Lietadlo vo vesmíre. Umiestnenie lietadiel vo vesmíre

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Rovina je geometrický objekt, ktorého vlastnosti sa používajú pri konštrukcii projekcií bodov a čiar, ako aj pri výpočte vzdialeností a dihedrálnych uhlov medzi prvkami trojrozmerných útvarov. Pozrime sa v tomto článku na to, aké rovnice možno použiť na štúdium polohy lietadiel vo vesmíre.

Definícia roviny

Každý si intuitívne predstavuje, o akom predmete sa bude diskutovať. Z geometrického hľadiska je rovina súborom bodov, medzi ktorými musia byť ľubovoľné vektory kolmé na niektorý vektor. Napríklad, ak je v priestore m rôznych bodov, potom z nich možno vytvoriť m(m-1) / 2 rôzne vektory, ktoré spájajú body do párov. Ak sú všetky vektory kolmé na nejaký jeden smer, potom je postačujúca podmienka, že všetky body m patria do rovnakej roviny.

Všeobecná rovnica

V priestorovej geometrii je rovina opísaná pomocou rovníc, ktoré vo všeobecnosti obsahujú tri neznáme súradnice zodpovedajúce osám x, y a z. Komuzískajte všeobecnú rovnicu v rovinných súradniciach v priestore, predpokladajme, že existuje vektor n¯(A; B; C) a bod M(x₀; y₀; z_{0). Pomocou týchto dvoch objektov je možné jednoznačne definovať rovinu.}

Predpokladajme, že existuje nejaký druhý bod P(x; y; z), ktorého súradnice nie sú známe. Podľa vyššie uvedenej definície musí byť vektor MP¯ kolmý na n¯, to znamená, že ich skalárny súčin je rovný nule. Potom môžeme napísať nasledujúci výraz:

(n¯MP¯)=0 alebo

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Otvorením zátvoriek a zavedením nového koeficientu D dostaneme výraz:

Ax + By + Cz + D=0, kde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Tento výraz sa nazýva všeobecná rovnica pre rovinu. Je dôležité si uvedomiť, že koeficienty pred x, y a z tvoria súradnice vektora n¯(A; B; C) kolmého na rovinu. Zhoduje sa s normálom a je vodítkom pre lietadlo. Na určenie všeobecnej rovnice nezáleží na tom, kam tento vektor smeruje. To znamená, že roviny postavené na vektoroch n¯ a -n¯ budú rovnaké.

Na obrázku vyššie je znázornená rovina, vektor na ňu kolmý a priamka kolmá na rovinu.

Segmenty odrezané rovinou na osiach a zodpovedajúca rovnica

Všeobecná rovnica umožňuje pomocou jednoduchých matematických operácií určiť, vv ktorých bodoch bude rovina pretínať súradnicové osi. Je dôležité poznať tieto informácie, aby ste mali predstavu o polohe v priestore roviny, ako aj pri jej znázornení na výkresoch.

Na určenie pomenovaných priesečníkov sa používa rovnica v segmentoch. Nazýva sa tak preto, že explicitne obsahuje hodnoty dĺžok segmentov odrezaných rovinou na súradnicových osiach pri počítaní od bodu (0; 0; 0). Poďme na túto rovnicu.

Napíšte všeobecný výraz pre rovinu takto:

Ax + By + Cz=-D

Ľavá a pravá časť môžu byť rozdelené -D bez porušenia rovnosti. Máme:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 alebo

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Navrhnite menovateľov každého výrazu novým symbolom, dostaneme:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C potom

x/p + y/q + z/r=1

Toto je rovnica uvedená vyššie v segmentoch. Z neho vyplýva, že hodnota menovateľa každého člena udáva súradnicu priesečníka s príslušnou osou roviny. Napríklad pretína os y v bode (0; q; 0). Je to ľahké pochopiť, ak do rovnice dosadíte nulové súradnice x a z.

Všimnite si, že ak v rovnici v segmentoch nie je žiadna premenná, znamená to, že rovina nepretína zodpovedajúcu os. Napríklad pri výraze:

x/p + y/q=1

To znamená, že rovina odreže segmenty p a q na osiach x a y, ale bude rovnobežná s osou z.

Záver o správaní lietadla, keďabsencia nejakej premennej v jej rovnici platí aj pre výraz všeobecného typu, ako je znázornené na obrázku nižšie.

