Už v škole sa všetci žiaci oboznamujú s pojmom „euklidovská geometria“, ktorej hlavné ustanovenia sú zamerané na niekoľko axióm založených na takých geometrických prvkoch ako bod, rovina, čiara, pohyb. Všetky spolu tvoria to, čo je dlho známe pod pojmom „euklidovský priestor“.
Euklidovský priestor, ktorého definícia je založená na koncepte skalárneho násobenia vektorov, je špeciálnym prípadom lineárneho (afinného) priestoru, ktorý spĺňa množstvo požiadaviek. Po prvé, skalárny súčin vektorov je absolútne symetrický, to znamená, že vektor so súradnicami (x;y) je kvantitatívne identický s vektorom so súradnicami (y;x), ale v opačnom smere.
Po druhé, ak sa vykoná skalárny súčin vektora so sebou samým, výsledok tejto akcie bude pozitívny. Jedinou výnimkou bude prípad, keď sa počiatočné a konečné súradnice tohto vektora rovnajú nule: v tomto prípade sa jeho súčin sám so sebou bude rovnať nule.
Po tretie, skalárny súčin je distributívny, to znamená, že je možné rozložiť jednu z jeho súradníc na súčet dvoch hodnôt, čo nespôsobí žiadne zmeny v konečnom výsledku skalárneho násobenia vektorov. Nakoniec, po štvrté, keď sa vektory vynásobia rovnakým reálnym číslom, ich skalárny súčin sa tiež zvýši o rovnaký faktor.
Ak sú splnené všetky tieto štyri podmienky, môžeme s istotou povedať, že máme euklidovský priestor.
Euklidovský priestor z praktického hľadiska možno charakterizovať nasledujúcimi konkrétnymi príkladmi:
- Najjednoduchším prípadom je prítomnosť množiny vektorov so skalárnym súčinom definovaným podľa základných zákonov geometrie.
- Euklidovský priestor získame aj vtedy, ak vektormi rozumieme určitú konečnú množinu reálnych čísel s daným vzorcom popisujúcim ich skalárny súčet alebo súčin.
- Špeciálnym prípadom euklidovského priestoru je takzvaný nulový priestor, ktorý sa získa, ak sa skalárna dĺžka oboch vektorov rovná nule.
Euklidovský priestor má množstvo špecifických vlastností. Po prvé, skalárny faktor môže byť vyňatý zo zátvoriek z prvého aj z druhého faktora skalárneho súčinu, výsledok z toho sa nijako nezmení. Po druhé, spolu s distribúciou prvého prvku skaláruproduktu, pôsobí aj distribúcia druhého prvku. Okrem skalárneho súčtu vektorov sa distributivita uskutočňuje aj v prípade odčítania vektorov. Nakoniec, po tretie, keď sa vektor skalárne vynásobí nulou, výsledok bude tiež nula.
Euklidovský priestor je teda najdôležitejším geometrickým konceptom používaným pri riešení problémov vzájomného usporiadania vektorov voči sebe, ktorý charakterizuje taký koncept ako skalárny súčin.
