Znalosť vzdialenosti od bodu k rovine alebo k priamke vám umožňuje vypočítať objem a povrch postáv v priestore. Výpočet tejto vzdialenosti v geometrii sa vykonáva pomocou zodpovedajúcich rovníc pre špecifikované geometrické objekty. V článku si ukážeme, aké vzorce sa dajú použiť na jeho určenie.
Priamkové a rovinné rovnice
Pred uvedením vzorcov na určenie vzdialenosti od bodu k rovine a k priamke si ukážme, aké rovnice popisujú tieto objekty.
Na definovanie bodu sa používa množina súradníc v danom systéme súradnicových osí. Tu budeme uvažovať iba karteziánsky pravouhlý systém, v ktorom osi majú rovnaké jednotkové vektory a sú navzájom kolmé. V rovine je ľubovoľný bod opísaný dvoma súradnicami, v priestore tromi.
Na definovanie priamky sa používajú rôzne typy rovníc. V súlade s témou článku uvádzameiba dve z nich, ktoré sa používajú v dvojrozmernom priestore na definovanie čiar.
Vektorová rovnica. Má nasledujúci zápis:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Prvý člen tu predstavuje súradnice známeho bodu ležiaceho na priamke. Druhý člen sú súradnice smerového vektora vynásobené ľubovoľným číslom λ.
Všeobecná rovnica. Jeho zápis je nasledovný:
Ax + By + C=0;
kde A, B, C sú niektoré koeficienty.
Všeobecná rovnica sa častejšie používa na určenie čiar v rovine, avšak na nájdenie vzdialenosti od bodu k čiare v rovine je vhodnejšie pracovať s vektorovým výrazom.
Rovina v trojrozmernom priestore sa dá zapísať aj niekoľkými matematickými spôsobmi. Napriek tomu najčastejšie v problémoch existuje všeobecná rovnica, ktorá je napísaná takto:
Ax + By + Cz + D=0.
Výhoda tohto zápisu vo vzťahu k ostatným je, že explicitne obsahuje súradnice vektora kolmého na rovinu. Tento vektor sa nazýva sprievodca, zhoduje sa so smerom normály a jeho súradnice sa rovnajú (A; B; C).
Všimnite si, že vyššie uvedený výraz sa zhoduje s formou písania všeobecnej rovnice pre priamku v dvojrozmernom priestore, takže pri riešení úloh by ste mali byť opatrní, aby ste si tieto geometrické objekty nepoplietli.
Vzdialenosť medzi bodom a čiarou
Poďme si ukázať, ako vypočítať vzdialenosť medzi priamkou abod v dvojrozmernom priestore.
Nech je nejaký bod Q(x1; y1) a čiara daná ako:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Vzdialenosť medzi čiarou a bodom sa chápe ako dĺžka úsečky kolmej na túto čiaru, ktorá je na ňu spustená z bodu Q.
Pred výpočtom tejto vzdialenosti by ste mali do tejto rovnice nahradiť súradnice Q. Ak to splnia, potom Q patrí do daného riadku a zodpovedajúca vzdialenosť sa rovná nule. Ak súradnice bodu nevedú k rovnosti, potom je vzdialenosť medzi geometrickými objektmi nenulová. Dá sa vypočítať pomocou vzorca:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
P je tu ľubovoľný bod priamky, ktorý je začiatkom vektora PQ¯. Vektor u¯ je vodiaci segment pre priamku, to znamená, že jeho súradnice sú (a; b).
Používanie tohto vzorca vyžaduje schopnosť vypočítať krížový súčin v čitateli.
Problém s bodom a čiarou
Povedzme, že potrebujete nájsť vzdialenosť medzi Q(-3; 1) a priamkou, ktorá spĺňa rovnicu:
y=5x -2.
Nahradením súradníc Q do výrazu sa môžeme uistiť, že Q neleží na priamke. Môžete použiť vzorec pre d uvedený v odseku vyššie, ak túto rovnicu reprezentujete vo vektorovej forme. Urobme to takto:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Teraz zoberme ľubovoľný bod na tejto čiare, napríklad (0; -2), a zostavme vektor začínajúci na ňom a končiaci na Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Teraz použite vzorec na určenie vzdialenosti, dostaneme:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Vzdialenosť z bodu do roviny
Vzdialenosť medzi rovinou a bodom v priestore sa podobne ako v prípade priamky chápe ako dĺžka úsečky, ktorá z daného bodu klesá kolmo na rovinu a pretína ju.
V priestore je bod daný tromi súradnicami. Ak sa rovnajú (x1; y1; z1), potom vzdialenosť medzi rovinu a tento bod možno vypočítať pomocou vzorca:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Všimnite si, že pomocou vzorca môžete nájsť iba vzdialenosť od roviny k čiare. Na nájdenie súradníc bodu, v ktorom kolmá úsečka pretína rovinu, je potrebné napísať rovnicu pre priamku, ktorej táto úsečka patrí, a potom nájsť spoločný bod pre túto priamku a danú rovinu.
Problém s rovinou a bodom
Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine, ak je známe, že bod má súradnice (3; -1; 2) a rovina je daná:
-y + 3z=0.
Ak chcete použiť zodpovedajúci vzorec, najprv napíšeme koeficienty predanej rovine. Keďže chýba premenná x a voľný člen, koeficienty A a D sa rovnajú nule. Máme:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Je ľahké ukázať, že táto rovina prechádza počiatkom a os x jej patrí.
Dosaďte súradnice bodu a koeficienty roviny do vzorca pre vzdialenosť d, dostaneme:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Všimnite si, že ak zmeníte x-ovú súradnicu bodu, vzdialenosť d sa nezmení. Táto skutočnosť znamená, že množina bodov (x; -1; 2) tvorí priamku rovnobežnú s danou rovinou.
