V matematike existuje pojem „množina“, ako aj príklady vzájomného porovnávania týchto rovnakých množín. Názvy typov porovnávania množín sú tieto slová: bijekcia, injekcia, surjekcia. Každý z nich je podrobnejšie popísaný nižšie.
Bijekcia je… čo to je?
Jedna skupina prvkov z prvej množiny sa spáruje s druhou skupinou prvkov z druhej množiny v tomto tvare: každý jeden prvok z prvej skupiny sa priamo zhoduje s iným prvkom z druhej skupiny a tam nejde o situáciu s nedostatkom alebo vymenovaním prvkov ktorejkoľvek alebo z dvoch skupín množín.
Formulácia hlavných vlastností:
- Jeden prvok k jednému.
- Pri párovaní nie sú žiadne ďalšie prvky a prvá vlastnosť je zachovaná.
- Je možné obrátiť mapovanie pri zachovaní celkového zobrazenia.
- Bijekcia je funkcia, ktorá je injektívna aj surjektívna.
Bijekcia z vedeckého hľadiska
Bijektívne funkcie sú presne izomorfizmy v kategórii „množina a množina funkcií“. Bijekcie však nie sú vždy izomorfizmy pre zložitejšie kategórie. Napríklad v určitej kategórii skupín musia byť morfizmy homomorfizmy, pretože musia zachovať štruktúru skupiny. Preto sú izomorfizmy skupinové izomorfizmy, ktoré sú bijektívnymi homomorfizmami.
Koncept „korešpondencie jedna ku jednej“je zovšeobecnený na parciálne funkcie, kde sa nazývajú čiastočné bijekcie, hoci čiastočná bijekcia by mala byť injekcia. Dôvodom tohto uvoľnenia je, že čiastočná (vlastná) funkcia už nie je definovaná pre časť jej definičného oboru. Nie je teda dobrý dôvod obmedzovať jeho inverznú funkciu na úplnú, t. j. definovanú všade vo svojej doméne. Množina všetkých parciálnych bijekcií k danej základnej množine sa nazýva symetrická inverzná pologrupa.
Ďalší spôsob, ako definovať rovnaký koncept: stojí za to povedať, že čiastočná bijekcia množín od A do B je ľubovoľná relácia R (parciálna funkcia) s vlastnosťou, že R je bijekčný graf f:A'→B ' kde A' je podmnožina A a B' je podmnožina B.
Keď je čiastočná bijekcia na tej istej množine, niekedy sa nazýva čiastočná transformácia jedna ku jednej. Príkladom je práve definovaná Möbiova transformácia v komplexnej rovine, nie jej dokončenie v rozšírenej komplexnej rovine.
Injekcia
Jedna skupina prvkov z prvej množiny sa zhoduje s druhou skupinou prvkov z druhej množiny v tomto tvare: každý jeden prvok z prvej skupiny sa zhoduje s iným prvkom z druhej skupiny, ale nie všetky sú prevedené na páry. Počet nepárových prvkov závisí od rozdielu v počte práve týchto prvkov v každej z množín: ak jedna množina pozostáva z 31 prvkov a druhá má sedem ďalších, potom je počet nepárových prvkov sedem. Smerované vstrekovanie do súpravy. Bijekcia a injekcia sú podobné, ale nič viac ako podobné.
Surjection
Jedna skupina prvkov prvej množiny sa spáruje s druhou skupinou prvkov z druhej množiny týmto spôsobom: každý prvok ktorejkoľvek skupiny tvorí pár, aj keď je medzi počtom prvkov rozdiel. Z toho vyplýva, že jeden prvok z jednej skupiny sa môže spárovať s niekoľkými prvkami z inej skupiny.
Ani bijektívna, ani injektívna, ani surjektívna funkcia
Toto je funkcia bijektívnej a surjektívnej formy, ale so zvyškom (nespárovaným)=> injekciou. V takejto funkcii existuje jasne spojenie medzi bijekciou a surjekciou, pretože priamo zahŕňa tieto dva typy porovnaní množín. Takže súhrn všetkých druhov týchto funkcií nie je jednou z nich izolovane.
Vysvetlenie všetkých druhov funkcií
Pozorovateľa napríklad fascinuje nasledovné. Sú tu súťaže v lukostreľbe. Každý zúčastníci chcú zasiahnuť cieľ (na uľahčenie úlohy: neberie sa do úvahy, kam presne zasiahne šíp). Len traja účastníci a tri terče – toto je prvé miesto (miesto) turnaja. V nasledujúcich sekciách je počet lukostrelcov zachovaný, ale počet terčov sa mení: na druhom - štyri terče, na ďalšom - tiež štyri a na štvrtom - päť. Každý účastník strieľa na každý cieľ.
- Prvé miesto konania turnaja. Prvý lukostrelec zasiahne iba jeden terč. Druhý zasiahne iba jeden terč. Tretí sa opakuje po ostatných a všetci lukostrelci zasiahnu rôzne ciele: tie, ktoré sú oproti nim. Výsledkom je, že 1 (prvý lukostrelec) zasiahol cieľ (a), 2 - v (b), 3 - v (c). Sleduje sa nasledujúca závislosť: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Záverom bude úsudok, že takéto porovnanie množín je bijekciou.
- Druhá platforma pre turnaj. Prvý lukostrelec zasiahne iba jeden terč. Druhý tiež zasiahne iba jeden terč. Tretí sa naozaj nesnaží a všetko opakuje po ostatných, no podmienka je rovnaká – všetci lukostrelci zasiahnu rôzne ciele. Ale ako už bolo spomenuté, na druhej platforme sú už štyri ciele. Závislosť: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - nepárový prvok množiny. V tomto prípade dôjde k záveru, že takéto porovnanie súboru je injekciou.
- Tretie miesto konania turnaja. Prvý lukostrelec zasiahne iba jeden terč. Druhý trafí opäť len jeden terč. Tretí sa rozhodne dať dokopy a zasiahne tretí a štvrtý terč. V dôsledku toho závislosť: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Záverom bude úsudok, že takéto porovnanie množín je domnienka.
- Štvrtá platforma pre turnaj. Pri prvom je už všetko jasné, trafí len jeden terč, v ktorom už čoskoro nebude priestor na už aj tak nudné zásahy. Teraz druhý preberá úlohu ešte nedávnej tretiny a opäť zasiahne iba jeden terč, opakuje sa po prvom. Tretí sa naďalej kontroluje a neprestáva zavádzať svoj šíp do tretieho a štvrtého terča. Piaty bol však stále nad jeho sily. Takže závislosť: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - nepárový prvok množiny cieľov. Záver: takéto porovnanie množín nie je surjekcia, nie injekcia, ani bijekcia.
Skonštruovať bijekciu, injekciu alebo surjekciu už nebude problém, rovnako ako nájsť medzi nimi rozdiely.
