Ako sa odvodzuje kosínusový derivát

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Derivácia kosínusu sa nachádza analogicky s deriváciou sínusu, základom dôkazu je definícia limity funkcie. Môžete použiť inú metódu pomocou vzorcov goniometrickej redukcie pre kosínus a sínus uhlov. Vyjadrite jednu funkciu v pojmoch druhej – kosínus v pojmoch sínus a sínus odlíšte zložitým argumentom.

Zvážte prvý príklad odvodenia vzorca (Cos(x))'

Pridajte zanedbateľne malý prírastok Δx argumentu x funkcie y=Cos(x). S novou hodnotou argumentu х+Δх získame novú hodnotu funkcie Cos(х+Δх). Potom sa prírastok funkcie Δy bude rovnať Cos(х+Δx)-Cos(x).

Pomer prírastku funkcie k Δх bude: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Vykonajte identické transformácie v čitateli výsledného zlomku. Pripomeňme si vzorec pre rozdiel v kosínusoch uhlov, výsledkom bude súčin -2Sin (Δx / 2) krát Sin (x + Δx / 2). Nájdeme limit kvocientu lim tohto produktu na Δx, pretože Δx má tendenciu k nule. Je známe, že prvý(nazýva sa to úžasné) limit lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) sa rovná 1 a limit -Sin(x+Δx/2) sa rovná -Sin(x) ako Δx má tendenciu k nule. Zapíšte výsledok: derivácia (Cos(x))' sa rovná - Sin(x).

Niektorí ľudia uprednostňujú druhý spôsob odvodenia rovnakého vzorca

Z priebehu trigonometrie je známe: Cos(x) sa rovná Sin(0, 5 ∏-x), podobne Sin(x) sa rovná Cos(0, 5 ∏-x). Potom derivujeme komplexnú funkciu - sínus prídavného uhla (namiesto kosínusu x).

Dostaneme súčin Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', pretože derivácia sínusu x sa rovná kosínusu X. Prejdeme k druhému vzorcu Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) nahradenia kosínusu sínusom, berúc do úvahy, že (0,5 ∏-x)'=-1. Teraz dostaneme -Sin(x). Takže sa nájde derivácia kosínusu, y'=-Sin(x) pre funkciu y=Cos(x).

Štvorcový kosínusový derivát

Bežne používaný príklad, kde sa používa kosínusový derivát. Funkcia y=Cos²(x) je ťažká. Najprv nájdeme diferenciál mocninnej funkcie s exponentom 2, bude 2·Cos(x), potom ho vynásobíme deriváciou (Cos(x))', ktorá sa rovná -Sin(x). Dostaneme y'=-2 Cos(x) Sin(x). Keď použijeme vzorec Sin(2x), sínus dvojitého uhla, dostaneme konečné zjednodušenéodpoveď y'=-Sin(2x)

Hyperbolické funkcie

Uplatňujú sa pri štúdiu mnohých technických disciplín: v matematike napríklad uľahčujú výpočet integrálov, riešenie diferenciálnych rovníc. Vyjadrujú sa pomocou goniometrických funkcií s imaginárnymiargument, takže hyperbolický kosínus ch(x)=Cos(i x), kde i je imaginárna jednotka, hyperbolický sínus sh(x)=Sin(i x).

Derivácia hyperbolického kosínusu sa vypočíta celkom jednoducho.

Zvážte funkciu y=(e^x+e^-x) /2, toto a je hyperbolický kosínus ch(x). Používame pravidlo na nájdenie derivácie súčtu dvoch výrazov, pravidlo na vyňatie konštantného činiteľa (Const) zo znamienka derivácie. Druhý člen 0,5 e^-x je komplexná funkcia (jej derivácia je -0,5 e^-x), 0,5 e^х – prvý termín. (ch(x)) „=((e^x+e^-x)/2)“možno napísať iným spôsobom: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, pretože derivát (e - x^{)' sa rovná -1-násobku e}-x^{. Výsledkom je rozdiel a toto je hyperbolický sínus sh(x).}Výstup: (ch(x))'=sh(x).

Pozrime sa na príklad, ako vypočítajte deriváciu funkcie y=ch(x

3^+1).Podľa pravidla hyperbolickej kosínusovej diferenciácie s komplexným argumentom y'=sh(x

3^{+1) (x} 3^{+1)', kde (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Odpoveď: derivácia tejto funkcie je 3 x

2^sh(x3^+1).

Tabuľkové derivácie uvažovaných funkcií y=ch(x) a y=Cos(x)

Pri riešení príkladov nie je potrebné ich zakaždým rozlišovať podľa navrhnutej schémy, stačí použiť inferenciu.

Príklad. Diferencujte funkciu y=Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Jednoduchý výpočet (použite tabuľkové údaje), y'=-Sin(x) +Sin (2 x) – 5 Sh (5 x).