Štúdium vlastností plynného agregátového stavu hmoty je jednou z dôležitých oblastí modernej fyziky. Ak vezmeme do úvahy plyny v mikroskopickom meradle, je možné získať všetky makroskopické parametre systému. Tento článok odhalí dôležitý problém molekulárnej kinetickej teórie plynov: aké je Maxwellovo rozdelenie molekúl z hľadiska rýchlostí.
Historické pozadie
Myšlienka plynu ako systému mikroskopických pohybujúcich sa častíc vznikla v starovekom Grécku. Trvalo viac ako 1700 rokov, kým ho veda vyvinula.
Zakladateľa modernej molekulárno-kinetickej teórie (MKT) plynu je spravodlivé zvážiť Daniila Bernoulliho. V roku 1738 vydal dielo s názvom „Hydrodynamika“. Bernoulli v ňom načrtol myšlienky MKT, ktoré sa používajú dodnes. Vedec teda veril, že plyny sú zložené z častíc, ktoré sa náhodne pohybujú vo všetkých smeroch. Početné kolíziečastice so stenami nádoby sú vnímané ako prítomnosť tlaku v plynoch. Rýchlosti častíc úzko súvisia s teplotou systému. Vedecká komunita neprijala Bernoulliho odvážne myšlienky, pretože ešte nebol stanovený zákon zachovania energie.
Následne sa mnohí vedci zaoberali budovaním kinetického modelu plynov. Spomedzi nich treba spomenúť Rudolfa Clausiusa, ktorý v roku 1857 vytvoril jednoduchý model plynu. Vedec v ňom venoval osobitnú pozornosť prítomnosti translačných, rotačných a vibračných stupňov voľnosti v molekulách.
V roku 1859 James Maxwell pri štúdiu práce Clausiusa sformuloval takzvanú Maxwellovu distribúciu molekulárnych rýchlostí. V skutočnosti Maxwell potvrdil myšlienky MKT a podporil ich matematickým aparátom. Následne Ludwig Boltzmann (1871) zovšeobecnil závery Maxwellovej distribúcie. Predpokladal všeobecnejšie štatistické rozloženie molekúl na rýchlosti a energie. V súčasnosti je známa ako distribúcia Maxwell-Boltzmann.
Ideálny plyn. Základné postuláty ILC
Aby ste pochopili, čo je funkcia distribúcie Maxwell, musíte jasne porozumieť systémom, pre ktoré je táto funkcia použiteľná. Hovoríme o ideálnom plyne. Vo fyzike sa tento pojem chápe ako tekutá látka, ktorá pozostáva z prakticky bezrozmerných častíc, ktoré nemajú potenciálnu energiu. Tieto častice sa pohybujú vysokou rýchlosťou, takže ich správanie je úplne určené kinetickou energiou. Okrem toho sú vzdialenosti medzi časticami príliš veľkév porovnaní s ich veľkosťou, takže tie druhé sú zanedbané.
Ideálne plyny sú opísané v MKT. Jeho hlavné postuláty sú nasledovné:
- plynové systémy sa skladajú z obrovského množstva voľných častíc;
- častice sa náhodne pohybujú rôznymi rýchlosťami v rôznych smeroch pozdĺž priamych trajektórií;
- častice sa elasticky zrážajú so stenami ciev (pravdepodobnosť, že sa častice navzájom zrazia, je nízka kvôli ich malej veľkosti);
- Teplota systému je jednoznačne určená priemernou kinetickou energiou častíc, ktorá sa zachová v čase, ak sa v systéme vytvorí termodynamická rovnováha.
Maxwellov zákon o distribúcii
Ak by mal človek prístroj, ktorým by bolo možné zmerať rýchlosť jednej molekuly plynu, po vykonaní príslušného experimentu by bol prekvapený. Experiment by ukázal, že každá molekula akéhokoľvek plynného systému sa pohybuje úplne ľubovoľnou rýchlosťou. V tomto prípade by v rámci jedného systému v tepelnej rovnováhe s prostredím boli detekované veľmi pomalé aj veľmi rýchle molekuly.
Maxwellov zákon rozloženia rýchlosti molekúl plynu je nástroj, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť detekcie častíc s danou rýchlosťou v v skúmanom systéme. Zodpovedajúca funkcia vyzerá takto:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
V tomto výraze m -hmotnosť častice (molekuly), k - Boltzmannova konštanta, T - absolútna teplota. Ak je teda známa chemická povaha častíc (hodnota m), potom je funkcia f(v) jednoznačne určená absolútnou teplotou. Funkcia f(v) sa nazýva hustota pravdepodobnosti. Ak z neho vezmeme integrál pre nejaký rýchlostný limit (v; v+dv), tak dostaneme počet častíc Ni, ktoré majú rýchlosti v zadanom intervale. Ak teda vezmeme integrál hustoty pravdepodobnosti f(v) pre rýchlostné limity od 0 do ∞, dostaneme celkový počet molekúl N v systéme.
Grafické znázornenie hustoty pravdepodobnosti f(v)
Funkcia hustoty pravdepodobnosti má trochu zložitú matematickú formu, takže nie je ľahké znázorniť jej správanie pri danej teplote. Tento problém sa dá vyriešiť, ak ho znázorníte na dvojrozmernom grafe. Schematický pohľad na graf Maxwellovho rozdelenia je uvedený nižšie na obrázku.
