Kinematika je časť fyziky, ktorá zohľadňuje zákony pohybu telies. Jeho rozdiel od dynamiky je v tom, že nezohľadňuje sily pôsobiace na pohybujúce sa teleso. Tento článok je venovaný otázke kinematiky rotačného pohybu.
Rotačný pohyb a jeho rozdiel od pohybu dopredu
Ak dávate pozor na okolité pohybujúce sa objekty, môžete vidieť, že sa pohybujú buď v priamom smere (auto ide po ceste, lietadlo letí po oblohe), alebo v kruhu (to isté auto vchádza do zákruty, otáčanie kolesa). Zložitejšie typy pohybu objektov môžu byť zredukované, ako prvé priblíženie, na kombináciu dvoch uvedených typov.
Progresívny pohyb zahŕňa zmenu priestorových súradníc tela. V tomto prípade sa často považuje za hmotný bod (geometrické rozmery sa neberú do úvahy).
Otočný pohyb je typ pohybu, pri ktoromsystém sa pohybuje v kruhu okolo nejakej osi. Okrem toho sa objekt v tomto prípade zriedka považuje za hmotný bod, najčastejšie sa používa iná aproximácia - absolútne tuhé telo. To posledné znamená, že elastické sily pôsobiace medzi atómami telesa sú zanedbané a predpokladá sa, že geometrické rozmery sústavy sa počas rotácie nemenia. Najjednoduchším prípadom je pevná oska.
Kinematika translačného a rotačného pohybu sa riadi rovnakými Newtonovými zákonmi. Na opis oboch typov pohybu sa používajú podobné fyzikálne veličiny.
Aké veličiny popisujú pohyb vo fyzike?
Kinematika rotačného a translačného pohybu využíva tri základné veličiny:
- Prejdená cesta. Budeme ho označovať písmenom L pre translačný a θ - pre rotačný pohyb.
- Rýchlosť. Pre lineárny prípad sa zvyčajne píše latinským písmenom v, pre pohyb po kruhovej dráhe - gréckym písmenom ω.
- Zrýchlenie. Pre lineárnu a kruhovú dráhu sa používajú symboly a a α.
Často sa používa aj pojem trajektória. Ale pre typy pohybu predmetov, o ktorých sa uvažuje, sa tento koncept stáva triviálnym, pretože translačný pohyb je charakterizovaný lineárnou trajektóriou a rotačný - kruhom.
Lineárne a uhlové rýchlosti
Začnime s kinematikou rotačného pohybu hmotného boduz hľadiska rýchlosti. Je známe, že pre translačný pohyb telies táto hodnota popisuje, ktorá dráha bude prekonaná za jednotku času, teda:
v=L / t
V sa meria v metroch za sekundu. Pre rotáciu je nepohodlné uvažovať o tejto lineárnej rýchlosti, pretože závisí od vzdialenosti od osi rotácie. Zavádza sa trochu iná charakteristika:
ω=θ / t
Toto je jeden z hlavných vzorcov kinematiky rotačného pohybu. Ukazuje, pod akým uhlom θ sa celý systém otočí okolo pevnej osi za čas t.
Oba vyššie uvedené vzorce odrážajú rovnaký fyzikálny proces rýchlosti pohybu. Len pre lineárny prípad je dôležitá vzdialenosť a pre kruhový uhol natočenia.
Oba vzorce sa navzájom ovplyvňujú. Poďme k tomuto spojeniu. Ak vyjadríme θ v radiánoch, potom hmotný bod rotujúci vo vzdialenosti R od osi po jednej otáčke prejde dráhu L=2piR. Výraz pre lineárnu rýchlosť bude mať tvar:
v=L / t=2piR / t
Ale pomer 2pi radiánov k času t nie je nič iné ako uhlová rýchlosť. Potom dostaneme:
v=ωR
Odtiaľto je možné vidieť, že čím väčšia je lineárna rýchlosť v a čím menší je polomer otáčania R, tým väčšia je uhlová rýchlosť ω.
