Jedným z útvarov, ktoré sa vyskytujú pri riešení geometrických problémov v priestore, je kužeľ. Na rozdiel od mnohostenov patrí do triedy rotačných postáv. Uvažujme v tomto článku, čo sa tým myslí v geometrii, a preskúmame charakteristiky rôznych častí kužeľa.
Kužeľ v geometrii
Predpokladajme, že na rovine je nejaká krivka. Môže to byť parabola, kruh, elipsa atď. Vezmite bod, ktorý nepatrí do zadanej roviny, a pripojte k nemu všetky body krivky. Výsledný povrch sa nazýva kužeľ alebo jednoducho kužeľ.
Ak je pôvodná krivka uzavretá, potom môže byť kužeľová plocha vyplnená hmotou. Takto získaný obrazec je trojrozmerné teleso. Nazýva sa aj kužeľ. Nižšie je zobrazených niekoľko papierových kužeľov.
Kónický povrch sa vyskytuje v každodennom živote. Tento tvar má napríklad kornútok zmrzliny alebo pruhovaný dopravný kornútok, ktorý má upútať pozornosť vodičov achodci.
Druhy šišiek
Ako asi tušíte, uvažované obrazce sa navzájom líšia typom krivky, na ktorej sú vytvorené. Napríklad existuje okrúhly kužeľ alebo eliptický. Táto krivka sa nazýva základňa obrázku. Tvar základne však nie je jediným znakom, ktorý umožňuje klasifikáciu kužeľov.
Druhou dôležitou charakteristikou je poloha výšky vzhľadom na základňu. Výška kužeľa je úsečka priamej čiary, ktorá je znížená z hornej časti obrázku do roviny základne a je kolmá na túto rovinu. Ak výška pretína základňu v geometrickom strede (napríklad v strede kruhu), potom bude kužeľ rovný, ak kolmý segment spadne do akéhokoľvek iného bodu základne alebo za ním, potom bude obrázok šikmé.
Ďalej v článku budeme považovať za svetlého predstaviteľa uvažovanej triedy figúrok iba okrúhly rovný kužeľ.
Geometrické názvy prvkov kužeľa
Vyššie bolo povedané, že kužeľ má základňu. Je ohraničený kruhom, ktorý sa nazýva vedenie kužeľa. Segmenty spájajúce vedenie s bodom, ktorý neleží v rovine základne, sa nazývajú generátory. Súbor všetkých bodov generátorov sa nazýva kužeľový alebo bočný povrch obrázku. Pre okrúhly pravý kužeľ majú všetky generátory rovnakú dĺžku.
Bod, kde sa generátory pretínajú, sa nazýva horná časť obrázku. Na rozdiel od mnohostenov má kužeľ jeden vrchol a nieokraj.
Priamka prechádzajúca hornou časťou obrázku a stredom kruhu sa nazýva os. Os obsahuje výšku rovného kužeľa, takže s rovinou základne zviera pravý uhol. Táto informácia je dôležitá pri výpočte plochy axiálneho rezu kužeľa.
Priamy okrúhly kužeľ – rotácia
Uvažovaný kužeľ je pomerne symetrický útvar, ktorý možno získať ako výsledok rotácie trojuholníka. Predpokladajme, že máme trojuholník s pravým uhlom. Ak chcete získať kužeľ, stačí otočiť tento trojuholník okolo jednej z nôh, ako je znázornené na obrázku nižšie.
Je vidieť, že os rotácie je osou kužeľa. Jedna z nôh sa bude rovnať výške postavy a druhá noha sa stane polomerom základne. Prepona trojuholníka ako výsledok rotácie bude opisovať kužeľovú plochu. Bude to tvoriaca čiara kužeľa.
Túto metódu získania okrúhleho rovného kužeľa je vhodné použiť na štúdium matematického vzťahu medzi lineárnymi parametrami obrazca: výškou h, polomerom kruhovej základne r a vedením g. Zodpovedajúci vzorec vyplýva z vlastností pravouhlého trojuholníka. Je uvedený nižšie:
g2=h2+ r2.
Keďže máme jednu rovnicu a tri premenné, znamená to, že na jedinečné nastavenie parametrov okrúhleho kužeľa potrebujete poznať akékoľvek dve veličiny.
Úseky kužeľa rovinou, ktorá neobsahuje vrchol obrázku
Otázka konštrukcie častí obrázku nie jetriviálne. Faktom je, že tvar rezu kužeľa povrchom závisí od vzájomnej polohy obrazca a sečny.
Predpokladajme, že kužeľ pretíname rovinou. Aký bude výsledok tejto geometrickej operácie? Možnosti tvaru sekcie sú zobrazené na obrázku nižšie.
Ružová časť je kruh. Je vytvorený ako výsledok priesečníka obrázku s rovinou, ktorá je rovnobežná so základňou kužeľa. Ide o rezy kolmé na os obrázku. Obrazec vytvorený nad rovinou rezu je kužeľ podobný pôvodnému, ale v základni má menší kruh.
