Matematická analýza je pre mnohých ľudí len súborom nepochopiteľných čísel, ikon a definícií, ktoré majú ďaleko od skutočného života. Svet, v ktorom existujeme, je však vybudovaný na číselných vzorcoch, ktorých identifikácia pomáha nielen spoznávať svet okolo nás a riešiť jeho zložité problémy, ale aj zjednodušovať každodenné praktické úlohy. Čo myslí matematik, keď povie, že postupnosť čísel konverguje? Toto by sa malo prediskutovať podrobnejšie.
Čo je nekonečne malé?
Predstavme si matriošky, ktoré pasujú jedna do druhej. Ich veľkosti, zapísané vo forme čísel, počnúc najväčším a končiac najmenším z nich, tvoria postupnosť. Ak si predstavíte nekonečné množstvo takýchto svetlých figúrok, výsledný rad bude fantasticky dlhý. Toto je konvergentná postupnosť čísel. A má tendenciu k nule, pretože veľkosť každej nasledujúcej hniezdnej bábiky, ktorá sa katastrofálne zmenšuje, sa postupne zmení na nič. Takže je to jednoduchémožno vysvetliť: čo je nekonečne malé.
Podobným príkladom by bola cesta vedúca do diaľky. A vizuálne rozmery auta, ktoré sa po ňom vzďaľuje od pozorovateľa, sa postupne zmenšuje, mení sa na beztvarú škvrnu pripomínajúcu bodku. Takto sa stroj, podobne ako objekt, ktorý sa vzďaľuje neznámym smerom, stáva nekonečne malým. Parametre špecifikovaného telesa nikdy nebudú nulové v doslovnom zmysle slova, ale v konečnom limite budú vždy smerovať k tejto hodnote. Preto táto postupnosť opäť konverguje k nule.
Vypočítajte všetko po kvapkách
Predstavme si teraz svetskú situáciu. Lekár predpísal pacientovi užívanie lieku, pričom sa začalo s desiatimi kvapkami denne a pridali sa dve každý ďalší deň. A tak lekár navrhol pokračovať, kým sa neminie obsah fľaštičky s liekom, ktorého objem je 190 kvapiek. Z vyššie uvedeného vyplýva, že počet takýchto, rozvrhnutých podľa dní, bude nasledujúci číselný rad: 10, 12, 14 atď.
Ako zistiť čas na absolvovanie celého kurzu a počet členov sekvencie? Tu sa samozrejme dajú počítať kvapky primitívnym spôsobom. Ale vzhľadom na vzorec je oveľa jednoduchšie použiť vzorec pre súčet aritmetickej postupnosti s krokom d=2. A pomocou tejto metódy zistiť, že počet členov číselného radu je 10. V tomto prípade, a10=28. Číslo penisu udáva počet dní užívania lieku a 28 zodpovedá počtu kvapiek, ktoré by mal pacient užívaťpoužite v posledný deň. Konverguje táto postupnosť? Nie, pretože napriek tomu, že je obmedzený na 10 zdola a 28 zhora, takýto číselný rad nemá na rozdiel od predchádzajúcich príkladov žiadne obmedzenie.
Aký je rozdiel?
Pokúsme sa teraz objasniť: kedy sa číselný rad ukáže ako konvergentná postupnosť. Takáto definícia, ako vyplýva z vyššie uvedeného, priamo súvisí s pojmom konečnej limity, ktorej prítomnosť odhaľuje podstatu problému. Aký je teda zásadný rozdiel medzi vyššie uvedenými príkladmi? A prečo v poslednom z nich nemožno číslo 28 považovať za hranicu číselného radu X =10 + 2(n-1)?
Na objasnenie tejto otázky zvážte inú postupnosť danú vzorcom nižšie, kde n patrí do množiny prirodzených čísel.
Táto komunita členov je súborom spoločných zlomkov, ktorých čitateľ je 1 a menovateľ sa neustále zvyšuje: 1, ½ …
Navyše, každý nasledujúci zástupca tohto radu sa z hľadiska umiestnenia na číselnej osi čoraz viac približuje k 0. To znamená, že sa objaví také okolie, kde sa body zhlukujú okolo nuly, čo je limit. A čím sú k nej bližšie, tým je ich koncentrácia na číselnej osi hustejšia. A vzdialenosť medzi nimi sa katastrofálne zmenšila a zmenila sa na nekonečne malú. Toto je znak toho, že postupnosť sa zbližuje.
