Počet je odvetvie počtu, ktoré študuje derivácie, diferenciály a ich použitie pri štúdiu funkcie.
História vzhľadu
Diferenciálny počet sa objavil ako samostatná disciplína v druhej polovici 17. storočia vďaka práci Newtona a Leibniza, ktorí sformulovali základné ustanovenia v diferenciálnom počte a všimli si súvislosť medzi integráciou a diferenciáciou. Od tohto momentu sa disciplína rozvíjala spolu s počtom integrálov, čím sa vytvorila základňa matematickej analýzy. Objavenie sa tohto počtu otvorilo nové moderné obdobie v matematickom svete a spôsobilo vznik nových disciplín vo vede. Rozšírila tiež možnosť aplikácie matematických vied v prírodných vedách a technike.
Základné pojmy
Diferenciálny počet je založený na základných pojmoch matematiky. Sú to: reálne číslo, spojitosť, funkcia a limita. Postupom času nadobudli moderný vzhľad vďaka integrálnemu a diferenciálnemu počtu.
Proces tvorby
K vzniku diferenciálneho počtu vo forme aplikovanej a následne vedeckej metódy došlo ešte pred vznikom filozofickej teórie, ktorú vytvoril Mikuláš Kuzanský. Jeho diela sa považujú za evolučný vývoj z úsudkov starovekej vedy. Napriek tomu, že samotný filozof nebol matematikom, jeho prínos k rozvoju matematickej vedy je nepopierateľný. Kuzansky bol jedným z prvých, ktorí upustili od toho, aby považovali aritmetiku za najpresnejšiu oblasť vedy, čím spochybnili vtedajšiu matematiku.
Staroveký matematici používali jednotku ako univerzálne kritérium, zatiaľ čo filozof navrhol nekonečno ako novú mieru namiesto presného čísla. V tomto ohľade je znázornenie presnosti v matematickej vede obrátené. Vedecké poznanie sa podľa neho delí na racionálne a intelektuálne. Druhý je podľa vedca presnejší, keďže prvý poskytuje len približný výsledok.
Nápad
Hlavná myšlienka a koncept v diferenciálnom počte súvisí s funkciou v malých susedstvách určitých bodov. Na to je potrebné vytvoriť matematický aparát na štúdium funkcie, ktorej správanie sa v malom okolí stanovených bodov je blízke chovaniu polynómu alebo lineárnej funkcie. Toto je založené na definícii derivátu a diferenciálu.
Výskyt pojmu derivát bol spôsobený veľkým množstvom problémov z prírodných vied a matematiky,čo viedlo k nájdeniu hodnôt limitov rovnakého typu.
Jedným z hlavných problémov, ktoré sa uvádzajú ako príklad už od strednej školy, je určiť rýchlosť pohybu bodu po priamke a zostrojiť dotyčnicu k tejto krivke. Diferenciál s tým súvisí, pretože je možné aproximovať funkciu v malom okolí uvažovaného bodu lineárnej funkcie.
V porovnaní s konceptom derivácie funkcie reálnej premennej, definícia diferenciálov jednoducho prechádza na funkciu všeobecnej povahy, najmä na obraz jedného euklidovského priestoru na druhom.
Derivative
Nechajte bod pohybovať sa v smere osi Oy po dobu x, ktorá sa počíta od určitého začiatku okamihu. Takýto pohyb možno opísať funkciou y=f(x), ktorá je priradená každému časovému momentu x súradnice presúvaného bodu. V mechanike sa táto funkcia nazýva pohybový zákon. Hlavnou charakteristikou pohybu, najmä nerovnomerného, je okamžitá rýchlosť. Keď sa bod pohybuje pozdĺž osi Oy podľa zákona mechaniky, potom v náhodnom časovom okamihu x získa súradnicu f (x). V časovom okamihu x + Δx, kde Δx označuje prírastok času, bude jeho súradnica f(x + Δx). Takto sa vytvorí vzorec Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), ktorý sa nazýva prírastok funkcie. Predstavuje cestu prejdenú bodom v čase od x do x + Δx.
Vzhľadom na vznik tohtorýchlosti v čase sa zavedie derivácia. V ľubovoľnej funkcii sa derivácia v pevnom bode nazýva limita (za predpokladu, že existuje). Môže byť označený určitými symbolmi:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Proces výpočtu derivácie sa nazýva diferenciácia.
Diferenciálny počet funkcie viacerých premenných
Táto metóda výpočtu sa používa pri skúmaní funkcie s viacerými premennými. V prítomnosti dvoch premenných x a y sa parciálna derivácia vzhľadom na x v bode A nazýva derivácia tejto funkcie vzhľadom na x s pevným y.
