Vzorce na určenie vzdialenosti od bodu k rovine a od bodu k priamke

Obsah:

Vzorce na určenie vzdialenosti od bodu k rovine a od bodu k priamke
Vzorce na určenie vzdialenosti od bodu k rovine a od bodu k priamke
Anonim

Znalosť vzdialenosti od bodu k rovine alebo k priamke vám umožňuje vypočítať objem a povrch postáv v priestore. Výpočet tejto vzdialenosti v geometrii sa vykonáva pomocou zodpovedajúcich rovníc pre špecifikované geometrické objekty. V článku si ukážeme, aké vzorce sa dajú použiť na jeho určenie.

Priamkové a rovinné rovnice

Bod, čiara a rovina
Bod, čiara a rovina

Pred uvedením vzorcov na určenie vzdialenosti od bodu k rovine a k priamke si ukážme, aké rovnice popisujú tieto objekty.

Na definovanie bodu sa používa množina súradníc v danom systéme súradnicových osí. Tu budeme uvažovať iba karteziánsky pravouhlý systém, v ktorom osi majú rovnaké jednotkové vektory a sú navzájom kolmé. V rovine je ľubovoľný bod opísaný dvoma súradnicami, v priestore tromi.

Na definovanie priamky sa používajú rôzne typy rovníc. V súlade s témou článku uvádzameiba dve z nich, ktoré sa používajú v dvojrozmernom priestore na definovanie čiar.

Vektorová rovnica. Má nasledujúci zápis:

(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).

Prvý člen tu predstavuje súradnice známeho bodu ležiaceho na priamke. Druhý člen sú súradnice smerového vektora vynásobené ľubovoľným číslom λ.

Všeobecná rovnica. Jeho zápis je nasledovný:

Ax + By + C=0;

kde A, B, C sú niektoré koeficienty.

Všeobecná rovnica sa častejšie používa na určenie čiar v rovine, avšak na nájdenie vzdialenosti od bodu k čiare v rovine je vhodnejšie pracovať s vektorovým výrazom.

Rovina v trojrozmernom priestore sa dá zapísať aj niekoľkými matematickými spôsobmi. Napriek tomu najčastejšie v problémoch existuje všeobecná rovnica, ktorá je napísaná takto:

Ax + By + Cz + D=0.

Výhoda tohto zápisu vo vzťahu k ostatným je, že explicitne obsahuje súradnice vektora kolmého na rovinu. Tento vektor sa nazýva sprievodca, zhoduje sa so smerom normály a jeho súradnice sa rovnajú (A; B; C).

Všimnite si, že vyššie uvedený výraz sa zhoduje s formou písania všeobecnej rovnice pre priamku v dvojrozmernom priestore, takže pri riešení úloh by ste mali byť opatrní, aby ste si tieto geometrické objekty nepoplietli.

Vzdialenosť medzi bodom a čiarou

Bod a čiara
Bod a čiara

Poďme si ukázať, ako vypočítať vzdialenosť medzi priamkou abod v dvojrozmernom priestore.

Nech je nejaký bod Q(x1; y1) a čiara daná ako:

(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).

Vzdialenosť medzi čiarou a bodom sa chápe ako dĺžka úsečky kolmej na túto čiaru, ktorá je na ňu spustená z bodu Q.

Pred výpočtom tejto vzdialenosti by ste mali do tejto rovnice nahradiť súradnice Q. Ak to splnia, potom Q patrí do daného riadku a zodpovedajúca vzdialenosť sa rovná nule. Ak súradnice bodu nevedú k rovnosti, potom je vzdialenosť medzi geometrickými objektmi nenulová. Dá sa vypočítať pomocou vzorca:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

P je tu ľubovoľný bod priamky, ktorý je začiatkom vektora PQ¯. Vektor u¯ je vodiaci segment pre priamku, to znamená, že jeho súradnice sú (a; b).

Používanie tohto vzorca vyžaduje schopnosť vypočítať krížový súčin v čitateli.

Vzdialenosť od bodu k priamke v rovine
Vzdialenosť od bodu k priamke v rovine

Problém s bodom a čiarou

Povedzme, že potrebujete nájsť vzdialenosť medzi Q(-3; 1) a priamkou, ktorá spĺňa rovnicu:

y=5x -2.

Nahradením súradníc Q do výrazu sa môžeme uistiť, že Q neleží na priamke. Môžete použiť vzorec pre d uvedený v odseku vyššie, ak túto rovnicu reprezentujete vo vektorovej forme. Urobme to takto:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Teraz zoberme ľubovoľný bod na tejto čiare, napríklad (0; -2), a zostavme vektor začínajúci na ňom a končiaci na Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Teraz použite vzorec na určenie vzdialenosti, dostaneme:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Vzdialenosť z bodu do roviny

Vzdialenosť od bodu k rovine
Vzdialenosť od bodu k rovine

Vzdialenosť medzi rovinou a bodom v priestore sa podobne ako v prípade priamky chápe ako dĺžka úsečky, ktorá z daného bodu klesá kolmo na rovinu a pretína ju.

V priestore je bod daný tromi súradnicami. Ak sa rovnajú (x1; y1; z1), potom vzdialenosť medzi rovinu a tento bod možno vypočítať pomocou vzorca:

d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).

Všimnite si, že pomocou vzorca môžete nájsť iba vzdialenosť od roviny k čiare. Na nájdenie súradníc bodu, v ktorom kolmá úsečka pretína rovinu, je potrebné napísať rovnicu pre priamku, ktorej táto úsečka patrí, a potom nájsť spoločný bod pre túto priamku a danú rovinu.

Problém s rovinou a bodom

Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine, ak je známe, že bod má súradnice (3; -1; 2) a rovina je daná:

-y + 3z=0.

Ak chcete použiť zodpovedajúci vzorec, najprv napíšeme koeficienty predanej rovine. Keďže chýba premenná x a voľný člen, koeficienty A a D sa rovnajú nule. Máme:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Je ľahké ukázať, že táto rovina prechádza počiatkom a os x jej patrí.

Dosaďte súradnice bodu a koeficienty roviny do vzorca pre vzdialenosť d, dostaneme:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Všimnite si, že ak zmeníte x-ovú súradnicu bodu, vzdialenosť d sa nezmení. Táto skutočnosť znamená, že množina bodov (x; -1; 2) tvorí priamku rovnobežnú s danou rovinou.

Odporúča: