Leonhard Euler (1707-1783) – slávny švajčiarsky a ruský matematik, člen Akadémie vied v Petrohrade, prežil väčšinu svojho života v Rusku. Najznámejší v matematickej analýze, štatistike, informatike a logike je Eulerov kruh (Euler-Venn diagram), ktorý sa používa na označenie rozsahu pojmov a množín prvkov.
John Venn (1834-1923) – anglický filozof a logik, spoluautor Euler-Vennovho diagramu.
Kompatibilné a nekompatibilné koncepty
Pod pojmom logika znamená formu myslenia, ktorá odráža základné črty triedy homogénnych predmetov. Označujú sa jedným alebo skupinou slov: „mapa sveta“, „dominantný kvinta-sedmý akord“, „pondelok“atď.
V prípade, že prvky rozsahu jedného pojmu úplne alebo čiastočne patria do rozsahu iného, hovorí sa o kompatibilných pojmoch. Ak však žiadny prvok z rozsahu určitého pojmu nepatrí do rozsahu iného, máme nezlučiteľné pojmy.
Na druhej strane každý typ konceptu má svoj vlastný súbor možných vzťahov. Pre kompatibilné koncepty sú tieto:
- identita (ekvivalencia) objemov;
- crossing (čiastočná zhoda)objemy;
- podriadenosť (podriadenosť).
Pre nekompatibilné:
- podriadenosť (koordinácia);
- protiklad (kontraralita);
- rozpor (rozpor).
Schematicky sa vzťahy medzi pojmami v logike zvyčajne označujú pomocou Eulerových-Vennových kruhov.
Ekvivalentné vzťahy
V tomto prípade pojmy znamenajú rovnaký predmet. V súlade s tým sú objemy týchto konceptov úplne rovnaké. Napríklad:
A – Sigmund Freud;
B je zakladateľom psychoanalýzy.
Alebo:
A je štvorec;
B je rovnostranný obdĺžnik;
C je rovnouholníkový kosoštvorec.
Na označenie sa používajú úplne zhodné Eulerove kruhy.
Priesečník (čiastočná zhoda)
Táto kategória zahŕňa koncepty, ktoré majú spoločné prvky súvisiace s krížením. To znamená, že objem jedného z konceptov je čiastočne zahrnutý do objemu druhého:
A - učiteľ;
B je milovník hudby.
Ako vidno z tohto príkladu, objemy pojmov sa čiastočne zhodujú: určitá skupina učiteľov sa môže ukázať ako milovníci hudby a naopak - medzi milovníkmi hudby môžu byť zástupcovia učiteľskej profesie. Podobný postoj bude v prípade, keď pojem A je napríklad „občan“a B je „vodič“.
Podriadenosť (podriadenosť)
Schematicky označené ako Eulerove kruhy rôznych mierok. Vzťahymedzi pojmami sa v tomto prípade vyznačujú tým, že podriadený pojem (objemovo menší) je úplne obsiahnutý v podriadenom (objemovo väčší). Zároveň pojem podriadený nevyčerpáva celkom podriadený.
Napríklad:
A - strom;
B – borovica.
Koncept B bude podriadený konceptu A. Keďže borovica patrí medzi stromy, koncept A sa v tomto príklade stáva podriadeným a „absorbuje“rozsah konceptu B.
Koordinácia (koordinácia)
Vzťah charakterizuje dva alebo viac pojmov, ktoré sa navzájom vylučujú, ale patria do určitého spoločného všeobecného okruhu. Napríklad:
A – klarinet;
B - gitara;
C - husle;
D je hudobný nástroj.
Pojmy A, B, C sa navzájom nepretínajú, ale všetky patria do kategórie hudobných nástrojov (pojem D).
Opak (naopak)
Opačné vzťahy medzi pojmami naznačujú, že tieto pojmy patria do rovnakého rodu. Zároveň jeden z konceptov má určité vlastnosti (rysy), zatiaľ čo druhý ich popiera a nahrádza ich v prírode opačnými. Máme teda do činenia s antonymami. Napríklad:
A je trpaslík;
B je obrie.
Eulerov kruh s opačnými vzťahmi medzi pojmamije rozdelená do troch segmentov, z ktorých prvý zodpovedá konceptu A, druhý konceptu B a tretí všetkým ostatným možným konceptom.
