Pohyb okolo osi rotácie je jedným z najbežnejších typov pohybu objektov v prírode. V tomto článku sa budeme zaoberať týmto typom pohybu z hľadiska dynamiky a kinematiky. Poskytujeme tiež vzorce týkajúce sa hlavných fyzikálnych veličín.
O akom hnutí hovoríme?
V doslovnom zmysle sa budeme baviť o pohybe telies po kružnici, teda o ich rotácii. Pozoruhodným príkladom takéhoto pohybu je otáčanie kolesa auta alebo bicykla počas pohybu vozidla. Otáčanie okolo svojej osi krasokorčuliara predvádzajúceho zložité piruety na ľade. Alebo rotácia našej planéty okolo Slnka a okolo vlastnej osi naklonenej k rovine ekliptiky.
Ako vidíte, dôležitým prvkom uvažovaného typu pohybu je os otáčania. Každý bod tela ľubovoľného tvaru robí okolo seba kruhové pohyby. Vzdialenosť od bodu k osi sa nazýva polomer otáčania. Od jeho hodnoty závisia mnohé vlastnosti celého mechanického systému, napríklad moment zotrvačnosti, lineárna rýchlosť aostatné.
Dynamika rotácie
Ak je dôvodom lineárneho translačného pohybu telies v priestore vonkajšia sila, ktorá na ne pôsobí, potom dôvodom pohybu okolo osi rotácie je vonkajší moment sily. Táto hodnota je opísaná ako vektorový súčin aplikovanej sily F¯ a vektora vzdialenosti od bodu jej pôsobenia k osi r¯, to znamená:
M¯=[r¯F¯]
Pôsobenie momentu M¯ vedie k objaveniu sa uhlového zrýchlenia α¯ v systéme. Obe veličiny sú vo vzájomnom vzťahu cez nejaký koeficient I nasledujúcou rovnosťou:
M¯=Iα¯
Hodnota I sa nazýva moment zotrvačnosti. Závisí tak od tvaru telesa, ako aj od rozloženia hmoty v ňom a od vzdialenosti od osi rotácie. Pre hmotný bod sa vypočíta podľa vzorca:
I=mr2
Ak je vonkajší moment sily rovný nule, potom si systém zachová svoj moment hybnosti L¯. Toto je ďalšia vektorová veličina, ktorá sa podľa definície rovná:
L¯=[r¯p¯]
Tu p¯ je lineárna hybnosť.
Zákon zachovania momentu L¯ sa zvyčajne píše takto:
Iω=const
Kde ω je uhlová rýchlosť. O nej sa bude diskutovať ďalej v článku.
Rotačná kinematika
Na rozdiel od dynamiky táto časť fyziky považuje výlučne praktické dôležité veličiny súvisiace s časovou zmenou polohy telies vpriestor. To znamená, že predmetom štúdia kinematiky rotácie sú rýchlosti, zrýchlenia a uhly rotácie.
Najprv si predstavme uhlovú rýchlosť. Chápe sa ako uhol, pod ktorým sa teleso otočí za jednotku času. Vzorec pre okamžitú uhlovú rýchlosť je:
ω=dθ/dt
Ak sa teleso otáča v rovnakých uhloch v rovnakých časových intervaloch, potom sa rotácia nazýva rovnomerná. Pre neho platí vzorec pre priemernú uhlovú rýchlosť:
ω=Δθ/Δt
Namerané ω v radiánoch za sekundu, čo v sústave SI zodpovedá recipročným sekundám (c-1).
V prípade nerovnomernej rotácie sa používa koncept uhlového zrýchlenia α. Určuje rýchlosť zmeny hodnoty ω v čase, to znamená:
α=dω/dt=d2θ/dt2
Namerané α v radiánoch za sekundu štvorcovú (v SI - c-2).
Ak sa teleso spočiatku otáčalo rovnomerne rýchlosťou ω0, a potom začalo svoju rýchlosť zvyšovať s konštantným zrýchlením α, potom takýto pohyb možno opísať nasledovne vzorec:
θ=ω0t + αt2/2
Táto rovnosť sa získa integráciou rovníc uhlovej rýchlosti v priebehu času. Vzorec pre θ vám umožňuje vypočítať počet otáčok, ktoré systém vykoná okolo osi otáčania za čas t.
Lineárne a uhlové rýchlosti
Obe rýchlosti navzájompripojený k inému. Keď hovoríme o rýchlosti otáčania okolo osi, môžu znamenať lineárne aj uhlové charakteristiky.
Predpokladajme, že nejaký hmotný bod rotuje okolo osi vo vzdialenosti r rýchlosťou ω. Potom sa jeho lineárna rýchlosť v bude rovnať:
v=ωr
Rozdiel medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou je významný. ω teda nezávisí od vzdialenosti od osi pri rovnomernej rotácii, pričom hodnota v rastie lineárne so zvyšujúcim sa r. Tento posledný fakt vysvetľuje, prečo je so zväčšujúcim sa polomerom otáčania ťažšie udržať teleso na kruhovej trajektórii (zvyšuje sa jeho lineárna rýchlosť a v dôsledku toho aj zotrvačné sily).
Problém výpočtu rýchlosti rotácie okolo svojej zemskej osi
Každý vie, že naša planéta v slnečnej sústave vykonáva dva typy rotačného pohybu:
- okolo svojej osi;
- okolo hviezdy.
Vypočítajte rýchlosti ω a v pre prvú z nich.
Uhlovú rýchlosť nie je ťažké určiť. Aby ste to dosiahli, nezabudnite, že planéta vykoná úplnú otáčku rovnajúcu sa 2pi radiánom za 24 hodín (presná hodnota je 23 hodín 56 minút 4,1 sekundy). Potom bude hodnota ω:
ω=2pi/(243600)=7, 2710-5rad/s
Vypočítaná hodnota je malá. Teraz ukážme, ako veľmi sa absolútna hodnota ω líši od hodnoty v.
Vypočítajte lineárnu rýchlosť v pre body ležiace na povrchu planéty v zemepisnej šírke rovníka. Pokiaľ ide oZem je sploštená guľa, rovníkový polomer je o niečo väčší ako polárny. Je to 6378 km. Pomocou vzorca na spojenie dvoch rýchlostí dostaneme:
v=ωr=7, 2710-56378000 ≈ 464 m/s
Výsledná rýchlosť je 1670 km/h, čo je viac ako rýchlosť zvuku vo vzduchu (1235 km/h).
Otáčanie Zeme okolo svojej osi vedie k objaveniu sa takzvanej Coriolisovej sily, ktorá by sa mala brať do úvahy pri lietaní balistických rakiet. Je tiež príčinou mnohých atmosférických javov, ako je odchýlka smeru pasátov na západ.
