Trojuholník je jeden z najbežnejších geometrických tvarov, ktorý poznáme už na základnej škole. Otázku, ako nájsť oblasť trojuholníka, rieši každý študent na hodinách geometrie. Aké sú teda znaky nájdenia oblasti daného čísla, ktoré možno rozlíšiť? V tomto článku zvážime základné vzorce potrebné na dokončenie takejto úlohy, ako aj analýzu typov trojuholníkov.
Typy trojuholníkov
Obsah trojuholníka môžete nájsť úplne odlišnými spôsobmi, pretože v geometrii existuje viac ako jeden typ postavy obsahujúcej tri uhly. Tieto druhy zahŕňajú:
- Akútny trojuholník.
- Uhlové.
- Rovnostranné (správne).
- Pravý trojuholník.
- Rovnoramenné.
Pozrime sa bližšie na každý z existujúcich typov trojuholníkov.
Akútnetrojuholník
Takýto geometrický útvar sa považuje za najbežnejší pri riešení geometrických problémov. Keď bude potrebné nakresliť ľubovoľný trojuholník, táto možnosť prichádza na pomoc.
V ostrom trojuholníku, ako už názov napovedá, sú všetky uhly ostré a ich súčet je 180°.
Uhlový trojuholník
Tento trojuholník je tiež veľmi bežný, ale je o niečo menej bežný ako trojuholník s ostrým uhlom. Napríklad pri riešení trojuholníkov (to znamená, že poznáte niekoľko jeho strán a uhlov a potrebujete nájsť zvyšné prvky), niekedy potrebujete určiť, či je uhol tupý alebo nie. Kosínus tupého uhla je záporné číslo.
V tupom trojuholníku hodnota jedného z uhlov presahuje 90°, takže zvyšné dva uhly môžu nadobúdať malé hodnoty (napríklad 15° alebo dokonca 3°).
Ak chcete nájsť oblasť trojuholníka tohto typu, musíte poznať niektoré nuansy, o ktorých si povieme neskôr.
Pravidelné a rovnoramenné trojuholníky
Pravidelný mnohouholník je útvar, ktorý obsahuje n uhlov a všetky strany a uhly sú rovnaké. Toto je pravý trojuholník. Keďže súčet všetkých uhlov trojuholníka je 180°, každý z týchto troch uhlov je 60°.
Pravidelný trojuholník sa vďaka svojej vlastnosti nazýva aj rovnostranný útvar.
Za zmienku tiež stojí, že vpravidelný trojuholník môže byť vpísaný iba jednou kružnicou a len jedna kružnica môže byť opísaná okolo neho a ich stredy sú umiestnené v jednom bode.
Okrem rovnostranného typu je možné zvoliť aj rovnoramenný trojuholník, ktorý sa od neho mierne líši. V takomto trojuholníku sú dve strany a dva uhly rovnaké a tretia strana (ku ktorej priliehajú rovnaké uhly) je základňou.
Na obrázku je rovnoramenný trojuholník DEF, ktorého uhly D a F sú rovnaké a DF je základňa.
Pravý trojuholník
Pravouhlý trojuholník sa nazýva tak, pretože jeden z jeho uhlov je pravý uhol, teda rovný 90°. Ostatné dva uhly súčet tvoria 90°.
Najväčšia strana takéhoto trojuholníka, ležiaca oproti uhlu 90°, je prepona, zatiaľ čo ďalšie dve jeho strany sú nohy. Pre tento typ trojuholníkov platí Pytagorova veta:
Súčet druhých mocnín dĺžok nôh sa rovná druhej mocnine dĺžky prepony.
Na obrázku je znázornený pravouhlý trojuholník BAC s preponou AC a nohami AB a BC.
Ak chcete nájsť oblasť trojuholníka s pravým uhlom, musíte poznať číselné hodnoty jeho nôh.
Prejdime k vzorcom na nájdenie plochy tohto obrázku.
