Trojuholník je najjednoduchší útvar uzavretý v rovine, ktorý pozostáva iba z troch vzájomne prepojených segmentov. Pri problémoch s geometriou je často potrebné určiť oblasť tohto obrázku. Čo k tomu potrebujete vedieť? V článku odpovieme na otázku, ako nájsť obsah trojuholníka na troch stranách.
Všeobecný vzorec
Každý študent vie, že obsah trojuholníka sa vypočíta ako súčin dĺžky ktorejkoľvek z jeho strán - a polovičnej výšky - h, zníženej na zvolenú stranu. Nižšie je uvedený zodpovedajúci vzorec: S=ah/2.
Tento výraz možno použiť, ak sú známe aspoň dve strany a hodnota uhla medzi nimi. V tomto prípade sa výška h dá ľahko vypočítať pomocou goniometrických funkcií, ako je sínus. Ale nie každý vie, ako nájsť oblasť na troch stranách trojuholníka.
Heronov vzorec
Tento vzorec je odpoveďou na otázku akotri strany nájdu oblasť trojuholníka. Predtým, ako si to zapíšeme, označme dĺžky úsečiek ľubovoľného útvaru ako a, b a c. Heronov vzorec je napísaný takto: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Kde p je polovica obvodu obrázku, t.j.: p=(a+b+c)/2.
Napriek zjavnej ťažkopádnosti je vyššie uvedený výraz pre oblasť S ľahko zapamätateľný. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr vypočítať polobvod trojuholníka, potom od neho odpočítať jednu dĺžku strany obrázku, vynásobiť všetky získané rozdiely a samotný polobvod. Nakoniec vezmite druhú odmocninu súčinu.
Tento vzorec je pomenovaný po Heronovi Alexandrijskom, ktorý žil na začiatku nášho letopočtu. Moderná história verí, že to bol tento filozof, ktorý prvýkrát použil tento výraz na vykonanie zodpovedajúcich výpočtov. Tento vzorec je uverejnený v jeho Metrici, ktorý sa datuje do roku 60 nášho letopočtu. Všimnite si, že niektoré diela Archimeda, ktorý žil o dve storočia skôr ako Heron, obsahujú znaky, že grécky filozof už tento vzorec poznal. Okrem toho starí Číňania tiež vedeli, ako nájsť oblasť trojuholníka, pričom poznali tri strany.
Je dôležité poznamenať, že problém možno vyriešiť bez znalosti existencie Heronovho vzorca. Ak to chcete urobiť, nakreslite do trojuholníka niekoľko výšok a použite všeobecný vzorec z predchádzajúceho odseku, čím zostavíte príslušný systém rovníc.
Heronov výraz možno použiť na výpočet plôch ľubovoľných polygónov po ich rozdelení natrojuholníky a výpočet dĺžok výsledných uhlopriečok.
Príklad riešenia problému
Vedieť, ako nájsť oblasť trojuholníka na troch stranách, upevnime svoje znalosti vyriešením nasledujúceho problému. Nech strany obrázku sú 5 cm, 4 cm a 3 cm. Nájdite oblasť.
Tri strany trojuholníka sú známe, takže môžete použiť Heronov vzorec. Vypočítame polobvod a potrebné rozdiely, máme:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Potom dostaneme plochu: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trojuholník uvedený v podmienke úlohy je pravouhlý, čo sa dá ľahko skontrolovať, ak použijete Pytagorovu vetu. Keďže plocha takého trojuholníka je polovicou súčinu nôh, dostaneme: S=43/2=6 cm2.
Výsledná hodnota je rovnaká ako pre Heronov vzorec, čo potvrdzuje jeho platnosť.
