Steinerova veta alebo veta o paralelných osiach na výpočet momentu zotrvačnosti

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Pri matematickom popise rotačného pohybu je dôležité poznať moment zotrvačnosti systému okolo osi. Vo všeobecnom prípade postup na zistenie tohto množstva zahŕňa implementáciu integračného procesu. Takzvaná Steinerova veta uľahčuje výpočet. Pozrime sa na to podrobnejšie v článku.

Čo je moment zotrvačnosti?

Pred uvedením formulácie Steinerovej vety je potrebné zaoberať sa samotným pojmom moment zotrvačnosti. Predpokladajme, že existuje nejaké teleso určitej hmotnosti a ľubovoľného tvaru. Týmto telesom môže byť buď hmotný bod alebo akýkoľvek dvojrozmerný alebo trojrozmerný objekt (tyč, valec, guľa atď.). Ak predmetný objekt vykonáva kruhový pohyb okolo nejakej osi s konštantným uhlovým zrýchlením α, potom možno napísať nasledujúcu rovnicu:

M=Iα

Hodnota M tu predstavuje celkový moment síl, ktorý dáva zrýchlenie α celému systému. Koeficient úmernosti medzi nimi - I, sa nazývamoment zotrvačnosti. Táto fyzikálna veličina sa vypočíta pomocou nasledujúceho všeobecného vzorca:

I=∫_m (r²dm)

Tu r je vzdialenosť medzi prvkom s hmotnosťou dm a osou rotácie. Tento výraz znamená, že je potrebné nájsť súčet súčinov druhých mocnín vzdialeností r² a elementárnej hmotnosti dm. To znamená, že moment zotrvačnosti nie je čistou charakteristikou tela, čo ho odlišuje od lineárnej zotrvačnosti. Závisí to od rozloženia hmoty v objekte, ktorý sa otáča, ako aj od vzdialenosti od osi a od orientácie telesa voči nej. Napríklad tyč bude mať iné I, ak sa otočí okolo ťažiska a okolo konca.

Moment zotrvačnosti a Steinerova veta

Slávny švajčiarsky matematik Jakob Steiner dokázal vetu o rovnobežných osiach a momente zotrvačnosti, ktorý teraz nesie jeho meno. Táto veta predpokladá, že moment zotrvačnosti pre absolútne akékoľvek tuhé teleso ľubovoľnej geometrie vo vzťahu k nejakej osi rotácie sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti okolo osi, ktorá pretína ťažisko telesa a je rovnobežná s prvou. a súčin telesnej hmotnosti krát druhá mocnina vzdialenosti medzi týmito osami. Matematicky je táto formulácia napísaná takto:

I_Z=I_O + ml²

I_Z a I_O - momenty zotrvačnosti okolo osi Z a rovnobežnej osi O, ktorá prechádza cez ťažisko telesa, l - vzdialenosť medzi čiarami Z a O.

Veta umožňuje so znalosťou hodnoty I_O vypočítaťakýkoľvek iný moment I_Z okolo osi, ktorá je rovnobežná s O.

Dôkaz vety

Vzorec Steinerovej vety môžete ľahko získať sami. Ak to chcete urobiť, zvážte ľubovoľné teleso v rovine xy. Nech počiatok súradníc prechádza cez ťažisko tohto telesa. Vypočítajme moment zotrvačnosti I_O, ktorý prechádza počiatkom kolmo na rovinu xy. Keďže vzdialenosť k ľubovoľnému bodu telesa je vyjadrená vzorcom r=√ (x² + y²), dostaneme integrál:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Teraz posuňme os rovnobežne s osou x o vzdialenosť l, napríklad v kladnom smere, potom bude výpočet pre novú os momentu zotrvačnosti vyzerať takto:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Rozšírte celý štvorec v zátvorkách a vydeľte integrandy, dostaneme:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Prvým z týchto výrazov je hodnota I_O, tretí výraz po integrácii dáva výraz l²m, a tu je druhý člen nula. Vynulovanie zadaného integrálu je spôsobené tým, že je prevzaté zo súčinu x a hmotnostných prvkov dm, ktoré v r.priemer dáva nulu, pretože ťažisko je v počiatku. Výsledkom je získanie vzorca Steinerovej vety.

Uvažovaný prípad v rovine možno zovšeobecniť na trojrozmerné teleso.

Kontrola Steinerovho vzorca na príklade tyče

Uveďme jednoduchý príklad, ktorý demonštruje, ako použiť vyššie uvedenú vetu.

Je známe, že pre tyč dĺžky L a hmotnosti m je moment zotrvačnosti I_O (os prechádza ťažiskom) rovný m L² /12 a moment I_Z (os prechádza koncom tyče) sa rovná mL 2^{/3. Skontrolujme tieto údaje pomocou Steinerovej vety. Keďže vzdialenosť medzi dvoma nápravami je L/2, dostaneme moment I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

To znamená, že sme skontrolovali Steinerov vzorec a dostali sme rovnakú hodnotu pre I_Z ako v zdroji.

Podobné výpočty je možné vykonať pre iné telesá (valec, guľa, disk), pričom sa získajú potrebné momenty zotrvačnosti a bez vykonania integrácie.

Moment zotrvačnosti a kolmé osi

Uvažovaná veta sa týka rovnobežných osí. Pre úplnosť informácie je užitočné uviesť aj vetu pre kolmé osi. Je formulovaný takto: pre plochý objekt ľubovoľného tvaru bude moment zotrvačnosti okolo osi kolmej naň rovný súčtu dvoch momentov zotrvačnosti okolo dvoch navzájom kolmých a ležiacichv rovine objektu osí, pričom všetky tri osi prechádzajú tým istým bodom. Matematicky je to napísané takto:

I_z=I_x + I_y

Z, x, y sú tri vzájomne kolmé osi rotácie.

Podstatný rozdiel medzi touto vetou a Steinerovou vetou je v tom, že ju možno použiť iba na ploché (dvojrozmerné) pevné objekty. Napriek tomu je v praxi široko používaný, mentálne rozrezanie tela na samostatné vrstvy a následné pridanie získaných momentov zotrvačnosti.