Geometria je odvetvie matematiky, ktoré študuje štruktúry v priestore a vzťah medzi nimi. Tá sa zase skladá zo sekcií a jednou z nich je stereometria. Umožňuje štúdium vlastností objemových útvarov umiestnených v priestore: kocka, pyramída, guľa, kužeľ, valec atď.
Kužeľ je teleso v euklidovskom priestore, ktoré ohraničuje kužeľovú plochu a rovinu, na ktorej ležia konce jeho generátorov. K jeho vzniku dochádza v procese rotácie pravouhlého trojuholníka okolo ktorejkoľvek z jeho nôh, preto patrí medzi rotačné telesá.
Kužeľové komponenty
Rozlišujú sa tieto typy kužeľov: šikmé (alebo šikmé) a rovné. Šikmý je ten, ktorého os sa pretína so stredom jeho základne nie v pravom uhle. Z tohto dôvodu sa výška v takomto kuželi nezhoduje s osou, pretože ide o segment, ktorý je znížený z hornej časti tela do jeho roviny.základňa pri 90°.
Tento kužeľ, ktorého os je kolmá na jeho základňu, sa nazýva rovný kužeľ. Os a výška v takomto geometrickom telese sa zhodujú v dôsledku skutočnosti, že vrchol v ňom je umiestnený nad stredom základného priemeru.
Kužeľ pozostáva z nasledujúcich prvkov:
- Kruh, ktorý je jeho základňou.
- Side.
- Bod, ktorý neleží v rovine základne, nazývaný vrchol kužeľa.
- Segmenty, ktoré spájajú body kružnice základne geometrického telesa a jej vrcholu.
Všetky tieto segmenty sú tvoriace priamky kužeľa. Sú naklonené k základni geometrického telesa a v prípade pravého kužeľa sú ich priemety rovnaké, pretože vrchol je rovnako vzdialený od bodov základnej kružnice. Môžeme teda dospieť k záveru, že v pravidelnom (rovnom) kuželi sú generátory rovnaké, to znamená, že majú rovnakú dĺžku a zvierajú rovnaké uhly s osou (alebo výškou) a základňou.
Keďže v šikmom (alebo naklonenom) rotačnom telese je vrchol posunutý vzhľadom na stred základnej roviny, generátory v takomto tele majú rôzne dĺžky a projekcie, pretože každý z nich je v inej vzdialenosti z ľubovoľných dvoch bodov základnej kružnice. Okrem toho sa budú líšiť aj uhly medzi nimi a výška kužeľa.
Dĺžka generátorov v pravom kuželi
Ako už bolo napísané vyššie, výška v priamom geometrickom rotačnom telese je kolmá na rovinu základne. Takže tvoriaca čiara, výška a polomer základne vytvárajú pravouhlý trojuholník v kužeľi.
To znamená, že ak poznáte polomer základne a výšku, pomocou vzorca z Pytagorovej vety môžete vypočítať dĺžku tvoriacej čiary, ktorá sa bude rovnať súčtu štvorcov polomeru základne a výška:
l2 =r2+ h2 alebo l=√r 2 + h2
kde l je tvoriaca čiara;
r – polomer;
h – výška.
Generatívne v šikmom kuželi
Na základe skutočnosti, že v šikmom alebo šikmom kuželi nie sú generátory rovnakej dĺžky, nebude možné ich vypočítať bez dodatočných konštrukcií a výpočtov.
V prvom rade musíte poznať výšku, dĺžku osi a polomer základne.
S týmito údajmi môžete vypočítať časť polomeru ležiaceho medzi osou a výškou pomocou vzorca z Pytagorovej vety:
r1=√k2 - h2
kde r1 je časť polomeru medzi osou a výškou;
k – dĺžka nápravy;
h – výška.
V dôsledku pridania polomeru (r) a jeho časti ležiacej medzi osou a výškou (r1) môžete zistiť celú stranu pravej strany trojuholník tvorený tvoriacou čiarou kužeľa, jeho výškovou a priemerovou časťou:
R=r + r1
kde R je rameno trojuholníka vytvoreného výškou, tvoriacou čiarou a časťou priemeru základne;
r – základný polomer;
r1 – časť polomeru medzi osou a výškou.
Pomocou rovnakého vzorca z Pytagorovej vety môžete nájsť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa:
l=√h2+ R2
alebo bez samostatného výpočtu R skombinujte dva vzorce do jedného:
l=√h2 + (r + r1)2.
Napriek tomu, či ide o rovný alebo šikmý kužeľ a aké sú vstupné údaje, všetky metódy na zistenie dĺžky tvoriacej čiary vždy vedú k jedinému výsledku – použitiu Pytagorovej vety.