Môže byť reprezentované nasledujúcimi znakmi:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x alebo ∂f(x, y)’/∂x.
Požadované zručnosti
Zručnosti v oblasti integrácie a diferenciácie sú potrebné na úspešné štúdium a schopnosť riešiť difúzne otázky. Aby ste uľahčili pochopenie diferenciálnych rovníc, mali by ste dobre rozumieť téme derivácie a neurčitého integrálu. Nezaškodí ani naučiť sa nájsť deriváciu implicitne danej funkcie. Je to spôsobené tým, že v procese štúdia integrálov a diferenciácií bude často potrebné použiť.
Typy diferenciálnych rovníc
V takmer všetkých testovacích prácach týkajúcich sa diferenciálnych rovníc prvého rádu sú 3 typy rovníc: homogénne, s oddeliteľnými premennými, lineárne nehomogénne.
Existujú aj zriedkavejšie druhy rovníc: s totálnymi diferenciálmi, Bernoulliho rovnice a iné.
Základy rozhodovania
Najprv by ste si mali zapamätať algebraické rovnice zo školského kurzu. Obsahujú premenné a čísla. Ak chcete vyriešiť obyčajnú rovnicu, musíte nájsť množinu čísel, ktoré spĺňajú danú podmienku. Takéto rovnice mali spravidla jeden koreň a na kontrolu správnosti stačilo túto hodnotu nahradiť neznámou.
Diferenciálna rovnica je podobná tejto. Vo všeobecnosti takáto rovnica prvého rádu zahŕňa:
- Nezávislá premenná.
- Derivácia prvej funkcie.
- Funkcia alebo závislá premenná.
V niektorých prípadoch môže jedna z neznámych, x alebo y, chýbať, ale to nie je také dôležité, pretože prítomnosť prvej derivácie bez derivácií vyššieho rádu je nevyhnutná pre riešenie a diferenciál aby bol výpočet správny.
Vyriešiť diferenciálnu rovnicu znamená nájsť množinu všetkých funkcií zodpovedajúcich danému výrazu. Takáto množina funkcií sa často nazýva všeobecné riešenie DE.
Integrovaný kalkul
Integrálny počet je jednou zo sekcií matematickej analýzy, ktorá študuje koncept integrálu, vlastnosti a metódy jeho výpočtu.
Výpočet integrálu sa často vyskytuje pri výpočte plochy krivočiareho útvaru. Táto plocha znamená hranicu, ku ktorej smeruje plocha mnohouholníka vpísaného do daného obrázku s postupným zväčšovaním jeho strany, pričom tieto strany môžu byť menšie ako akékoľvek predtým špecifikované ľubovoľnémalá hodnota.
Hlavnou myšlienkou pri výpočte plochy ľubovoľného geometrického útvaru je vypočítať plochu obdĺžnika, to znamená dokázať, že jeho plocha sa rovná súčinu dĺžky a šírky. Pokiaľ ide o geometriu, všetky konštrukcie sa vyrábajú pomocou pravítka a kompasu a potom je pomer dĺžky k šírke racionálnou hodnotou. Pri výpočte plochy pravouhlého trojuholníka môžete určiť, že ak vedľa neho umiestnite rovnaký trojuholník, vytvorí sa obdĺžnik. V rovnobežníku sa plocha vypočíta podobnou, ale trochu komplikovanejšou metódou, cez obdĺžnik a trojuholník. V polygónoch sa plocha vypočítava pomocou trojuholníkov, ktoré sú v nich zahrnuté.
Pri určovaní šetrenia ľubovoľnej krivky táto metóda nebude fungovať. Ak ho rozdelíte na jednotlivé štvorce, zostanú nevyplnené miesta. V tomto prípade sa pokúsime použiť dva kryty s obdĺžnikmi navrchu a naspodu, v dôsledku čoho tieto obsahujú graf funkcie a nie. Spôsob rozdelenia na tieto obdĺžniky tu zostáva dôležitý. Tiež, ak vezmeme čoraz menšie partície, potom by sa oblasť nad a pod mala zbiehať na určitej hodnote.
Mal by sa vrátiť k metóde rozdelenia na obdĺžniky. Existujú dva populárne spôsoby.
Riemann formalizoval definíciu integrálu vytvoreného Leibnizom a Newtonom ako oblasť podgrafu. V tomto prípade boli uvažované čísla pozostávajúce z určitého počtu vertikálnych obdĺžnikov a získané delenímsegment. Keď pri zmenšovaní delenia existuje limit, na ktorý sa plocha podobného čísla zmenšuje, tento limit sa nazýva Riemannov integrál funkcie na danom intervale.
