Pravidelná šesťhranná pyramída. Vzorce pre objem a povrch. Riešenie geometrickej úlohy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Stereometria ako odvetvie geometrie v priestore študuje vlastnosti hranolov, valcov, kužeľov, gúľ, pyramíd a iných trojrozmerných útvarov. Tento článok je venovaný podrobnému prehľadu charakteristík a vlastností šesťhrannej pravidelnej pyramídy.

Ktorá pyramída sa bude skúmať

Pravidelná šesťuholníková pyramída je obrazec v priestore, ktorý je ohraničený jedným rovnostranným a rovnohranným šesťuholníkom a šiestimi rovnakými rovnoramennými trojuholníkmi. Tieto trojuholníky môžu byť za určitých podmienok aj rovnostranné. Táto pyramída je zobrazená nižšie.

Tu je zobrazený ten istý obrázok, len v jednom prípade je otočený bočnou stranou k čitateľovi a v druhom prípade bočným okrajom.

Pravidelná šesťhranná pyramída má 7 stien, ktoré boli uvedené vyššie. Má tiež 7 vrcholov a 12 hrán. Na rozdiel od hranolov majú všetky pyramídy jeden špeciálny vrchol, ktorý je tvorený priesečníkom bočnej stranytrojuholníky. Pre pravidelnú pyramídu hrá dôležitú úlohu, pretože kolmica z nej znížená na základňu postavy je výška. Ďalej bude výška označená písmenom h.

Zobrazená pyramída sa nazýva správna z dvoch dôvodov:

• na svojej základni je šesťuholník s rovnakými dĺžkami strán a a rovnakými uhlami 120o;
• Výška pyramídy h pretína šesťuholník presne v jeho strede (priesečník leží v rovnakej vzdialenosti od všetkých strán a od všetkých vrcholov šesťuholníka).

Povrch

Vlastnosti pravidelného šesťuholníkového ihlana sa budú posudzovať z definície jeho plochy. Na tento účel je najprv užitočné rozložiť postavu na rovine. Schematické znázornenie je uvedené nižšie.

Je vidieť, že plocha zákruty, a teda aj celý povrch uvažovaného obrazca, sa rovná súčtu plôch šiestich identických trojuholníkov a jedného šesťuholníka.

Na určenie plochy šesťuholníka S_{6 použite univerzálny vzorec pre bežný n-uholník:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kde a je dĺžka strany šesťuholníka.

Obsah bočnej strany trojuholníka S₃ možno nájsť, ak poznáte hodnotu jeho výšky h_b:

S₃=1/2h_ba.

Pretože všetkých šesťtrojuholníky sú si navzájom rovné, potom dostaneme pracovný výraz na určenie plochy šesťhrannej pyramídy so správnou základňou:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Objem pyramídy

Tak ako plocha, aj objem šesťhrannej pravidelnej pyramídy je jej dôležitou vlastnosťou. Tento objem sa vypočíta podľa všeobecného vzorca pre všetky pyramídy a kužele. Poďme si to zapísať:

V=1/3S_oh.

Symbol S_o je plocha šesťuholníkovej základne, t.j. S_o=S _6.

Nahradením vyššie uvedeného výrazu za S_{6 do vzorca pre V sa dostaneme ku konečnej rovnosti na určenie objemu pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy:}

V=√3/2a2h.

Príklad geometrického problému

V pravidelnej šesťhrannej pyramíde má bočná hrana dvojnásobok dĺžky základnej strany. Keďže vieme, že posledne menované je 7 cm, je potrebné vypočítať povrch a objem tohto čísla.

Ako asi tušíte, riešenie tohto problému zahŕňa použitie výrazov získaných vyššie pre S a V. Napriek tomu ich nebude možné použiť hneď, pretože nepoznáme apotém a výška pravidelného šesťhranného ihlana. Poďme si ich spočítať.

Apotému h_b možno určiť uvažovaním pravouhlého trojuholníka postaveného na stranách b, a/2 a h_{b. Tu b je dĺžka bočnej hrany. Pomocou stavu problému dostaneme:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13 555 cm.}

Výšku h pyramídy možno určiť presne rovnakým spôsobom ako apotém, ale teraz by sme mali zvážiť trojuholník so stranami h, b a a, ktorý sa nachádza vo vnútri pyramídy. Výška bude:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12 124 cm.}

Je vidieť, že vypočítaná hodnota výšky je menšia ako hodnota pre apotém, čo platí pre akúkoľvek pyramídu.

Teraz môžete použiť výrazy pre objem a oblasť:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Na jednoznačné určenie akejkoľvek charakteristiky pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy teda potrebujete poznať akékoľvek dva jej lineárne parametre.