PodobnéViacfarebné obdĺžniky znázornené na obrázku sú teda pri vzďaľovaní sa v priestore vizuálne preplnené, v hypotetickom limite sa menia na zanedbateľné.
Nekonečne veľké sekvencie
Po analýze definície konvergentnej postupnosti prejdime k protipríkladom. Mnohé z nich boli človeku známe už od staroveku. Najjednoduchšie varianty divergentných postupností sú rad prirodzených a párnych čísel. Iným spôsobom sa nazývajú nekonečne veľké, pretože ich členovia, ktorí sa neustále zväčšujú, sa čoraz viac približujú k kladnému nekonečnu.
Príkladom takého môže byť ktorákoľvek aritmetická a geometrická postupnosť s krokom a menovateľom väčším ako nula. Číselné rady sa navyše považujú za divergentné postupnosti, ktoré vôbec nemajú limit. Napríklad X =(-2) -1.
Fibonacciho sekvencia
Praktické výhody vyššie uvedeného číselného radu pre ľudstvo sú nepopierateľné. Ale existuje nespočetné množstvo ďalších skvelých príkladov. Jednou z nich je Fibonacciho postupnosť. Každý z jej členov, ktorý začína jednotkou, je súčtom predchádzajúcich. Jeho prví dvaja zástupcovia sú 1 a 1. Tretí 1+1=2, štvrtý 1+2=3, piaty 2+3=5. Ďalej, podľa rovnakej logiky, nasledujú čísla 8, 13, 21 a tak ďalej.
Táto séria čísel sa neobmedzene zvyšuje a nemá žiadnekonečný limit. Má však ešte jednu úžasnú vlastnosť. Pomer každého predchádzajúceho čísla k nasledujúcemu sa svojou hodnotou stále viac a viac približuje k 0,618. Tu môžete pochopiť rozdiel medzi konvergentnou a divergentnou postupnosťou, pretože ak urobíte sériu prijatých čiastočných delení, označený číselný systém bude mať konečný limit rovný 0,618.
Sekvencia Fibonacciho pomerov
Vyššie uvedené číselné rady sa široko používajú na praktické účely pri technickej analýze trhov. To sa však neobmedzuje len na jeho schopnosti, ktoré Egypťania a Gréci poznali a dokázali v staroveku uviesť do praxe. Dokazujú to nimi postavené pyramídy a Parthenon. Veď číslo 0,618 je konštantný koeficient zlatého rezu, dobre známy za starých čias. Podľa tohto pravidla možno ľubovoľný segment rozdeliť tak, že pomer medzi jeho časťami sa zhoduje s pomerom medzi najväčším zo segmentov a celkovou dĺžkou.
Postavme sériu naznačených vzťahov a skúsme túto postupnosť analyzovať. Číselný rad bude nasledovný: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 a tak ďalej. Ak budeme takto pokračovať, môžeme sa uistiť, že limita konvergentnej postupnosti bude skutočne 0,618. Je potrebné si však všimnúť aj ďalšie vlastnosti tejto zákonitosti. Zdá sa, že čísla idú náhodne a vôbec nie vo vzostupnom alebo zostupnom poradí. To znamená, že táto konvergentná postupnosť nie je monotónna. Prečo je to tak, bude diskutované ďalej.
Monotónnosť a obmedzenia
Členovia číselného radu sa môžu s rastúcim počtom zreteľne znižovať (ak x1>x2>x3>…>x >…) alebo zvýšenie (ak x1<x216323<…<x <…). V tomto prípade sa hovorí, že sekvencia je prísne monotónna. Možno pozorovať aj iné vzorce, kde číselný rad bude neklesajúci a nerastúci (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… alebo x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), potom je postupne konvergentná tiež monotónna, len nie v prísnom zmysle slova. Dobrým príkladom prvej z týchto možností je číselný rad daný nasledujúcim vzorcom.