Vzorce základnej oblasti
V geometrii existujú dva vzorce, ktoré sú vhodné na nájdenie plochy väčšiny typov trojuholníkov, a to pre ostrý, tupouhlový, pravidelný arovnoramenné trojuholníky. Poďme analyzovať každú z nich.
Na stranu a výšku
Tento vzorec je univerzálny na nájdenie oblasti postavy, ktorú zvažujeme. Na to stačí poznať dĺžku strany a dĺžku výšky, ktorá je k nej nakreslená. Samotný vzorec (polovica súčinu základne a výšky) vyzerá takto:
S=½AH, kde A je strana daného trojuholníka a H je výška trojuholníka.
Napríklad, aby ste našli obsah trojuholníka ACB s ostrým uhlom, musíte vynásobiť jeho stranu AB výškou CD a výslednú hodnotu vydeliť dvomi.
Nie je však vždy ľahké nájsť oblasť trojuholníka týmto spôsobom. Napríklad, ak chcete použiť tento vzorec pre tupouhlý trojuholník, musíte pokračovať v jednej z jeho strán a až potom k nej nakresliť výšku.
V praxi sa tento vzorec používa častejšie ako iné.
Na dve strany a jeden roh
Tento vzorec, rovnako ako predchádzajúci, je vhodný pre väčšinu trojuholníkov a vo svojom význame je dôsledkom vzorca na nájdenie obsahu strany a výšky trojuholníka. To znamená, že zvažovaný vzorec možno ľahko odvodiť z predchádzajúceho. Jej znenie vyzerá takto:
S=½sinOAB, kde A a B sú strany trojuholníka a O je uhol medzi stranami A a B.
Pripomeňme, že sínus uhla možno zobraziť v špeciálnej tabuľke pomenovanej po vynikajúcom sovietskom matematikovi V. M. Bradisovi.
A teraz prejdime k ďalším vzorcom,vhodné len pre výnimočné typy trojuholníkov.
Oblasť pravouhlého trojuholníka
Okrem univerzálneho vzorca, ktorý zahŕňa potrebu nakresliť výšku v trojuholníku, možno oblasť trojuholníka obsahujúceho pravý uhol nájsť pomocou nôh.
Plocha trojuholníka obsahujúceho pravý uhol je teda polovicou súčinu jeho nôh, alebo:
S=½ab, kde aab sú nohy pravouhlého trojuholníka.
Pravidelný trojuholník
Tento typ geometrických útvarov sa líši tým, že jeho obsah možno nájsť so zadanou hodnotou iba jednej z jeho strán (keďže všetky strany pravidelného trojuholníka sú rovnaké). Keď sa teda stretnete s úlohou „nájsť oblasť trojuholníka, keď sú strany rovnaké“, musíte použiť nasledujúci vzorec:
S=A2√3 / 4, kde A je strana rovnostranného trojuholníka.
Heronov vzorec
Poslednou možnosťou ako nájsť obsah trojuholníka je Heronov vzorec. Aby ste ho mohli použiť, potrebujete poznať dĺžky troch strán postavy. Heronov vzorec vyzerá takto:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), kde a, b a c sú strany tohto trojuholníka.
Niekedy zadaná úloha: "oblasť pravidelného trojuholníka - nájdite dĺžku jeho strany." V tomto prípade musíte použiť už známy vzorec na nájdenie obsahu pravidelného trojuholníka a odvodiť z neho hodnotu strany (alebo jeho štvorca):
A2=4S / √3.
Problémy so skúškou
V úlohách GIAV matematike existuje veľa vzorcov. Okrem toho je často potrebné nájsť oblasť trojuholníka na kockovanom papieri.
V tomto prípade je najvhodnejšie nakresliť výšku na jednu zo strán postavy, určiť jej dĺžku po bunkách a použiť univerzálny vzorec na zistenie plochy:
S=½AH.
Takže po preštudovaní vzorcov uvedených v článku nebudete mať problémy nájsť oblasť trojuholníka akéhokoľvek druhu.
