V matematike je logaritmus inverznou hodnotou k exponenciálnej funkcii. To znamená, že logaritmus lg je mocnina, na ktorú sa číslo b musí zvýšiť, aby sa získalo x. V najjednoduchšom prípade berie do úvahy opakované násobenie rovnakej hodnoty.
Zvážte konkrétny príklad:
1000=10 × 10 × 10=103
V tomto prípade ide o základný desať logaritmus lg. Rovná sa trom.
lg101000=3
Vo všeobecnosti bude výraz vyzerať takto:
lgbx=a
Umocnenie umožňuje zvýšiť akékoľvek kladné reálne číslo na akúkoľvek reálnu hodnotu. Výsledok bude vždy väčší ako nula. Preto je logaritmus pre akékoľvek dve kladné reálne čísla b a x, kde b sa nerovná 1, vždy jedinečným reálnym číslom a. Okrem toho definuje vzťah medzi umocňovaním a logaritmom:
lgbx=a if ba=x.
História
História logaritmu (lg) má svoj pôvod v Európe v 17. storočí. Toto je otvorenie novej funkcierozšíril rozsah analýzy nad rámec algebraických metód. Metódu logaritmov verejne navrhol John Napier v roku 1614 v knihe s názvom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio („Popis pozoruhodných pravidiel logaritmov“). Pred vynálezom vedca existovali v podobných oblastiach aj iné metódy, ako napríklad použitie progresívnych tabuliek, ktoré vytvoril Jost Bürggi okolo roku 1600.
Desatinný logaritmus lg je logaritmus so základom desať. Prvýkrát boli skutočné logaritmy použité s heuristikou na prevod násobenia na sčítanie, čo uľahčilo rýchle výpočty. Niektoré z týchto metód používali tabuľky odvodené z trigonometrických identít.
Objav funkcie dnes známej ako logaritmus (lg) sa pripisuje Gregorymu de Saint Vincent, Belgičanovi žijúcemu v Prahe, ktorý sa pokúša kvadratúrovať pravouhlú hyperbolu.
Použiť
Logaritmy sa často používajú mimo matematiky. Niektoré z týchto prípadov súvisia s pojmom škálová invariantnosť. Napríklad každá komora lastúry nautila je približnou kópiou ďalšej, zmenšená alebo zväčšená o určitý počet krát. Toto sa nazýva logaritmická špirála.
Rozmery vlastnoručne vyrobených geometrií, ktorých časti vyzerajú podobne ako finálny produkt, sú tiež založené na logaritmoch. Logaritmické škály sú užitočné na kvantifikáciu relatívnej zmenyhodnoty. Navyše, keďže funkcia logbx rastie pri veľkom x veľmi pomaly, na kompresiu rozsiahlych vedeckých údajov sa používajú logaritmické škály. Logaritmy sa tiež objavujú v mnohých vedeckých vzorcoch, ako je Fenskeho rovnica alebo Nernstova rovnica.
Výpočet
Niektoré logaritmy sa dajú ľahko vypočítať, napríklad log101000=3. Vo všeobecnosti ich možno vypočítať pomocou mocninových radov alebo aritmeticko-geometrického priemeru, prípadne extrahovať z vopred vypočítané tabuľkové logaritmy, ktoré majú vysokú presnosť.
Newtonovu iteračnú metódu na riešenie rovníc možno použiť aj na nájdenie hodnoty logaritmu. Keďže inverzná funkcia pre logaritmickú funkciu je exponenciálna, proces výpočtu je značne zjednodušený.