Druhou metódou je konštrukcia Lebesgueovho integrálu, ktorá spočíva v tom, že pre miesto rozdelenia definovanej oblasti na časti integrandu a následnom zostavení integrálneho súčtu z hodnôt získaných v týchto častiach, jeho rozsah hodnôt je rozdelený do intervalov a potom sčítaný so zodpovedajúcimi mierami predobrazov týchto integrálov.
Moderné výhody
Jednu z hlavných príručiek pre štúdium diferenciálneho a integrálneho počtu napísal Fikhtengolts – „Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu“. Jeho učebnica je základnou príručkou k štúdiu matematickej analýzy, ktorá prešla mnohými vydaniami a prekladmi do iných jazykov. Vytvorený pre študentov vysokých škôl a dlhodobo využívaný v mnohých vzdelávacích inštitúciách ako jedna z hlavných študijných pomôcok. Poskytuje teoretické údaje a praktické zručnosti. Prvýkrát publikované v roku 1948.
Algoritmus výskumu funkcií
Ak chcete preskúmať funkciu pomocou metód diferenciálneho počtu, musíte postupovať podľa už uvedeného algoritmu:
- Nájdite rozsah funkcie.
- Nájdite korene danej rovnice.
- Vypočítajte extrémy. Ak to chcete urobiť, vypočítajte deriváciu a body, v ktorých sa rovná nule.
- Dosaďte výslednú hodnotu do rovnice.
Rôzne diferenciálne rovnice
ovládanie prvého rádu (inak, diferenciáljednopremenný počet) a ich typy:
- Oddeliteľná rovnica: f(y)dy=g(x)dx.
- Najjednoduchšie rovnice alebo diferenciálny počet funkcie jednej premennej, ktoré majú vzorec: y'=f(x).
- Lineárne nehomogénne DE prvého rádu: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoulliho diferenciálna rovnica: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Rovnica s celkovými diferenciálmi: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Diferenciálne rovnice druhého rádu a ich typy:
- Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s hodnotami konštantných koeficientov: y +py'+qy=0 p, q patrí do R.
- Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi: y +py'+qy=f(x).
- Lineárna homogénna diferenciálna rovnica: y +p(x)y'+q(x)y=0 a nehomogénna rovnica druhého rádu: y +p(x)y'+q(x)y=f(x).
Diferenciálne rovnice vyššieho rádu a ich typy:
- Diferenciálna rovnica, ktorú je možné redukovať v poradí: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Lineárna homogénna rovnica vyššieho rádu: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0 a nehomogénne: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Kroky pri riešení problému s diferenciálnou rovnicou
Pomocou diaľkového ovládania sa riešia nielen matematické či fyzikálne otázky, ale aj rôzne úlohy z r.biológia, ekonómia, sociológia atď. Napriek širokej škále tém by sme sa pri riešení takýchto problémov mali držať jedinej logickej postupnosti:
- Kompilácia diaľkového ovládača. Jeden z najťažších krokov, ktorý si vyžaduje maximálnu presnosť, pretože akákoľvek chyba povedie k úplne nesprávnym výsledkom. Mali by sa vziať do úvahy všetky faktory ovplyvňujúce proces a mali by sa určiť počiatočné podmienky. Malo by byť tiež založené na faktoch a logických záveroch.
- Riešenie formulovanej rovnice. Tento proces je jednoduchší ako prvý krok, pretože vyžaduje iba prísne matematické výpočty.
- Analýza a vyhodnotenie výsledkov. Odvodené riešenie by sa malo vyhodnotiť, aby sa stanovila praktická a teoretická hodnota výsledku.
Príklad použitia diferenciálnych rovníc v medicíne
Použitie diaľkového ovládania v oblasti medicíny sa vyskytuje pri zostavovaní epidemiologického matematického modelu. Zároveň netreba zabúdať, že tieto rovnice sa nachádzajú aj v biológii a chémii, ktoré majú blízko k medicíne, pretože v nej hrá dôležitú úlohu štúdium rôznych biologických populácií a chemických procesov v ľudskom tele.
V uvedenom príklade epidémie môžeme uvažovať o šírení infekcie v izolovanej spoločnosti. Obyvatelia sa delia na tri typy:
- Infikovaný, číslo x(t), pozostávajúci z jedincov, prenášačov infekcie, z ktorých každý je nákazlivý (inkubačná doba je krátka).
- Druhý typ zahŕňavnímavých jedincov y(t) schopných nakaziť sa kontaktom s infikovanými jedincami.
- Tretí druh zahŕňa imúnnych jedincov z(t), ktorí sú imúnni alebo zomreli v dôsledku choroby.
Počet jednotlivcov je konštantný, neberie sa do úvahy pôrod, prirodzené úmrtia a migrácia. V jadre budú dve hypotézy.
