, pri ktorých sa riešená rovnica stáva identitou.
Algoritmus na riešenie úplne všetkých rovníc je rovnaký a jeho význam je zredukovať tento výraz na jednoduchšiu formu pomocou matematických transformácií. Rovnice, ktoré majú rovnaké korene, sa v algebre nazývajú ekvivalentné.
Najjednoduchší príklad: 7x-49=0, koreň rovnice x=7;x-7=0, podobne koreň x=7, teda rovnice sú ekvivalentné. (V špeciálnych prípadoch ekvivalentné rovnice nemusia mať korene vôbec.)
Ak je koreň rovnice zároveň koreňom inej, jednoduchšej rovnice získanej z pôvodnej rovnice transformáciou, potom sa táto rovnica nazýva dôsledkom predchádzajúcej rovnice.
Ak je jedna z dvoch rovníc dôsledkom druhej, potom sa považujú za ekvivalentné. Nazývajú sa aj ekvivalentné. Príklad vyššie to ilustruje.
Riešenie aj tých najjednoduchších rovníc v praxi je často ťažké. Výsledkom riešenia môžete získať jeden koreň rovnice, dva alebo viac, dokonca nekonečné číslo - závisí to od typu rovníc. Sú aj také, ktoré nemajú korene, nazývajú sa nerozhodnuteľné.
Príklady:
1) 15x -20=10; x=2. Toto je jediný koreň rovnice.
2) 7x - y=0. Rovnica má nekonečný počet koreňov, pretože každá premenná ich môže mať nespočetnepočet hodnôt.
3) x2=- 16. Číslo umocnené na druhú mocninu vždy dáva kladný výsledok, takže nie je možné nájsť koreň rovnice. Toto je jedna z vyššie uvedených neriešiteľných rovníc.
Správnosť riešenia sa kontroluje dosadením nájdených koreňov namiesto písmen a riešením výsledného príkladu. Ak identita platí, riešenie je správne.