Lineárne a uhlové zrýchlenie
Ďalšou dôležitou charakteristikou v kinematike rotačného pohybu hmotného bodu je uhlové zrýchlenie. Skôr ako ho spoznáme, poďmevzorec pre podobnú lineárnu hodnotu:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Prvý výraz vyjadruje okamžité zrýchlenie (dt ->0), zatiaľ čo druhý vzorec je vhodný, ak sa rýchlosť mení rovnomerne v priebehu času Δt. Zrýchlenie získané v druhom variante sa nazýva priemerné.
Vzhľadom na podobnosť veličín, ktoré opisujú lineárny a rotačný pohyb, pre uhlové zrýchlenie môžeme písať:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Výklad týchto vzorcov je úplne rovnaký ako v prípade lineárneho prípadu. Jediný rozdiel je v tom, že a ukazuje, o koľko metrov za sekundu sa rýchlosť zmení za jednotku času, a α ukazuje, o koľko radiánov za sekundu sa zmení uhlová rýchlosť za rovnaké časové obdobie.
Poďme nájsť spojenie medzi týmito zrýchleniami. Dosadením hodnoty pre v, vyjadrenej ako ω, do jednej z dvoch rovností pre α, dostaneme:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Z toho vyplýva, že čím menší je polomer otáčania a čím väčšie je lineárne zrýchlenie, tým väčšia je hodnota α.
Prejdená vzdialenosť a uhol natočenia
Zostáva uviesť vzorce pre poslednú z troch základných veličín v kinematike rotačného pohybu okolo pevnej osi – pre uhol natočenia. Rovnako ako v predchádzajúcich odsekoch, najprv si zapíšeme vzorec pre rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb, máme:
L=v0 t + a t2 / 2
Úplná analógia s rotačným pohybom vedie k nasledujúcemu vzorcu:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Posledný výraz vám umožňuje získať uhol natočenia pre ľubovoľný čas t. Všimnite si, že obvod je 2pi radiánov (≈ 6,3 radiánov). Ak je v dôsledku vyriešenia problému hodnota θ väčšia ako špecifikovaná hodnota, teleso urobilo viac ako jednu otáčku okolo osi.
Vzorec pre vzťah medzi L a θ sa získa nahradením zodpovedajúcich hodnôt pre ω0a α pomocou lineárnych charakteristík:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Výsledný výraz odráža význam samotného uhla θ v radiánoch. Ak θ=1 rad, potom L=R, to znamená, že uhol jedného radiánu spočíva na oblúku s dĺžkou jeden polomer.
Príklad riešenia problému
Vyriešme nasledujúci problém rotačnej kinematiky: vieme, že auto sa pohybuje rýchlosťou 70 km/h. S vedomím, že priemer jeho kolesa je D=0,4 metra, je potrebné určiť preň hodnotu ω, ako aj počet otáčok, ktoré vykoná, keď auto prejde vzdialenosť 1 kilometer.
Na nájdenie uhlovej rýchlosti stačí dosadiť známe údaje do vzorca na ich vzťah k lineárnej rýchlosti, dostaneme:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Podobne pre uhol θ, do ktorého sa koleso po prejdení natočí1 km, dostaneme:
θ=L / R=1 000 / 0, 2=5 000 rad.
Vzhľadom na to, že jedna otáčka je 6,2832 radiánov, dostaneme počet otáčok kolesa, ktorý zodpovedá tomuto uhlu:
n=θ / 6, 2832=5 000 / 6, 2832=795, 77 otáčok.
Na otázky sme odpovedali pomocou vzorcov v článku. Úlohu bolo možné vyriešiť aj inak: vypočítať čas, za ktorý auto prejde 1 km, a dosadiť ho do vzorca pre uhol natočenia, z ktorého získame uhlovú rýchlosť ω. Odpoveď sa našla.
