Akákoľvek fyzikálna veličina navrhnutá v matematických rovniciach pri štúdiu určitého prírodného javu má nejaký význam. Moment zotrvačnosti nie je výnimkou z tohto pravidla. Fyzikálny význam tejto veličiny je podrobne popísaný v tomto článku.
Moment zotrvačnosti: matematická formulácia
V prvom rade treba povedať, že uvažovaná fyzikálna veličina sa používa na opis rotačných systémov, teda takých pohybov objektu, ktoré sú charakterizované kruhovými trajektóriami okolo nejakej osi alebo bodu.
Poďme dať matematický vzorec pre moment zotrvačnosti pre hmotný bod:
I=mr2.
Tu m a r sú hmotnosť častice a polomer rotácie (vzdialenosť od osi). Akékoľvek pevné telo, bez ohľadu na to, aké zložité môže byť, sa dá mentálne rozdeliť na hmotné body. Potom bude vzorec pre moment zotrvačnosti vo všeobecnom tvare vyzerať takto:
I=∫mr2dm.
Tento výraz je vždy pravdivý, a to nielen pre trojrozmerné,ale aj pre dvojrozmerné (jednorozmerné) telesá, teda pre roviny a tyče.
Z týchto vzorcov je ťažké pochopiť význam fyzického momentu zotrvačnosti, ale možno vyvodiť dôležitý záver: závisí od rozloženia hmoty v tele, ktoré sa otáča, ako aj od vzdialenosti k os otáčania. Navyše závislosť od r je ostrejšia ako od m (pozri štvorec vo vzorcoch).
Kruhový pohyb
Pochopte, aký je fyzikálny význam momentu zotrvačnosti, je to nemožné, ak nezohľadníte kruhový pohyb telies. Bez toho, aby sme zachádzali do podrobností, tu sú dva matematické výrazy, ktoré opisujú rotáciu:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
Horná rovnica sa nazýva zákon zachovania veličiny L (hybnosť). Znamená to, že bez ohľadu na to, aké zmeny nastanú v systéme (najskôr došlo k momentu zotrvačnosti I1, a potom sa rovnal I2), súčin I k uhlovej rýchlosti ω, teda moment hybnosti, zostane nezmenený.
Spodný výraz znázorňuje zmenu rýchlosti otáčania systému (dω/dt), keď naň pôsobí určitý moment sily M, ktorý má vonkajší charakter, to znamená, že je generovaný silami, ktoré nie sú súvisiace s internými procesmi v posudzovanom systéme.
Horná aj dolná rovnosť obsahuje I a čím väčšia je jej hodnota, tým nižšia je uhlová rýchlosť ω alebo uhlové zrýchlenie dω/dt. Toto je fyzický význam okamihu.zotrvačnosť tela: odráža schopnosť systému udržať si svoju uhlovú rýchlosť. Čím viac Ja, tým silnejšie sa táto schopnosť prejavuje.
Analógia lineárnej hybnosti
Teraz prejdime k rovnakému záveru, ktorý bol vyslovený na konci predchádzajúceho odseku, pričom načrtneme analógiu medzi rotačným a translačným pohybom vo fyzike. Ako viete, posledný je opísaný nasledujúcim vzorcom:
p=mv.
Tento jednoduchý výraz určuje hybnosť systému. Porovnajme jeho tvar s tvarom momentu hybnosti (pozri horný výraz v predchádzajúcom odseku). Vidíme, že hodnoty v a ω majú rovnaký význam: prvý charakterizuje rýchlosť zmeny lineárnych súradníc objektu, druhý charakterizuje uhlové súradnice. Keďže oba vzorce popisujú proces rovnomerného (rovnomerného) pohybu, hodnoty m a I musia mať tiež rovnaký význam.
Teraz zvážte 2. Newtonov zákon, ktorý je vyjadrený vzorcom:
F=ma.
Pozor na formu nižšej rovnosti v predchádzajúcom odseku, máme podobnú situáciu ako tá, ktorá bola uvažovaná. Moment sily M v jeho lineárnom zobrazení je sila F a lineárne zrýchlenie a je úplne analogické s uhlom dω/dt. A opäť sa dostávame k ekvivalencii hmotnosti a momentu zotrvačnosti.
Aký je význam hmotnosti v klasickej mechanike? Je to miera zotrvačnosti: čím väčšie m, tým ťažšie je presunúť objekt z jeho miesta a ešte viac mu dať zrýchlenie. To isté možno povedať o momente zotrvačnosti vo vzťahu k pohybu rotácie.
Fyzikálny význam momentu zotrvačnosti na príklade domácnosti
Položme si jednoduchú otázku, ako je jednoduchšie otočiť kovovú tyč, napríklad výstuž - keď os otáčania smeruje pozdĺž jej dĺžky alebo keď je naprieč? Samozrejme, že v prvom prípade je jednoduchšie tyč roztočiť, pretože jej moment zotrvačnosti pre takúto polohu osi bude veľmi malý (pre tenkú tyč je rovný nule). Preto stačí držať predmet medzi dlaňami a miernym pohybom ho uviesť do rotácie.
Mimochodom, opísanú skutočnosť experimentálne overili už naši predkovia v dávnych dobách, keď sa naučili zakladať oheň. Palicu roztočili obrovskými uhlovými zrýchleniami, čo viedlo k vytvoreniu veľkých trecích síl a v dôsledku toho k uvoľneniu značného množstva tepla.
Zotrvačník auta je ukážkovým príkladom využitia veľkého momentu zotrvačnosti
Na záver by som rád uviedol asi najdôležitejší príklad pre modernú technológiu využitia fyzikálneho významu momentu zotrvačnosti. Zotrvačník automobilu je pevný oceľový disk s pomerne veľkým polomerom a hmotnosťou. Tieto dve hodnoty určujú existenciu významnej hodnoty, ktorú charakterizujem. Zotrvačník je navrhnutý tak, aby „zmäkčil“akékoľvek silové účinky na kľukový hriadeľ auta. Impulzívny charakter pôsobiacich momentov síl z valcov motora na kľukový hriadeľ je vyhladený a hladký vďaka ťažkému zotrvačníku.
Mimochodom, čím väčší je moment hybnosti, týmviac energie je v rotujúcom systéme (analógia s hmotnosťou). Inžinieri chcú využiť túto skutočnosť, ukladať brzdnú energiu auta do zotrvačníka, aby ju následne nasmerovali na zrýchlenie vozidla.