Percento incidencie v určitom časovom bode je x(t)y(t) (založené na teórii, že počet prípadov je úmerný počtu priesečníkov medzi chorými a vnímavými zástupcami, ktoré v prvom aproximácia bude úmerná x(t)y(t), v súvislosti s tým sa počet prípadov zvyšuje a počet náchylných klesá rýchlosťou, ktorá sa vypočíta podľa vzorca ax(t)y(t) (a > 0).
Počet imúnnych jedincov, ktorí sa stali imúnnymi alebo zomreli, sa zvyšuje rýchlosťou, ktorá je úmerná počtu prípadov, bx(t) (b > 0).
V dôsledku toho môžete vytvoriť systém rovníc zohľadňujúci všetky tri ukazovatele a na základe toho vyvodiť závery.
Ekonomický príklad
V ekonomickej analýze sa často používa diferenciálny počet. Hlavnou úlohou v ekonomickej analýze je štúdium veličín z ekonomiky, ktoré sú zapísané vo forme funkcie. Používa sa pri riešení problémov, ako sú zmeny v príjmoch bezprostredne po zvýšení daní, zavedenie ciel, zmeny v príjmoch spoločnosti pri zmene výrobných nákladov, v akom pomere môžu byť dôchodcovia nahradení novým zariadením. Na vyriešenie takýchto problémov je potrebnézostavte spojovaciu funkciu zo vstupných premenných, ktoré sa potom študujú pomocou diferenciálneho počtu.
V ekonomickej sfére je často potrebné nájsť tie najoptimálnejšie ukazovatele: maximálnu produktivitu práce, najvyššie príjmy, najnižšie náklady a pod. Každý takýto indikátor je funkciou jedného alebo viacerých argumentov. Napríklad produkciu možno považovať za funkciu práce a kapitálových vstupov. V tomto ohľade sa nájdenie vhodnej hodnoty môže zredukovať na nájdenie maxima alebo minima funkcie z jednej alebo viacerých premenných.
Problémy tohto druhu vytvárajú v ekonomickej oblasti triedu extrémnych problémov, ktorých riešenie si vyžaduje diferenciálny počet. Keď je potrebné minimalizovať alebo maximalizovať ekonomický ukazovateľ ako funkciu iného ukazovateľa, potom v bode maxima bude mať pomer prírastku funkcie k argumentom tendenciu k nule, ak prírastok argumentu smeruje k nule. V opačnom prípade, keď takýto pomer smeruje k nejakej kladnej alebo zápornej hodnote, uvedený bod nie je vhodný, pretože zvýšením alebo znížením argumentu môžete zmeniť závislú hodnotu v požadovanom smere. V terminológii diferenciálneho počtu to bude znamenať, že požadovaná podmienka pre maximum funkcie je nulová hodnota jej derivácie.
V ekonómii sa často vyskytujú problémy s nájdením extrému funkcie s viacerými premennými, pretože ekonomické ukazovatele sa skladajú z mnohých faktorov. Takéto otázky sú dobré.študoval teóriu funkcií viacerých premenných s použitím metód diferenciálneho výpočtu. Takéto problémy zahŕňajú nielen maximalizované a minimalizované funkcie, ale aj obmedzenia. Takéto otázky súvisia s matematickým programovaním a riešia sa pomocou špeciálne vyvinutých metód, tiež založených na tomto odbore vedy.
Z metód diferenciálneho počtu používaných v ekonómii je dôležitou sekciou marginálna analýza. V ekonomickej sfére sa pod týmto pojmom rozumie súbor metód na štúdium premenných ukazovateľov a výsledkov pri zmene objemu tvorby, spotreby na základe analýzy ich hraničných ukazovateľov. Limitujúcim ukazovateľom sú derivácie alebo parciálne derivácie s niekoľkými premennými.
Diferenciálny počet viacerých premenných je dôležitou témou v oblasti matematickej analýzy. Na podrobné štúdium vám poslúžia rôzne učebnice pre vysokoškolské vzdelávanie. Jeden z najznámejších vytvoril Fikhtengolts - "Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu". Ako už názov napovedá, zručnosti v práci s integrálmi sú veľmi dôležité pre riešenie diferenciálnych rovníc. Keď sa uskutoční diferenciálny počet funkcie jednej premennej, riešenie sa zjednoduší. Hoci, treba poznamenať, podlieha rovnakým základným pravidlám. Na štúdium funkcie v praxi diferenciálnym počtom stačí postupovať podľa už existujúceho algoritmu, ktorý je daný na strednej škole a pri zavádzaní nových je len trochu komplikovaný.premenné.
