Často sa v živote stretávame s potrebou posúdiť šance, že dôjde k udalosti. Či sa oplatí kúpiť žreb alebo nie, aké bude pohlavie tretieho dieťaťa v rodine, či bude zajtra jasné počasie alebo bude opäť pršať – takýchto príkladov je nespočetne veľa. V najjednoduchšom prípade by ste mali vydeliť počet priaznivých výsledkov celkovým počtom udalostí. Ak je v lotérii 10 výherných tiketov a celkovo je ich 50, potom sú šance na získanie ceny 10/50=0,2, teda 20 proti 100. Čo však v prípade, ak existuje niekoľko podujatí a sú blízko súvisiace? V tomto prípade nás už nebude zaujímať jednoduchá, ale podmienená pravdepodobnosť. Čo je táto hodnota a ako ju možno vypočítať – o tom bude pojednávať v našom článku.
Koncept
Podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť výskytu konkrétnej udalosti za predpokladu, že sa už stala iná súvisiaca udalosť. Zvážte jednoduchý príklad shádzať si mincou. Ak ešte nedošlo k remíze, potom budú šance na získanie hlavy alebo chvosta rovnaké. Ale ak by minca päťkrát za sebou ležala s erbom hore, potom súhlaste s tým, že očakávate 6., 7. a ešte viac 10. opakovanie takéhoto výsledku by bolo nelogické. S každým opakovaným smerovaním rastie šanca, že sa chvosty objavia a skôr či neskôr vypadnú.
Vzorec podmienenej pravdepodobnosti
Poďme teraz zistiť, ako sa táto hodnota vypočíta. Označme prvú udalosť ako B a druhú ako A. Ak sa pravdepodobnosť výskytu B líši od nuly, potom bude platiť nasledujúca rovnosť:
P (A|B)=P (AB) / P (B), kde:
- P (A|B) – podmienená pravdepodobnosť výsledku A;
- P (AB) - pravdepodobnosť spoločného výskytu udalostí A a B;
- P (B) – pravdepodobnosť udalosti B.
Jemnou transformáciou tohto pomeru dostaneme P (AB)=P (A|B)P (B). A ak použijeme metódu indukcie, potom môžeme odvodiť vzorec produktu a použiť ho pre ľubovoľný počet udalostí:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Cvičenie
Aby sme ľahšie pochopili, ako sa počíta podmienená pravdepodobnosť udalosti, pozrime sa na niekoľko príkladov. Predpokladajme, že existuje váza s 8 čokoládami a 7 mincovňami. Sú rovnako veľké a náhodné.dva z nich sú vytiahnuté za sebou. Aká je šanca, že obaja budú čokoládoví? Predstavme si notáciu. Nech výsledok A znamená, že prvý cukrík je čokoláda, výsledok B je druhý čokoládový cukrík. Potom získate nasledovné:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7/14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Uvažujme ešte o jednom prípade. Predpokladajme, že existuje rodina dvoch detí a vieme, že aspoň jedno dieťa je dievča.
Aká je podmienená pravdepodobnosť, že títo rodičia ešte nemajú chlapcov? Rovnako ako v predchádzajúcom prípade začneme notovým zápisom. Nech P(B) je pravdepodobnosť, že v rodine je aspoň jedno dievča, P(A|B) je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa je dievča, P(AB) je pravdepodobnosť, že v rodine sú dve dievčatá. rodina. Teraz urobme výpočty. Celkovo môžu byť 4 rôzne kombinácie pohlavia detí a v tomto prípade iba v jednom prípade (keď sú v rodine dvaja chlapci) nebude medzi deťmi žiadne dievča. Preto pravdepodobnosť P (B)=3/4 a P (AB)=1/4. Potom podľa nášho vzorca dostaneme:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Výsledok možno interpretovať takto: ak by sme nepoznali pohlavie jedného z detí, šanca dvoch dievčat by bola 25 proti 100. Keďže však vieme, že jedno dieťa je dievča, pravdepodobnosť, že rodina chlapcov nie, sa zvýši na jednu tretinu.