Po vykreslení čísel tejto série môžete vidieť, že žiadny z jej členov, ktorý sa neobmedzene blíži k 1, túto hodnotu nikdy neprekročí. V tomto prípade sa konvergentná postupnosť považuje za ohraničenú. Stáva sa to vždy, keď existuje kladné číslo M, ktoré je vždy väčšie ako ktorýkoľvek člen série modulo. Ak má číselný rad znaky monotónnosti a má limitu, a teda konverguje, potom je nevyhnutne obdarený takouto vlastnosťou. A opak nemusí byť pravdou. Dokazuje to teorém o ohraničenosti pre konvergentnú postupnosť.
Aplikácia takýchto pozorovaní v praxi je veľmi užitočná. Uveďme konkrétny príklad skúmaním vlastností postupnosti X =n/n+1 a dokážte jeho konvergenciu. Je ľahké ukázať, že je monotónna, pretože (x +1 – x) je kladné číslo pre ľubovoľné hodnoty n. Limita postupnosti sa rovná číslu 1, čo znamená, že sú splnené všetky podmienky vyššie uvedenej vety, nazývanej aj Weierstrassova veta. Veta o ohraničenosti konvergentnej postupnosti hovorí, že ak má limitu, potom sa v každom prípade ukáže ako ohraničená. Vezmime si však nasledujúci príklad. Číselný rad X =(-1) je zdola ohraničený -1 a zhora 1. Táto postupnosť však nie je monotónna, nemá limit, a preto nekonverguje. To znamená, že existencia limity a konvergencie nie vždy vyplývajú z obmedzenia. Aby to fungovalo, dolná a horná hranica sa musia zhodovať, ako v prípade Fibonacciho pomerov.
Čísla a zákony vesmíru
Najjednoduchšie varianty konvergentnej a divergentnej postupnosti sú azda číselné rady X =n a X =1/n. Prvým z nich je prirodzený rad čísel. Je, ako už bolo spomenuté, nekonečne veľký. Druhá konvergentná postupnosť je ohraničená a jej členy sú svojou veľkosťou blízke nekonečne malým. Každý z týchto vzorcov zosobňuje jednu zo strán mnohostranného Vesmíru a pomáha človeku predstaviť si a vypočítať niečo nepoznateľné, neprístupné obmedzenému vnímaniu v reči čísel a znakov.
Zákony vesmíru, od zanedbateľných až po neuveriteľne veľké, vyjadrujú aj zlatý rez 0,618. Vedciveria, že je základom podstaty vecí a príroda ho využíva na utváranie jej častí. Vzťahy medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi členmi Fibonacciho série, ktoré sme už spomínali, nedokončujú ukážku úžasných vlastností tejto unikátnej série. Ak vezmeme do úvahy podiel delenia predchádzajúceho člena nasledujúcim jedným až jedným, dostaneme rad 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 a tak ďalej. Je zaujímavé, že táto obmedzená postupnosť konverguje, nie je monotónna, ale pomer susedných extrémov od určitého člena je vždy približne rovný 0,382, čo sa dá využiť aj v architektúre, technickej analýze a iných odvetviach.
Existujú ďalšie zaujímavé koeficienty Fibonacciho série, všetky zohrávajú v prírode osobitnú úlohu a človek ich používa aj na praktické účely. Matematici sú si istí, že vesmír sa vyvíja podľa určitej "zlatej špirály", vytvorenej z uvedených koeficientov. S ich pomocou je možné vypočítať mnohé javy vyskytujúce sa na Zemi a vo vesmíre, od rastu počtu určitých baktérií až po pohyb vzdialených komét. Ako sa ukázalo, kód DNA sa riadi podobnými zákonmi.
Pokles geometrickej progresie
Existuje veta, ktorá tvrdí jedinečnosť limity konvergentnej postupnosti. To znamená, že nemôže mať dve alebo viac limitov, čo je nepochybne dôležité pre nájdenie jeho matematických charakteristík.
Pozrime sa na niektoréprípady. Akýkoľvek číselný rad zložený z členov aritmetickej progresie je divergentný, s výnimkou prípadu s nulovým krokom. To isté platí pre geometrickú postupnosť, ktorej menovateľ je väčší ako 1. Limity takéhoto číselného radu sú „plus“alebo „mínus“nekonečna. Ak je menovateľ menší ako -1, potom neexistuje žiadny limit. Ďalšie možnosti sú možné.