Rozpor (rozpor)
V tomto prípade oba pojmy predstavujú druhy rovnakého rodu. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, jeden z konceptov označuje určité kvality (vlastnosti), zatiaľ čo druhý ich popiera. Na rozdiel od vzťahu protikladov však druhý, protikladný pojem nenahrádza popierané vlastnosti inými, alternatívnymi. Napríklad:
A je náročná úloha;
B je ľahká úloha (nie-A).
Vyjadrujúc objem pojmov tohto druhu, Eulerov kruh je rozdelený na dve časti – tretí, medzičlánok v tomto prípade neexistuje. Pojmy sú teda tiež antonymami. Zároveň sa jeden z nich (A) stáva pozitívnym (potvrdzuje nejakú vlastnosť) a druhý (B alebo iný ako A) sa stáva negatívnym (neguje zodpovedajúcu vlastnosť): „biely papier“- „nie biely papier“, „ národné dejiny“– „zahraničné dejiny“atď.
Pomer objemov pojmov vo vzájomnom vzťahu je teda kľúčovou charakteristikou, ktorá definuje Eulerove kruhy.
Vzťahy medzi skupinami
Tiež je potrebné rozlišovať medzi pojmami prvky a množiny, ktorých objem je znázornený Eulerovými kruhmi. Pojem množina je vypožičaný z matematickej vedy a má pomerne široký význam. Príklady v logike a matematike ju zobrazujú ako určitú množinu objektov. Samotné predmety súprvky tejto sady. „Veľa je veľa myšlienok ako jedna“(Georg Kantor, zakladateľ teórie množín).
Množiny sú označené veľkými písmenami: A, B, C, D… atď., prvky množín sú označené malými písmenami: a, b, c, d… atď. Príkladom množiny môžu byť študenti, ktorí sú v jednej triede, knihy na určitej poličke (alebo napríklad všetky knihy v určitej knižnici), strany v denníku, bobule na lesnej čistinke atď.
Ak určitá množina neobsahuje jediný prvok, potom sa nazýva prázdna a označuje sa znamienkom Ø. Napríklad množina priesečníkov rovnobežných čiar, množina riešení rovnice x2=-5.
Riešenie problémov
Eulerove kruhy sa aktívne používajú na riešenie veľkého množstva problémov. Príklady v logike jasne demonštrujú spojenie medzi logickými operáciami a teóriou množín. V tomto prípade sa používajú pravdivostné tabuľky pojmov. Napríklad kruh označený A predstavuje oblasť pravdy. Takže oblasť mimo kruhu bude predstavovať nepravdu. Ak chcete určiť oblasť diagramu pre logickú operáciu, mali by ste zatieniť oblasti, ktoré definujú Eulerov kruh, v ktorom budú jeho hodnoty pre prvky A a B pravdivé.
Použitie Eulerových kruhov našlo široké praktické uplatnenie v rôznych priemyselných odvetviach. Napríklad v situácii s profesionálnym výberom. Ak má subjekt obavy z výberu budúceho povolania, môže sa riadiť nasledujúcimi kritériami:
W – čo rád robím?
D – čo robím?
P– ako môžem zarobiť dobré peniaze?
Nakreslime to ako diagram: Eulerove kružnice (príklady vo vzťahu logika – priesečník):
Výsledkom budú tie profesie, ktoré budú v priesečníku všetkých troch kruhov.
Euler-Vennove kruhy zaujímajú samostatné miesto v matematike (teória množín) pri výpočte kombinácií a vlastností. Eulerove kruhy množiny prvkov sú uzavreté v obraze obdĺžnika označujúceho univerzálnu množinu (U). Namiesto kruhov možno použiť aj iné uzavreté figúrky, ale podstata toho sa nemení. Obrazce sa navzájom prelínajú podľa podmienok problému (v najvšeobecnejšom prípade). Aj tieto čísla by mali byť zodpovedajúcim spôsobom označené. Prvky uvažovaných množín môžu byť body umiestnené vo vnútri rôznych segmentov diagramu. Na základe toho môžete zatieniť konkrétne oblasti, čím označíte novovytvorené sady.
S týmito množinami je možné vykonávať základné matematické operácie: sčítanie (súčet množín prvkov), odčítanie (rozdiel), násobenie (súčin). Navyše, vďaka Eulerovým-Vennovým diagramom je možné porovnávať množiny podľa počtu prvkov v nich obsiahnutých, nepočítajúc ich.
