Kvantitatívne štúdium dynamiky a kinematiky rotačného pohybu si vyžaduje znalosť momentu zotrvačnosti hmotného bodu a tuhého telesa vo vzťahu k osi rotácie. V článku zvážime, o akom parametri hovoríme, a tiež uvedieme vzorec na jeho určenie.
Všeobecné informácie o fyzickom množstve
Najprv definujme moment zotrvačnosti hmotného bodu a tuhého telesa a potom si ukážme, ako by sa mal použiť pri riešení praktických problémov.
Pod uvedenou fyzikálnou charakteristikou pre bod s hmotnosťou m, ktorý sa otáča okolo osi vo vzdialenosti r, je myslená nasledujúca hodnota:
I=mr².
Z toho vyplýva, že jednotkou merania študovaného parametra sú kilogramy na meter štvorcový (kgm²).
Ak sa namiesto bodu okolo osi otáča teleso zložitého tvaru, ktoré má v sebe ľubovoľné rozloženie hmoty, určí sa jeho moment zotrvačnostitakže:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kde ρ je hustota telesa. Pomocou integrálneho vzorca môžete určiť hodnotu I pre absolútne akýkoľvek systém rotácie.
Moment zotrvačnosti má presne rovnaký význam pre rotáciu ako hmotnosť pre translačný pohyb. Každý napríklad vie, že najjednoduchšie je otáčať mop na podlahu okolo osi prechádzajúcej cez jeho rukoväť, než cez kolmú. Je to spôsobené tým, že moment zotrvačnosti v prvom prípade je oveľa menší ako v druhom.
Cením si telá rôznych tvarov
Pri riešení úloh vo fyzike pre rotáciu je často potrebné poznať moment zotrvačnosti pre teleso určitého geometrického tvaru, napríklad pre valec, guľu alebo tyč. Ak použijeme vzorec napísaný vyššie pre I, potom je ľahké získať zodpovedajúci výraz pre všetky označené telesá. Nižšie sú uvedené vzorce pre niektoré z nich:
tyč: I=1/12ML²;
valec: I=1/2MR²;
guľa: I=2 / 5MR².
Tu uvádzam os rotácie, ktorá prechádza ťažiskom tela. V prípade valca je os rovnobežná s generátorom obrázku. Moment zotrvačnosti pre iné geometrické telesá a možnosti umiestnenia osí otáčania nájdete v príslušných tabuľkách. Všimnite si, že na určenie rôznych tvarov stačí poznať iba jeden geometrický parameter a hmotnosť telesa.
Steinerova veta a vzorec
Moment zotrvačnosti možno určiť, ak sa os otáčania nachádza v určitej vzdialenosti od tela. Aby ste to dosiahli, mali by ste poznať dĺžku tohto segmentu a hodnotu IO telesa vzhľadom na os prechádzajúcu stredom jeho hmoty, ktorá by mala byť rovnobežná s osou pod úvaha. Vytvorenie spojenia medzi parametrom IO a neznámou hodnotou I je pevne stanovené v Steinerovej vete. Moment zotrvačnosti hmotného bodu a tuhého telesa je matematicky zapísaný takto:
I=IO+ Mh2.
Tu M je hmotnosť telesa, h je vzdialenosť od ťažiska k osi rotácie, vzhľadom na ktorú je potrebné vypočítať I. Tento výraz sa dá ľahko získať sami, ak použite integrálny vzorec pre I a vezmite do úvahy, že všetky body tela sú vo vzdialenosti r=r0 + h.
Steinerova veta výrazne zjednodušuje definíciu I v mnohých praktických situáciách. Napríklad, ak potrebujete nájsť I pre tyč dĺžky L a hmotnosti M vzhľadom na os, ktorá prechádza jej koncom, potom aplikácia Steinerovej vety vám umožní napísať:
I=IO+ M(L / 2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Môžete si pozrieť príslušnú tabuľku a uvidíte, že obsahuje presne tento vzorec pre tenkú tyč s osou otáčania na konci.
Momentová rovnica
Vo fyzike rotácie existuje vzorec nazývaný rovnica momentov. Vyzerá to takto:
M=Iα.
M je moment sily, α je uhlové zrýchlenie. Ako vidíte, moment zotrvačnosti hmotného bodu a tuhého telesa a moment sily spolu lineárne súvisia. Hodnota M určuje možnosť nejakej sily F vytvoriť v sústave rotačný pohyb so zrýchlením α. Na výpočet M použite nasledujúci jednoduchý výraz:
M=Fd.
Kde d je rameno momentu, ktoré sa rovná vzdialenosti od vektora sily F k osi rotácie. Čím menšie je rameno d, tým menšiu schopnosť bude mať sila na vytvorenie rotácie systému.
Rovnica momentov vo svojom význame je plne v súlade s druhým Newtonovým zákonom. V tomto prípade hrám úlohu zotrvačnej hmoty.
Príklad riešenia problému
Predstavme si systém, ktorý je valcom upevneným na zvislej osi s beztiažovou vodorovnou tyčou. Je známe, že os otáčania a hlavná os valca sú navzájom rovnobežné a vzdialenosť medzi nimi je 30 cm. Hmotnosť valca je 1 kg a jeho polomer je 5 cm. Sila 10 Na obrazec pôsobí N dotyčnica k trajektórii rotácie, ktorej vektor prechádza hlavnou osou valca. Je potrebné určiť uhlové zrýchlenie postavy, ktoré táto sila spôsobí.
Najskôr vypočítame moment zotrvačnosti I valca. Ak to chcete urobiť, použite Steinerovu vetu, máme:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Pred použitím rovnice momentu musíte urobiťurčiť moment sily M. V tomto prípade máme:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Teraz môžete určiť zrýchlenie:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Vypočítané uhlové zrýchlenie znamená, že každú sekundu sa rýchlosť valca zvýši o 5,2 otáčky za sekundu.
