Po prečítaní materiálu čitateľ pochopí, že planimetria nie je vôbec náročná. Článok poskytuje najdôležitejšie teoretické informácie a vzorce potrebné na riešenie konkrétnych problémov. Dôležité údaje a vlastnosti obrázkov sú umiestnené na poličkách.
Definícia a dôležité fakty
Planimetria je oblasť geometrie, ktorá zvažuje objekty na rovnom dvojrozmernom povrchu. Možno identifikovať niekoľko vhodných príkladov: štvorec, kruh, kosoštvorec.
Okrem iného stojí za to zdôrazniť bod a čiaru. Sú to dva základné koncepty planimetrie.
Všetko ostatné je už na nich postavené, napríklad:
- Segment je časť priamky ohraničenej dvoma bodmi.
- Lúč je objekt podobný segmentu, má však okraj len na jednej strane.
- Uhol, ktorý pozostáva z dvoch lúčov vychádzajúcich z toho istého bodu.
Axiómy a vety
Pozrime sa bližšie na axiómy. V planimetrii sú to najdôležitejšie pravidlá, podľa ktorých funguje celá veda. Áno, a nielen v ňom. Autor:podľa definície ide o vyhlásenia, ktoré nevyžadujú dôkaz.
Axiómy, o ktorých sa bude diskutovať nižšie, sú súčasťou takzvanej euklidovskej geometrie.
- Sú tam dve bodky. Vždy sa cez ne dá nakresliť jedna čiara.
- Ak čiara existuje, potom sú body, ktoré na nej ležia, a body, ktoré na nej neležia.
Tieto 2 vyhlásenia sa nazývajú axiómy členstva a nasledujúce sú v poradí:
- Ak sú na priamke tri body, jeden z nich musí byť medzi ostatnými dvoma.
- Rovina je rozdelená ľubovoľnou priamkou na dve časti. Keď konce segmentu ležia na jednej polovici, potom k nemu patrí celý objekt. V opačnom prípade má pôvodná čiara a segment priesečník.
Axiómy opatrení:
- Každý segment má nenulovú dĺžku. Ak ho bod rozdelí na niekoľko častí, ich súčet sa bude rovnať celej dĺžke objektu.
- Každý uhol má určitý stupeň, ktorý sa nerovná nule. Ak ho rozdelíte lúčom, počiatočný uhol sa bude rovnať súčtu vytvorených.
Paralelný:
Na rovine je rovná čiara. Cez ktorýkoľvek bod, ktorý do neho nepatrí, možno nakresliť iba jednu priamku rovnobežnú s daným bodom
Vety v planimetrii už nie sú celkom zásadné tvrdenia. Zvyčajne sú akceptované ako fakt, ale každý z nich má dôkaz postavený na základných pojmoch uvedených vyššie. Okrem toho je ich veľa. Bude dosť ťažké všetko rozobrať, no prezentovaný materiál nejaké bude obsahovaťz nich.
Nasledujúce dve sa oplatí vyskúšať skôr:
- Súčet susedných uhlov je 180 stupňov.
- Vertikálne uhly majú rovnakú hodnotu.
Tieto dve vety môžu byť užitočné pri riešení geometrických problémov súvisiacich s n-uholníkmi. Sú celkom jednoduché a intuitívne. Stojí za to si ich zapamätať.
Trojuholníky
Trojuholník je geometrický útvar pozostávajúci z troch za sebou spojených segmentov. Sú klasifikované podľa niekoľkých kritérií.
Po stranách (pomery vyplývajú z názvov):
- Rovnostranné.
- Rovnostranné – dve strany a protiľahlé uhly sú rovnaké.
- Versatile.
V rohoch:
- acute-angled;
- rectangular;
- tupé.
Dva rohy budú vždy ostré bez ohľadu na situáciu a tretí je určený prvou časťou slova. To znamená, že pravouhlý trojuholník má jeden z uhlov rovný 90 stupňom.
Vlastnosti:
- Čím väčší je uhol, tým väčšia je opačná strana.
- Súčet všetkých uhlov je 180 stupňov.
- Plochu je možné vypočítať pomocou vzorca: S=½ ⋅ h ⋅ a, kde a je strana, h je výška k nej prikreslená.
- Vždy môžete vpísať kruh do trojuholníka alebo ho opísať okolo neho.
Jedným zo základných vzorcov planimetrie je Pytagorova veta. Funguje výlučne pre pravouhlý trojuholník a znie takto: štvorecprepona sa rovná súčtu štvorcov nôh: AB2 =AC2 + BC2.
Prepona je strana opačná k uhlu 90° a nohy sú priľahlou stranou.
Quadagons
Na túto tému je veľa informácií. Nižšie sú uvedené len tie najdôležitejšie.
Niektoré odrody:
- Paralelogram - opačné strany sú rovnaké a rovnobežné v pároch.
- Rombius je rovnobežník, ktorého strany majú rovnakú dĺžku.
- Obdĺžnik – rovnobežník so štyrmi pravými uhlami
- Štvorec je kosoštvorec aj obdĺžnik.
- Lichobežník – iba dve protiľahlé strany sú rovnobežné.
Vlastnosti:
- Súčet vnútorných uhlov je 360 stupňov.
- Plochu je možné vždy vypočítať pomocou vzorca: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kde p je polovica obvodu, a, b, c, d sú strany postava.
- Ak sa dá kruh opísať okolo štvoruholníka, potom ho nazývam konvexný, ak nie - nekonvexný.