Zvážte číselný rad daný vzorcom X =(1/4) -1. Na prvý pohľad je ľahké vidieť, že táto konvergentná postupnosť je ohraničená, pretože je striktne klesajúca av žiadnom prípade nemôže nadobúdať záporné hodnoty.
Napíšme počet jej členov za sebou.
Vyjde to: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 a tak ďalej. Celkom jednoduché výpočty stačia na to, aby sme pochopili, ako rýchlo tento geometrický postup klesá od menovateľov 0<q<1. Kým menovateľ pojmov narastá donekonečna, samy sa stávajú nekonečne malými. To znamená, že limit číselného radu je 0. Tento príklad opäť demonštruje obmedzený charakter konvergentnej postupnosti.
Základné sekvencie
Augustin Louis Cauchy, francúzsky vedec, odhalil svetu mnohé práce súvisiace s matematickou analýzou. Definoval také pojmy ako diferenciál, integrál, limita a spojitosť. Študoval aj základné vlastnosti konvergentných postupností. Aby sme pochopili podstatu jeho myšlienok,je potrebné zhrnúť niektoré dôležité detaily.
Na samom začiatku článku bolo ukázané, že existujú také sekvencie, pre ktoré existuje okolie, kde sa body reprezentujúce členy určitého radu na skutočnej čiare začínajú zhlukovať a zoraďujú sa viac a viac husto. Zároveň sa vzdialenosť medzi nimi zmenšuje so zvyšujúcim sa počtom ďalšieho zástupcu, ktorý sa mení na nekonečne malý. Ukazuje sa teda, že v danom okolí je zoskupených nekonečne veľa zástupcov daného radu, pričom mimo neho je ich konečný počet. Takéto sekvencie sa nazývajú základné.
Slávne Cauchyho kritérium, ktoré vytvoril francúzsky matematik, jasne naznačuje, že prítomnosť takejto vlastnosti je dostatočná na to, aby dokázala, že postupnosť konverguje. Platí to aj naopak.
Treba poznamenať, že tento záver francúzskeho matematika je väčšinou čisto teoretický. Jeho aplikácia v praxi sa považuje za pomerne komplikovanú záležitosť, preto je pre objasnenie konvergencie radov oveľa dôležitejšie dokázať existenciu konečnej limity postupnosti. V opačnom prípade sa to považuje za divergentné.
Pri riešení úloh treba brať do úvahy aj základné vlastnosti konvergentných postupností. Sú zobrazené nižšie.
Nekonečné sumy
Takíto slávni vedci staroveku ako Archimedes, Euclid, Eudoxus používali súčty nekonečných číselných radov na výpočet dĺžok kriviek, objemov teliesa oblasti postáv. Najmä týmto spôsobom bolo možné zistiť oblasť parabolického segmentu. Na to bol použitý súčet číselného radu geometrickej progresie s q=1/4. Objemy a plochy iných ľubovoľných obrazcov boli zistené podobným spôsobom. Táto možnosť sa nazývala metóda „vyčerpania“. Myšlienkou bolo, že študované telo zložitého tvaru bolo rozbité na časti, ktoré boli obrazcami s ľahko merateľnými parametrami. Z tohto dôvodu nebolo ťažké vypočítať ich plochy a objemy a potom sa sčítali.
Mimochodom, podobné úlohy sú moderným školákom veľmi známe a nachádzajú sa v úlohách USE. Jedinečná metóda, ktorú našli vzdialení predkovia, je zďaleka najjednoduchším riešením. Aj keď existujú iba dve alebo tri časti, na ktoré je číselný údaj rozdelený, súčet ich plôch je stále súčtom číselného radu.
Oveľa neskôr ako starogrécki vedci Leibniz a Newton na základe skúseností svojich múdrych predchodcov naučili vzorce integrálneho výpočtu. Znalosť vlastností postupností im pomohla riešiť diferenciálne a algebraické rovnice. V súčasnosti teória sérií, vytvorená úsilím mnohých generácií talentovaných vedcov, dáva šancu vyriešiť obrovské množstvo matematických a praktických problémov. A štúdium numerických postupností bolo hlavným problémom, ktorý matematická analýza riešila od jej počiatkov.
