Matematika je v podstate abstraktná veda, ak sa vzdialime od elementárnych pojmov. Takže na niekoľkých jablkách môžete vizuálne znázorniť základné operácie, ktoré sú základom matematiky, ale akonáhle sa rovina činnosti rozšíri, tieto objekty sa stanú nedostatočnými. Skúšal niekto zobraziť operácie na nekonečných množinách na jablkách? To je tá vec, nie. Čím komplexnejšie sa stávali pojmy, s ktorými matematika vo svojich úsudkoch operuje, tým problematickejšie sa zdalo ich vizuálne vyjadrenie, ktoré by malo uľahčiť pochopenie. Avšak pre šťastie moderných študentov a vedy vo všeobecnosti boli odvodené Eulerove kruhy, ktorých príklady a možnosti zvážime nižšie.
Trošku histórie
17. apríla 1707 dal svet vede Leonharda Eulera, pozoruhodného vedca, ktorého prínos k matematike, fyzike, stavbe lodí a dokonca aj hudobnej teórii nemožno preceňovať.
Jeho diela sú dodnes uznávané a žiadané na celom svete, a to aj napriek tomu, že veda nestojí na mieste. Zvlášť zaujímavá je skutočnosť, že pán Euler sa priamo podieľal na formovaní ruskej školy vyššej matematiky, najmä preto, že sa z vôle osudu dvakrát vrátil do nášho štátu. Vedec mal jedinečnú schopnosť zostaviť algoritmy, ktoré boli transparentné vo svojej logike, odrezali všetko nadbytočné a posunuli sa od všeobecného ku konkrétnemu v čo najkratšom čase. Nebudeme uvádzať všetky jeho zásluhy, pretože to bude trvať veľa času a prejdeme priamo k téme článku. Práve on navrhol použiť grafické znázornenie operácií na súpravách. Eulerove kruhy sú schopné vizualizovať riešenie akéhokoľvek, aj toho najzložitejšieho problému.
Aký to má zmysel?
V praxi sa Eulerove kruhy, ktorých schéma je znázornená nižšie, dajú využiť nielen v matematike, keďže pojem „množina“je vlastný nielen tejto disciplíne. Takže sú úspešne aplikované v manažmente.
Vyššie uvedený diagram ukazuje vzťahy množín A (iracionálne čísla), B (racionálne čísla) a C (prirodzené čísla). Kruhy ukazujú, že množina C je zahrnutá v množine B, pričom množina A sa s nimi nijako nepretína. Príklad je najjednoduchší, ale jasne vysvetľuje špecifiká „vzťahov množín“, ktoré sú príliš abstraktné na skutočné porovnanie, už len kvôli ich nekonečnosti.
Algebra logiky
Táto oblasťmatematická logika pracuje s tvrdeniami, ktoré môžu byť pravdivé aj nepravdivé. Napríklad z elementárneho: číslo 625 je deliteľné 25, číslo 625 je deliteľné 5, číslo 625 je prvočíslo. Prvé a druhé tvrdenie sú pravdivé, zatiaľ čo posledné je nepravdivé. Samozrejme, v praxi je všetko komplikovanejšie, ale podstata je jasne ukázaná. A, samozrejme, do riešenia sú opäť zapojené Eulerove kruhy, príklady s ich použitím sú príliš pohodlné a vizuálne na to, aby sa dali ignorovať.
Trošku teórie:
- Nech množiny A a B existujú a nie sú prázdne, potom sú pre ne definované nasledujúce operácie prieniku, spojenia a negácie.
- Priesečník množín A a B pozostáva z prvkov, ktoré patria súčasne do množiny A aj do množiny B.
- Spojenie množín A a B pozostáva z prvkov, ktoré patria do množiny A alebo množiny B.
- Negácia množiny A je množina, ktorá pozostáva z prvkov, ktoré nepatria do množiny A.
Toto všetko je opäť znázornené Eulerovými kruhmi v logike, pretože s ich pomocou sa každá úloha, bez ohľadu na stupeň zložitosti, stáva zrejmou a vizuálnou.
Axiómy algebry logiky
Predpokladajme, že 1 a 0 existujú a sú definované v množine A, potom:
- negácia negácie množiny A je množina A;
- zjednotenie množiny A s not_A je 1;
- zjednotenie množiny A s 1 je 1;
- zjednotenie množiny A so sebou samým je množina A;
- zjednotenie sady As 0 je množina A;
- priesečník množiny A s not_A je 0;
- priesečník množiny A so sebou samým je množina A;
- priesečník množiny A s 0 je 0;
- priesečník množiny A s 1 je množina A.
Základné vlastnosti algebry logiky
Nech množiny A a B existujú a nie sú prázdne, potom:
- pre priesečník a zjednotenie množín A a B platí komutatívny zákon;
- kombinačný zákon platí pre priesečník a zjednotenie množín A a B;
- distribučný zákon platí pre priesečník a spojenie množín A a B;
- negácia priesečníka množín A a B je priesečníkom negácií množín A a B;
- negácia spojenia množín A a B je spojením negácií množín A a B.
Nasledujúca časť zobrazuje Eulerove kružnice, príklady priesečníka a spojenia množín A, B a C.
Vyhliadky
Diela Leonharda Eulera sa oprávnene považujú za základ modernej matematiky, ale teraz sa úspešne používajú v oblastiach ľudskej činnosti, ktoré sa objavili relatívne nedávno, vezmime si napríklad správu a riadenie spoločností: Eulerove kruhy, príklady a grafy popisujú mechanizmy vývojové modely, či už ide o ruskú alebo anglicko-americkú verziu.