Vektorová parametrická rovnica

Existuje tretí druh rovnice, ktorý umožňuje opísať rovinu v priestore. Nazýva sa parametrický vektor, pretože je daný dvoma vektormi ležiacimi v rovine a dvoma parametrami, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľné nezávislé hodnoty. Poďme si ukázať, ako možno získať túto rovnicu.

Predpokladajme, že existuje niekoľko známych vektorov u ¯(a₁; b₁; c₁) a v¯(a₂; b₂; c₂). Ak nie sú rovnobežné, možno ich použiť na nastavenie konkrétnej roviny fixovaním začiatku jedného z týchto vektorov v známom bode M(x₀; y₀; z_{0). Ak ľubovoľný vektor MP¯ možno znázorniť ako kombináciu lineárnych vektorov u¯ a v¯, potom to znamená, že bod P(x; y; z) patrí do tej istej roviny ako u¯, v¯. Rovnosť teda môžeme napísať:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ak túto rovnosť zapíšeme ako súradnice, dostaneme:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Predložená rovnosť je parametrická vektorová rovnica pre rovinu. ATvektorový priestor v rovine u¯ a v¯ sa nazývajú generátory.

Ďalej sa pri riešení úlohy ukáže, ako možno túto rovnicu zredukovať na všeobecnú formu pre rovinu.

Uhol medzi rovinami v priestore

Intuitívne sa roviny v 3D priestore môžu pretínať alebo nie. V prvom prípade je zaujímavé nájsť uhol medzi nimi. Výpočet tohto uhla je náročnejší ako uhol medzi čiarami, keďže hovoríme o dihedrálnom geometrickom objekte. Na pomoc však prichádza už spomínaný navádzací vektor pre lietadlo.

Geometricky sa zistilo, že dihedrálny uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je presne rovnaký ako uhol medzi ich vodiacimi vektormi. Označme tieto vektory ako n₁¯(a₁; b₁; c_{1) a n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Kosínus uhla medzi nimi je určený zo skalárneho súčinu. To znamená, že samotný uhol v priestore medzi rovinami možno vypočítať podľa vzorca:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Tu sa modul v menovateli používa na vyradenie hodnoty tupého uhla (medzi pretínajúcimi sa rovinami je vždy menší alebo rovný 90o).

V súradnicovej forme možno tento výraz prepísať takto:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Roviny kolmé a rovnobežné

Ak sa roviny pretínajú a uhol, ktorý zvierajú, je 90o, budú kolmé. Príkladom takýchto rovín je pravouhlý hranol alebo kocka. Tieto obrazce sú tvorené šiestimi rovinami. V každom vrchole menovaných útvarov sú tri na seba kolmé roviny.

Na zistenie, či sú uvažované roviny kolmé, stačí vypočítať skalárny súčin ich normálových vektorov. Postačujúcou podmienkou pre kolmosť v priestore rovín je nulová hodnota tohto produktu.

Paralelné sa nazývajú nepretínajúce sa roviny. Niekedy sa tiež hovorí, že rovnobežné roviny sa pretínajú v nekonečne. Podmienka rovnobežnosti v priestore rovín sa zhoduje s podmienkou pre smerové vektory n₁¯ a n_{2¯. Môžete to skontrolovať dvoma spôsobmi:}

Vypočítajte kosínus dihedrálneho uhla (cos(φ)) pomocou skalárneho súčinu. Ak sú roviny rovnobežné, hodnota bude 1.

Skúste reprezentovať jeden vektor cez druhý vynásobením nejakým číslom, napr. n₁¯=kn_{2¯. Ak je to možné, potom zodpovedajúce roviny súparalelný.}

Na obrázku sú znázornené dve rovnobežné roviny.

Uveďme si teraz príklady riešenia dvoch zaujímavých úloh pomocou získaných matematických vedomostí.

Ako získať všeobecný tvar z vektorovej rovnice?

Toto je parametrický vektorový výraz pre rovinu. Na uľahčenie pochopenia toku operácií a použitých matematických trikov zvážte konkrétny príklad:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Rozšírte tento výraz a vyjadrite neznáme parametre:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Potom:

α=(x - 1)/2;

β=y – 2 + (x – 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Otvorením zátvoriek v poslednom výraze dostaneme:

z=2x-2 + 3y - 6 alebo

2x + 3y - z - 8=0

Získali sme všeobecný tvar rovnice pre rovinu špecifikovanú v úlohe vo vektorovom tvare

Ako postaviť rovinu cez tri body?

Je možné nakresliť jednu rovinu cez tri body, ak tieto body nepatria do jednej priamky. Algoritmus na riešenie tohto problému pozostáva z nasledujúcej postupnosti akcií: