Pri príprave na skúšku z matematiky si študenti musia systematizovať svoje znalosti z algebry a geometrie. Chcel by som skombinovať všetky známe informácie, napríklad ako vypočítať plochu pyramídy. Navyše, počnúc od základne a bočných plôch až po celú plochu. Ak je situácia s bočnými stenami jasná, keďže ide o trojuholníky, základňa je vždy iná.
Ako nájsť oblasť základne pyramídy?
Môže to byť úplne akýkoľvek tvar: od ľubovoľného trojuholníka po n-uholník. A táto základňa, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť pravidelná alebo nesprávna. V úlohách USE, ktoré zaujímajú školákov, sú na základni iba úlohy so správnymi figúrkami. Preto budeme hovoriť iba o nich.
Pravidelný trojuholník
To je rovnostranné. Taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a označuje sa písmenom „a“. V tomto prípade sa plocha základne pyramídy vypočíta podľa vzorca:
S=(a2√3) / 4.
Square
Vzorec na výpočet jeho plochy je najjednoduchší,tu "a" je opäť strana:
S=a2.
Svojvoľný pravidelný n-uholník
Strana mnohouholníka má rovnaké označenie. Pre počet rohov sa používa latinské písmeno n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Ako vypočítať bočnú a celkovú plochu?
Keďže základňa je pravidelný útvar, všetky strany pyramídy sú rovnaké. Okrem toho je každý z nich rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom, aby ste mohli vypočítať bočnú plochu pyramídy, potrebujete vzorec pozostávajúci zo súčtu identických monomiálov. Počet členov je určený počtom strán základne.
Oblasť rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom sa polovica súčinu základne vynásobí výškou. Táto výška v pyramíde sa nazýva apotém. Jeho označenie je „A“. Všeobecný vzorec pre plochu bočného povrchu je:
S=½ PA, kde P je obvod základne pyramídy.
Sú situácie, keď strany základne nie sú známe, ale bočné hrany (c) a plochý uhol v jej vrchole (α) sú dané. Potom sa má použiť tento vzorec na výpočet bočnej plochy pyramídy:
S=n/2in2 sin α.
Problém 1
Stav. Nájdite celkovú plochu pyramídy, ak jej základňa je rovnostranný trojuholník so stranou 4 cm a apotém je √3 cm.
Rozhodnutie. JehoMusíte začať výpočtom obvodu základne. Keďže ide o pravidelný trojuholník, potom P \u003d 34 \u003d 12 cm. Keďže apotém je známy, môžete okamžite vypočítať plochu celého bočného povrchu: ½12√3=6 √3 cm 2.
Pre trojuholník na základni získate nasledujúcu hodnotu plochy: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Na určenie celkovej plochy je potrebné pridať dve výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Odpoveď. 10√3cm2.
Problém 2
Stav. Je tam pravidelná štvorhranná pyramída. Dĺžka strany základne je 7 mm, bočná hrana je 16 mm. Musíte poznať jeho povrch.
Rozhodnutie. Pretože mnohosten je štvoruholníkový a pravidelný, jeho základňou je štvorec. Po naučení plôch základne a bočných plôch bude možné vypočítať plochu pyramídy. Vzorec pre štvorec je uvedený vyššie. A na bočných stranách sú známe všetky strany trojuholníka. Preto môžete použiť Heronov vzorec na výpočet ich plôch.
Prvé výpočty sú jednoduché a vedú k tomuto číslu: 49 mm2. Pre druhú hodnotu budete musieť vypočítať polobvod: (7 + 162): 2=19,5 mm. Teraz môžete vypočítať obsah rovnoramenného trojuholníka: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Takéto trojuholníky sú len štyri, takže pri výpočte konečného čísla ho budete musieť vynásobiť 4.
Ukazuje sa: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Odpoveď. Požadovaná hodnota 267,576mm2.
Problém 3
Stav. Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu musíte vypočítať plochu. Vie stranu štvorca - 6 cm a výšku - 4 cm.
Rozhodnutie. Najjednoduchšie je použiť vzorec so súčinom obvodu a apotému. Prvú hodnotu je ľahké nájsť. Druhá je o niečo ťažšia.
Budeme si musieť zapamätať Pytagorovu vetu a zvážiť pravouhlý trojuholník. Tvorí ho výška pyramídy a apotém, čo je prepona. Druhá vetva sa rovná polovici strany štvorca, pretože výška mnohostenu spadá do jeho stredu.
Požadovaná apotéma (prepona pravouhlého trojuholníka) je √(32 + 42)=5 (cm).
Teraz môžete vypočítať požadovanú hodnotu: ½(46)5+62=96 (pozri2).
Odpoveď. 96 cm2.
Problém 4
Stav. Daná pravidelná šesťuholníková pyramída. Strany jeho základne sú 22 mm, bočné rebrá sú 61 mm. Aký je bočný povrch tohto mnohostenu?
Rozhodnutie. Úvaha v nej je rovnaká ako v úlohe č.2. Iba tam bola daná pyramída so štvorcom na základni a teraz je to šesťuholník.
V prvom rade sa plocha základne vypočíta pomocou vyššie uvedeného vzorca: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Teraz potrebujete zistiť polobvod rovnoramenného trojuholníka, čo je bočná strana. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Zostáva vypočítať plochu každého takéhotrojuholník a potom ho vynásobte šiestimi a pridajte k tomu, ktorý sa ukázal ako základ.
Výpočet podľa Heronovho vzorca: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Výpočty, ktoré poskytnú plochu bočného povrchu: 6606=3960 cm2. Zostáva ich sčítať, aby ste zistili celú plochu: 5217, 47≈5217 cm2.
Odpoveď. Základňa - 726√3cm2, bočná plocha - 3960 cm2, celková plocha - 5217 cm2.