Zelená časť je elipsa. Získa sa, ak rovina rezu nie je rovnobežná so základňou, ale pretína iba bočnú plochu kužeľa. Postava odrezaná nad rovinou sa nazýva eliptický šikmý kužeľ.
Modrá a oranžová sekcia sú parabolické a hyperbolické. Ako môžete vidieť na obrázku, získajú sa, ak rovina rezu súčasne pretína bočnú plochu a základňu obrázku.
Na určenie plôch rezov kužeľa, ktoré boli uvažované, je potrebné použiť vzorce pre príslušný obrazec v rovine. Napríklad pre kružnicu je to číslo Pi vynásobené druhou mocninou polomeru a pre elipsu je to súčin pí a dĺžky vedľajšej a väčšej poloosi:
circle: S=pir2;
elipsa: S=piab.
Sekcie obsahujúce hornú časť kužeľa
Teraz zvážte možnosti rezov, ktoré vzniknú, ak je rovina rezuprejsť cez vrchol kužeľa. Možné sú tri prípady:
- Sekcia pozostáva z jedného bodu. Napríklad rovina prechádzajúca vrcholom a rovnobežná so základňou dáva presne takýto rez.
- Úsek je rovná čiara. Táto situácia nastane, keď sa rovina dotýka kužeľovej plochy. Priamka rezu bude v tomto prípade tvoriacou čiarou kužeľa.
- Axiálny rez. Vzniká vtedy, keď rovina obsahuje nielen hornú časť figúry, ale aj celú jej os. V tomto prípade bude rovina kolmá na okrúhlu základňu a rozdelí kužeľ na dve rovnaké časti.
Je zrejmé, že plochy prvých dvoch typov sekcií sú rovné nule. Pokiaľ ide o prierezovú plochu kužeľa pre 3. typ, tento problém je podrobnejšie diskutovaný v nasledujúcom odseku.
Axiálna sekcia
Vyššie bolo uvedené, že axiálny rez kužeľa je útvar, ktorý vznikne, keď kužeľ pretína rovina prechádzajúca jeho osou. Je ľahké uhádnuť, že táto sekcia bude predstavovať číslo znázornené na obrázku nižšie.
Toto je rovnoramenný trojuholník. Vrchol osového rezu kužeľa je vrcholom tohto trojuholníka, ktorý je tvorený priesečníkom rovnakých strán. Tie sa rovnajú dĺžke tvoriacej čiary kužeľa. Základňa trojuholníka je priemer základne kužeľa.
Výpočet plochy axiálneho rezu kužeľa sa zredukuje na nájdenie plochy výsledného trojuholníka. Ak sú polomer základne r a výška h kužeľa na začiatku známe, potom plocha S uvažovaného úseku bude:
S=hr.
Totovýraz je dôsledkom použitia štandardného vzorca pre obsah trojuholníka (polovica súčinu výšky krát základňa).
Všimnite si, že ak sa tvoriaca čiara kužeľa rovná priemeru jeho okrúhlej základne, potom axiálny rez kužeľa je rovnostranný trojuholník.
Trojuholníkový úsek sa vytvorí, keď je rovina rezu kolmá na základňu kužeľa a prechádza jeho osou. Akákoľvek iná rovina rovnobežná s menovanou rovinou poskytne v reze hyperbolu. Ak však rovina obsahuje vrchol kužeľa a nepretína jeho základňu cez priemer, potom bude výsledný rez tiež rovnoramenný trojuholník.
Problém určovania lineárnych parametrov kužeľa
Ukážeme si, ako použiť vzorec napísaný pre oblasť osového rezu na vyriešenie geometrického problému.
Je známe, že plocha axiálneho rezu kužeľa je 100 cm2. Výsledný trojuholník je rovnostranný. Aká je výška kužeľa a polomer jeho základne?
Keďže trojuholník je rovnostranný, jeho výška h súvisí s dĺžkou strany a takto:
h=√3/2a.
Vzhľadom na to, že strana trojuholníka je dvojnásobkom polomeru základne kužeľa a dosadením tohto výrazu do vzorca pre plochu prierezu dostaneme:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Výška kužeľa je potom:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Zostáva nahradiť hodnotu oblasti stavom problémua získajte odpoveď:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
V akých oblastiach je dôležité poznať parametre uvažovaných úsekov?
Štúdium rôznych typov kužeľových rezov nie je len teoreticky zaujímavé, ale má aj praktické využitie.
Najskôr treba upozorniť na oblasť aerodynamiky, kde pomocou kužeľosečiek je možné vytvárať ideálne hladké tvary pevných telies.
Po druhé, kužeľosečky sú trajektórie, po ktorých sa vesmírne objekty pohybujú v gravitačných poliach. Aký konkrétny typ rezu predstavuje trajektóriu pohybu kozmických telies systému je určený pomerom ich hmotností, absolútnych rýchlostí a vzdialeností medzi nimi.