Kužeľová sekcia
Axiálny rez kužeľa je rovina prechádzajúca pozdĺž jeho osi alebo výšky. V pravom kuželi je takouto sekciou rovnoramenný trojuholník, v ktorom je výška trojuholníka výška tela, jeho strany sú generátory a základňa je priemer základne. V rovnostrannom geometrickom telese je axiálnym rezom rovnostranný trojuholník, pretože v tomto kuželi je priemer základne a generátorov rovnaký.
Rovina osového rezu v priamom kuželi je rovinou jeho symetrie. Dôvodom je, že jeho vrchol je nad stredom jeho základne, to znamená, že rovina axiálneho rezu rozdeľuje kužeľ na dve rovnaké časti.
Keďže sa výška a os v naklonenom telese nezhodujú, rovina axiálneho rezu nemusí zahŕňať výšku. Ak je možné v takomto kuželi zostrojiť sústavu osových rezov, keďže na to treba dodržať len jednu podmienku - musí prechádzať len osou, tak len jeden osový rez rovinou, ktorý bude patriť do výšky tento kužeľ je možné nakresliť, pretože sa zvyšuje počet podmienok a ako je známe, dve čiary (spolu) môžu patriťiba jedno lietadlo.
Oblasť sekcie
Axiálny rez kužeľa spomenutého vyššie je trojuholník. Na základe toho možno jeho plochu vypočítať pomocou vzorca pre obsah trojuholníka:
S=1/2dh alebo S=1/22rh
kde S je plocha prierezu;
d – priemer základne;
r – polomer;
h – výška.
V šikmom alebo šikmom kuželi je rez pozdĺž osi tiež trojuholník, takže plocha prierezu v ňom sa vypočíta podobne.
Volume
Keďže kužeľ je trojrozmerný útvar v trojrozmernom priestore, môžeme vypočítať jeho objem. Objem kužeľa je číslo, ktoré charakterizuje toto teleso v objemovej jednotke, teda v m3. Výpočet nezávisí od toho, či je rovný alebo šikmý (šikmý), keďže vzorce pre tieto dva typy telies sa nelíšia.
Ako už bolo uvedené, k vytvoreniu pravého kužeľa dochádza v dôsledku rotácie pravouhlého trojuholníka pozdĺž jednej z jeho nôh. Naklonený alebo šikmý kužeľ je vytvorený inak, pretože jeho výška je posunutá preč od stredu základnej roviny telesa. Takéto rozdiely v štruktúre však neovplyvňujú spôsob výpočtu jeho objemu.
Výpočet objemu
Vzorec pre objem akéhokoľvek kužeľa vyzerá takto:
V=1/3πhr2
kde V je objem kužeľa;
h – výška;
r – polomer;
π - konštanta rovná 3, 14.
Na výpočet objemu kužeľa potrebujete údaje o výške a polomere základne telesa.
Na výpočet výšky telesa potrebujete poznať polomer základne a dĺžku jej tvoriacej čiary. Keďže polomer, výška a tvoriaca čiara sú spojené do pravouhlého trojuholníka, výšku možno vypočítať pomocou vzorca z Pytagorovej vety (a2+ b2=c 2 alebo v našom prípade h2+ r2=l2 , kde l - tvoriaca čiara). V tomto prípade sa výška vypočíta extrahovaním druhej odmocniny rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy:
a=√c2- b2
To znamená, že výška kužeľa sa bude rovnať hodnote získanej po extrakcii druhej odmocniny z rozdielu medzi druhou mocninou dĺžky tvoriacej čiary a druhou mocninou polomeru základne:
h=√l2 - r2
Vypočítaním výšky pomocou tejto metódy a poznaním polomeru jej základne môžete vypočítať objem kužeľa. V tomto prípade zohráva dôležitú úlohu tvoriaca čiara, pretože slúži ako pomocný prvok pri výpočtoch.
Podobne, ak poznáte výšku tela a dĺžku jeho tvoriacej čiary, môžete nájsť polomer jeho základne extrahovaním druhej odmocniny rozdielu medzi druhou mocninou tvoriacej čiary a druhou mocninou výšky:
r=√l2 - h2
Potom pomocou rovnakého vzorca ako vyššie vypočítajte objem kužeľa.
Objem nakloneného kužeľa
Vzhľadom na to, že vzorec pre objem kužeľa je rovnaký pre všetky typy rotačného telesa, rozdielom v jeho výpočte je hľadanie výšky.
Na zistenie výšky nakloneného kužeľa musia vstupné údaje zahŕňať dĺžku tvoriacej čiary, polomer základne a vzdialenosť medzi stredomzákladňa a priesečník výšky telesa s rovinou jeho základne. Keď to viete, môžete ľahko vypočítať tú časť priemeru základne, ktorá bude základňou pravouhlého trojuholníka (tvoreného výškou, tvoriacou čiarou a rovinou základne). Potom opäť pomocou Pytagorovej vety vypočítajte výšku kužeľa a následne jeho objem.
