Kvadrické rovnice sa často vyskytujú v množstve úloh z matematiky a fyziky, preto by ich mal vedieť vyriešiť každý študent. Tento článok podrobne popisuje hlavné metódy riešenia kvadratických rovníc a poskytuje aj príklady ich použitia.
Aká rovnica sa nazýva kvadratická
V prvom rade odpovieme na otázku v tomto odseku, aby sme lepšie pochopili, o čom tento článok bude. Kvadratická rovnica má teda tento všeobecný tvar: c + bx+ax2=0, kde a, b, c sú nejaké čísla, ktoré sa nazývajú koeficienty. Tu je a≠0 povinná podmienka, inak sa uvedená rovnica zvrhne na lineárnu. Zvyšné koeficienty (b, c) môžu nadobúdať absolútne ľubovoľné hodnoty, vrátane nuly. Teda výrazy ako ax2=0, kde b=0 a c=0, alebo c+ax2=0, kde b=0, alebo bx+ax2=0, kde c=0 sú tiež kvadratické rovnice, ktoré sa nazývajú neúplné, pretože buď lineárny koeficient b je v nich nula alebo nulaje voľný výraz c, alebo oba zmiznú.
Rovnica, v ktorej a=1 sa nazýva redukovaná, to znamená, že má tvar: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Riešením kvadratickej rovnice je nájsť také hodnoty x, ktoré vyhovujú jej rovnosti. Tieto hodnoty sa nazývajú korene. Keďže uvažovaná rovnica je vyjadrením druhého stupňa, znamená to, že maximálny počet jej koreňov nemôže presiahnuť dva.
Aké metódy na riešenie štvorcových rovníc existujú
Vo všeobecnosti existujú 4 spôsoby riešenia. Ich mená sú uvedené nižšie:
- Factoring.
- Pridanie do štvorca.
- Pomocou známeho vzorca (prostredníctvom diskriminantu).
- Metóda riešenia je geometrická.
Ako môžete vidieť z vyššie uvedeného zoznamu, prvé tri metódy sú algebraické, takže sa používajú častejšie ako posledná, ktorá zahŕňa vykreslenie funkcie.
Existuje ďalší spôsob riešenia štvorcových rovníc pomocou Vietovej vety. Mohla by byť zahrnutá na 5. mieste vo vyššie uvedenom zozname, ale to sa nerobí, pretože Vietov teorém je jednoduchým dôsledkom 3. metódy.
Neskôr v článku sa budeme podrobnejšie zaoberať menovanými metódami riešenia a tiež uvedieme príklady ich použitia na nájdenie koreňov konkrétnych rovníc.
Metóda 1. Faktoring
Pre túto metódu v matematike kvadratických rovníc existuje krásnanázov: faktorizácia. Podstata tejto metódy je nasledovná: je potrebné prezentovať kvadratickú rovnicu ako súčin dvoch členov (výrazov), ktoré sa musia rovnať nule. Po takejto reprezentácii môžete použiť vlastnosť produktu, ktorá sa bude rovnať nule iba vtedy, keď jeden alebo viac (všetkých) jej členov bude nula.
Teraz zvážte postupnosť konkrétnych akcií, ktoré je potrebné vykonať, aby ste našli korene rovnice:
- Presuňte všetky členy do jednej časti výrazu (napríklad doľava), aby v jeho druhej časti (vpravo) zostala iba 0.
- Predstavujte súčet členov v jednej časti rovnice ako súčin dvoch lineárnych rovníc.
- Nastavte každý z lineárnych výrazov na nulu a vyriešte ich.
Ako vidíte, faktorizačný algoritmus je pomerne jednoduchý, avšak väčšina študentov má pri implementácii 2. bodu ťažkosti, preto si ho vysvetlíme podrobnejšie.
Ak chcete uhádnuť, ktoré 2 lineárne výrazy po vzájomnom vynásobení dajú požadovanú kvadratickú rovnicu, musíte si zapamätať dve jednoduché pravidlá:
- Lineárne koeficienty dvoch lineárnych výrazov by po vzájomnom vynásobení mali dať prvý koeficient kvadratickej rovnice, teda číslo a.
- Voľné členy lineárnych výrazov by po vynásobení mali dať číslo c požadovanej rovnice.
Po výbere všetkých počtov faktorov by sa mali vynásobiť, a ak dávajú požadovanú rovnicu, prejdite na krok 3 vvyššie uvedený algoritmus, inak by ste mali zmeniť multiplikátory, ale musíte to urobiť tak, aby boli vždy dodržané vyššie uvedené pravidlá.
Príklad riešenia metódou faktorizácie
Ukážme si názorne, ako je algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice skladať a hľadať neznáme korene. Nech je daný ľubovoľný výraz, napríklad 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Prejdime k jeho riešeniu, pričom budeme sledovať postupnosť bodov od 1 do 3, ktoré sú uvedené v predchádzajúcom odseku článku.
Položka 1. Presuňte všetky členy na ľavú stranu a usporiadajte ich v klasickom poradí pre kvadratickú rovnicu. Máme nasledujúcu rovnosť: 2x+(-8)+x2=0.
Položka 2. Rozdelíme ho na súčin lineárnych rovníc. Keďže a=1, a c=-8, potom vyberieme napríklad takýto súčin (x-2)(x+4). Spĺňa pravidlá pre zistenie očakávaných faktorov uvedených v odseku vyššie. Ak otvoríme zátvorky, dostaneme: -8+2x+x2, čiže dostaneme presne rovnaký výraz ako na ľavej strane rovnice. To znamená, že sme správne uhádli násobiče a môžeme prejsť na 3. krok algoritmu.
Položka 3. Prirovnajte každý faktor k nule, dostaneme: x=-4 a x=2.
Ak existujú pochybnosti o výsledku, odporúča sa skontrolovať dosadením nájdených koreňov do pôvodnej rovnice. V tomto prípade máme: 22+22-8=0 a 2(-4)+(-4)2 -8=0. Korene boli nájdené správne.
Pomocou faktorizačnej metódy sme teda zistili, že daná rovnica má dva rôzne korenemá: 2 a -4.
Metóda 2. Doplňte celý štvorec
V algebre štvorcových rovníc nie je vždy možné použiť metódu násobenia, pretože v prípade zlomkových hodnôt koeficientov kvadratickej rovnice vznikajú ťažkosti pri implementácii odseku 2 algoritmu.
Metóda plného štvorca je zasa univerzálna a možno ju použiť na kvadratické rovnice akéhokoľvek typu. Jeho podstatou je vykonávať nasledujúce operácie:
- Členy rovnice obsahujúce koeficienty aab musia byť prenesené do jednej časti rovnice a voľný člen c do druhej.
- Ďalej by sa časti rovnosti (pravá a ľavá) mali vydeliť koeficientom a, čiže rovnicu prezentovať v redukovanom tvare (a=1).
- Sčítajte členy s koeficientmi a a b, aby ich reprezentovali ako druhú mocninu lineárnej rovnice. Pretože a \u003d 1, potom sa lineárny koeficient bude rovnať 1, pokiaľ ide o voľný člen lineárnej rovnice, potom by sa mal rovnať polovici lineárneho koeficientu redukovanej kvadratickej rovnice. Po nakreslení štvorca lineárneho výrazu je potrebné na pravú stranu rovnosti, kde sa nachádza voľný člen, pridať príslušné číslo, ktoré získame rozšírením štvorca.
- Vezmite druhú odmocninu so znamienkami „+“a „-“a vyriešte už získanú lineárnu rovnicu.
Popísaný algoritmus možno na prvý pohľad vnímať ako pomerne komplikovaný, avšak v praxi je ľahšie implementovateľný ako metóda faktorizácie.
Príklad riešenia s použitím plného štvorcového doplnku
Uveďme príklad kvadratickej rovnice na trénovanie jej riešenia metódou opísanou v predchádzajúcom odseku. Nech je daná kvadratická rovnica -10 - 6x+5x2=0. Začneme ju riešiť podľa vyššie opísaného algoritmu.
Položka 1. Pri riešení štvorcových rovníc použijeme metódu prenosu, dostaneme: - 6x+5x2=10.
Bod 2. Redukovaný tvar tejto rovnice získame delením číslom 5 každého z jej členov (ak sa obe časti vydelia alebo vynásobia rovnakým číslom, rovnosť zostane zachovaná). Ako výsledok transformácií dostaneme: x2 - 6/5x=2.
Položka 3. Polovica koeficientu - 6/5 je -6/10=-3/5, použite toto číslo na dokončenie štvorca, dostaneme: (-3/5+x) 2 . Rozšírime ju a výsledný voľný člen by sa mal odpočítať od ľavej strany rovnosti, aby sa splnil pôvodný tvar kvadratickej rovnice, čo je ekvivalentné pripočítaniu na pravú stranu. Výsledkom je: (-3/5+x)2=59/25.
Položka 4. Vypočítajte druhú odmocninu s kladnými a zápornými znamienkami a nájdite korene: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dva nájdené korene majú nasledujúce hodnoty: x1=(√59+3)/5 a x1=(3-√59)/5.