Vidíme, že začína od nuly, pretože rýchlosť v molekúl nemôže mať záporné hodnoty. Graf končí niekde v oblasti vysokých rýchlostí, plynule klesá k nule (f(∞)->0). Pozoruhodný je aj nasledujúci znak: hladká krivka je asymetrická, pri malých rýchlostiach klesá prudšie.
Dôležitým znakom správania funkcie hustoty pravdepodobnosti f(v) je prítomnosť jedného vyjadreného maxima na nej. Podľa fyzikálneho významu funkcie toto maximum zodpovedá najpravdepodobnejšej hodnote rýchlostí molekúl v plynesystém.
Dôležité rýchlosti pre funkciu f(v)
Funkcia hustoty pravdepodobnosti f(v) a jej grafické znázornenie nám umožňujú definovať tri dôležité typy rýchlosti.
Prvý typ rýchlosti, ktorý je zrejmý a ktorý bol spomenutý vyššie, je najpravdepodobnejšia rýchlosť v1. Na grafe jej hodnota zodpovedá maximu funkcie f(v). Práve túto rýchlosť a jej blízke hodnoty bude mať väčšina častíc systému. Nie je ťažké to vypočítať, na to stačí vziať prvú deriváciu vzhľadom na rýchlosť funkcie f(v) a prirovnať ju k nule. Ako výsledok týchto matematických operácií dostaneme konečný výsledok:
v1=√(2RT/M).
R je univerzálna plynová konštanta, M je molárna hmotnosť molekúl.
Druhým druhom rýchlosti je jej priemerná hodnota pre všetkých N častíc. Označme to v2. Dá sa vypočítať integráciou funkcie vf(v) cez všetky rýchlosti. Výsledkom uvedenej integrácie bude nasledujúci vzorec:
v2=√(8RT/(piM)).
Pretože pomer je 8/pi>2, priemerná rýchlosť je vždy o niečo vyššia ako najpravdepodobnejšia.
Každý, kto sa trochu vyzná vo fyzike, chápe, že priemerná rýchlosť v2 molekúl musí byť v plynovom systéme veľmi dôležitá. Ide však o mylný predpoklad. Oveľa dôležitejšia je rýchlosť RMS. Označme tov3.
Podľa definície je stredná odmocnina rýchlosti súčet druhých mocnín jednotlivých rýchlostí všetkých častíc, delený počtom týchto častíc a braný ako druhá odmocnina. Dá sa vypočítať pre Maxwellovo rozdelenie, ak zadefinujeme integrál pre všetky rýchlosti funkcie v2f(v). Vzorec pre priemernú kvadratickú rýchlosť bude mať tvar:
v3=√(3RT/M).
Rovnosť ukazuje, že táto rýchlosť je väčšia ako v2 a v1 pre akýkoľvek plynový systém.
Všetky uvažované typy rýchlostí na Maxwellovom distribučnom grafe teda ležia buď na extréme, alebo napravo od neho.
Dôležitosť v3
Vyššie bolo uvedené, že stredná štvorcová rýchlosť je dôležitejšia pre pochopenie fyzikálnych procesov a vlastností plynového systému ako jednoduchá priemerná rýchlosť v2. To je pravda, pretože kinetická energia ideálneho plynu závisí presne od v3, a nie od v2.
Ak uvažujeme o monatomickom ideálnom plyne, potom preň platí nasledujúci výraz:
mv32/2=3/2kT.
Tu každá časť rovnice predstavuje kinetickú energiu jednej častice s hmotnosťou m. Prečo výraz obsahuje práve hodnotu v3 a nie priemernú rýchlosť v2? Veľmi jednoduché: pri určovaní kinetickej energie každej častice sa jej individuálna rýchlosť v rovná druhej mocnine, potom všetky rýchlostisa sčítajú a delia počtom častíc N. To znamená, že samotný postup určenia kinetickej energie vedie k hodnote strednej štvorcovej rýchlosti.
Závislosť funkcie f(v) od teploty
Vyššie sme zistili, že hustota pravdepodobnosti molekulárnych rýchlostí jednoznačne závisí od teploty. Ako sa zmení funkcia, ak sa T zvýši alebo zníži? Tabuľka nižšie vám pomôže odpovedať na túto otázku.
Je vidieť, že zahrievanie uzavretého systému vedie k rozmazaniu špičky a jej posunu k vyšším rýchlostiam. Zvýšenie teploty vedie k zvýšeniu všetkých typov rýchlostí a k zníženiu hustoty pravdepodobnosti každého z nich. Špičková hodnota klesá v dôsledku zachovania počtu častíc N v uzavretom systéme.
Ďalej vyriešime niekoľko problémov na konsolidáciu získaného teoretického materiálu.
Problém s molekulami dusíka vo vzduchu
Je potrebné vypočítať rýchlosti v1, v2 a v3 pre vzdušný dusík pri teplote 300 K (asi 27 oC).
Molárna hmotnosť dusíka N2 je 28 g/mol. Pomocou vyššie uvedených vzorcov dostaneme:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problém s kyslíkovou nádržou
Kyslík vo fľaši mal určitú teplotu T1. Potom bol balón umiestnený v chladnejšej miestnosti. Ako sa zmení Maxwellov graf distribúcie rýchlosti pre molekuly kyslíka, keď sa systém dostane do termodynamickej rovnováhy?
Pri spomienke na teóriu môžeme na otázku problému odpovedať takto: hodnoty všetkých typov rýchlostí molekúl sa znížia, vrchol funkcie f(v) sa posunie doľava, byť užší a vyšší.
