Trojuholníková pyramída a vzorce na určenie jej plochy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Pyramída je geometrický priestorový útvar, ktorého vlastnosti sa študujú na strednej škole v rámci objemovej geometrie. V tomto článku sa budeme zaoberať trojuholníkovou pyramídou, jej typmi, ako aj vzorcami na výpočet jej povrchovej plochy.

O ktorej pyramíde hovoríme?

Trojuholníková pyramída je obrazec, ktorý možno získať spojením všetkých vrcholov ľubovoľného trojuholníka jediným bodom, ktorý neleží v rovine tohto trojuholníka. Podľa tejto definície by uvažovaná pyramída mala pozostávať z počiatočného trojuholníka, ktorý sa nazýva základňa obrázku, a troch bočných trojuholníkov, ktoré majú jednu spoločnú stranu so základňou a sú navzájom spojené v bode. Tá druhá sa nazýva vrchol pyramídy.

Vyššie uvedený obrázok zobrazuje ľubovoľnú trojuholníkovú pyramídu.

Uvažovaný obrazec môže byť šikmý alebo rovný. V druhom prípade kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na jej základňu ju musí pretínať v geometrickom strede. geometrický stred akéhokoľvektrojuholník je priesečník jeho mediánov. Geometrický stred sa zhoduje s ťažiskom postavy vo fyzike.

Ak pravidelný (rovnostranný) trojuholník leží na základni priamej pyramídy, potom sa nazýva pravidelný trojuholníkový. V pravidelnej pyramíde sú všetky strany rovnaké a sú to rovnostranné trojuholníky.

Ak je výška pravidelnej pyramídy taká, že jej bočné trojuholníky sa stávajú rovnostrannými, potom sa nazýva štvorsten. V štvorstene sú si všetky štyri steny navzájom rovné, takže každú z nich možno považovať za základňu.

Prvky pyramídy

Tieto prvky zahŕňajú tváre alebo strany postavy, jej okraje, vrcholy, výšku a apotémy.

Ako je znázornené, všetky strany trojuholníkovej pyramídy sú trojuholníky. Ich počet je 4 (3 bočné a jeden na základni).

Vrcholy sú priesečníky troch trojuholníkových strán. Nie je ťažké uhádnuť, že pre uvažovanú pyramídu sú 4 z nich (3 patria k základni a 1 k vrcholu pyramídy).

Hrany možno definovať ako čiary, ktoré pretínajú dve trojuholníkové strany, alebo ako čiary, ktoré spájajú každé dva vrcholy. Počet hrán zodpovedá dvojnásobku počtu základných vrcholov, to znamená, že pre trojuholníkovú pyramídu je to 6 (3 hrany patria základni a 3 hrany tvoria bočné steny).

Výška, ako je uvedené vyššie, je dĺžka kolmice vedenej od vrcholu pyramídy k jej základni. Ak nakreslíme výšky z tohto vrcholu na každú stranu trojuholníkovej základne,potom sa budú nazývať apotémy (alebo apotémy). Trojuholníková pyramída má teda jednu výšku a tri apotémy. Posledné menované sú si navzájom rovné pre pravidelnú pyramídu.

Základňa pyramídy a jej plocha

Keďže základňou uvažovaného útvaru je vo všeobecnosti trojuholník, na výpočet jeho obsahu stačí nájsť jeho výšku h_o a dĺžku strany základne a, na ktorom sa spúšťa. Vzorec pre oblasť S_o základu je:

S_o=1/2h_oa

Ak je trojuholník základne rovnostranný, potom sa plocha základne trojuholníkovej pyramídy vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

S_o=√3/4a²

To znamená, že plocha S_oje jednoznačne určená dĺžkou strany a trojuholníkovej základne.

Strana a celková plocha obrázku

Pred zvážením plochy trojuholníkovej pyramídy je užitočné ukázať jej vývoj. Je na obrázku nižšie.

Oblasť tohto pohybu tvorená štyrmi trojuholníkmi je celková plocha pyramídy. Jeden z trojuholníkov zodpovedá základni, ktorej vzorec pre uvažovanú hodnotu bol napísaný vyššie. Tri bočné trojuholníkové plochy spolu tvoria bočnú oblasť postavy. Preto na určenie tejto hodnoty stačí použiť vyššie uvedený vzorec pre ľubovoľný trojuholník na každý z nich a potom pridať tri výsledky.

Ak je pyramída správna, potom výpočetbočná plocha je uľahčená, pretože všetky bočné steny sú identické rovnostranné trojuholníky. Označte h_bdĺžku apotému, potom plochu bočného povrchu S_b možno určiť takto:

S_b=3/2ah_b

Tento vzorec vyplýva zo všeobecného výrazu pre oblasť trojuholníka. Číslo 3 sa objavilo v čitateloch kvôli skutočnosti, že pyramída má tri bočné strany.

Apotema h_b v pravidelnej pyramíde sa dá vypočítať, ak je známa výška postavy h. Aplikovaním Pytagorovej vety dostaneme:

h_b=√(h²+ a²/12)

Je zrejmé, že celková plocha S povrchu figúrky sa rovná súčtu jej bočných a základných plôch:

S=S_o+ S_b

Pre pravidelnú pyramídu, nahradením všetkých známych hodnôt, dostaneme vzorec:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Rozloha trojuholníkovej pyramídy závisí len od dĺžky strany jej základne a od výšky.

Príklad problému

Je známe, že bočná hrana trojuholníkovej pyramídy má 7 cm a strana základne 5 cm. Ak viete, že pyramída je je pravidelné.

Použite všeobecnú rovnosť:

S=S_o+ S_b

Oblasť S_o sa rovná:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Ak chcete určiť plochu bočného povrchu, musíte nájsť apotém. Nie je ťažké ukázať, že cez dĺžku bočnej hrany a_b je určená vzorcom:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Potom oblasť S_b je:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Celková plocha pyramídy je:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Upozorňujeme, že pri riešení problému sme pri výpočtoch nepoužili hodnotu výšky pyramídy.