Keďže vykonané výpočty súvisia s koreňmi, existuje vysoká pravdepodobnosť, že sa pomýlite. Preto sa odporúča skontrolovať správnosť koreňov x2 a x1. Získame za x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Striedajtex2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Ukázali sme teda, že nájdené korene rovnice sú pravdivé.
Metóda č. 3. Aplikácia známeho vzorca
Tento spôsob riešenia kvadratických rovníc je možno najjednoduchší, pretože spočíva v dosadení koeficientov do známeho vzorca. Aby ste ho mohli použiť, nemusíte premýšľať o zostavovaní algoritmov riešenia, stačí si zapamätať iba jeden vzorec. Je to zobrazené na obrázku vyššie.
V tomto vzorci sa radikálny výraz (b2-4ac) nazýva diskriminant (D). Z jeho hodnoty závisí od toho, aké korene sa získajú. Existujú 3 prípady:
- D>0, potom základná rovnica dva má skutočné a odlišné rovnice.
- D=0, potom dostaneme koreň, ktorý možno vypočítať z výrazu x=-b/(a2).
- D<0, potom dostanete dva rôzne imaginárne korene, ktoré sú reprezentované ako komplexné čísla. Napríklad číslo 3-5i je komplexné, zatiaľ čo imaginárna jednotka i spĺňa vlastnosť: i2=-1.
Príklad riešenia výpočtom diskriminantu
Uveďme si príklad kvadratickej rovnice na precvičenie pomocou vyššie uvedeného vzorca. Nájdite korene pre -3x2-6+3x+4x=0. Najprv vypočítajte hodnotu diskriminantu, dostaneme: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Keďže sa získa D<0, znamená to, že korene uvažovanej rovnice sú komplexné čísla. Nájdeme ich tak, že nájdenú hodnotu D dosadíme do vzorca uvedeného v predchádzajúcom odseku (je znázornený aj na fotografii vyššie). Dostaneme: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metóda 4. Použitie funkcie Graph
Nazýva sa aj grafická metóda riešenia štvorcových rovníc. Malo by sa povedať, že sa spravidla nepoužíva na kvantitatívnu, ale na kvalitatívnu analýzu posudzovanej rovnice.
Podstatou metódy je vykresliť kvadratickú funkciu y=f(x), čo je parabola. Potom je potrebné určiť, v ktorých bodoch parabola pretína os x (X), budú koreňmi zodpovedajúcej rovnice.
Na zistenie, či parabola bude pretínať os X, stačí poznať polohu jej minima (maxima) a smer jej vetiev (môžu sa zväčšovať alebo zmenšovať). Treba si zapamätať dve vlastnosti tejto krivky:
- Ak a>0 - paraboly vetvy smerujú nahor, naopak, ak a<0, potom idú dole.
- Minimálna (maximálna) súradnica paraboly je vždy x=-b/(2a).
Napríklad musíte určiť, či rovnica -4x+5x2+10=0 má korene. Príslušná parabola bude smerovať nahor, pretože=5>0. Jeho extrém má súradnice: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Od r. minimum krivky leží nad osou x (y=9, 2), potom ju nepretína pre žiadnex hodnoty. To znamená, že daná rovnica nemá žiadne skutočné korene.
Vietova veta
Ako je uvedené vyššie, táto veta je dôsledkom metódy č. 3, ktorá je založená na aplikácii vzorca s diskriminantom. Podstatou Vietovej vety je, že umožňuje spojiť koeficienty rovnice a jej koreňov do rovnosti. Poďme získať zodpovedajúce rovnosti.
Použime vzorec na výpočet koreňov cez diskriminant. Sčítaním dvoch koreňov dostaneme: x1+x2=-b/a. Teraz vynásobme korene navzájom: x1x2, po sérii zjednodušení dostaneme číslo c/a.
Na riešenie kvadratických rovníc podľa Vietovej vety teda môžete použiť získané dve rovnosti. Ak sú známe všetky tri koeficienty rovnice, korene možno nájsť riešením príslušného systému týchto dvoch rovníc.
Príklad použitia Vietovej vety
Musíte napísať kvadratickú rovnicu, ak viete, že má tvar x2+c=-bx a jej korene sú 3 a -4.
Keďže a=1 v uvažovanej rovnici, vzorce Vieta budú vyzerať takto: x2+x1=-b a x2x1=str. Nahradením známych hodnôt koreňov dostaneme: b=1 a c=-12. V dôsledku toho bude obnovená kvadratická redukovaná rovnica vyzerať takto: x2-12=-1x. Môžete doň nahradiť hodnotu koreňov a uistiť sa, že platí rovnosť.
Obrátená aplikácia Vietovej vety, teda výpočet koreňov pomocouznámy tvar rovnice, umožňuje malým celým číslam a, b a c rýchlo (intuitívne) nájsť riešenia.
