Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami (tromi rohmi). Najčastejšie sa strany označujú malými písmenami, ktoré zodpovedajú veľkým písmenám, ktoré označujú protiľahlé vrcholy. V tomto článku sa zoznámime s typmi týchto geometrických útvarov, vetou, ktorá určuje, aký je súčet uhlov trojuholníka.
Zobrazenia podľa uhlov
Rozlišujú sa nasledujúce typy polygónov s tromi vrcholmi:
- akútne uhlové, v ktorom sú všetky rohy ostré;
- obdĺžnikový, ktorý má jeden pravý uhol, pričom strany, ktoré ho tvoria, sa nazývajú nohy a strana, ktorá je umiestnená oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona;
- tupý, keď je jeden roh tupý;
- rovnomerný, v ktorom sú dve strany rovnaké a nazývajú sa bočné a tretia je základňa trojuholníka;
- rovnostranný so všetkými tromi rovnakými stranami.
Vlastnosti
Zdôrazňujú hlavné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre každý typ trojuholníka:
- oproti väčšej strane je vždy väčší uhol a naopak;
- protiľahlé strany rovnakej veľkosti majú rovnaké uhly a naopak;
- akýkoľvek trojuholník má dva ostré uhly;
- vonkajší roh je väčší ako ktorýkoľvek vnútorný roh, ktorý s ním nesusedí;
- súčet akýchkoľvek dvoch uhlov je vždy menší ako 180 stupňov;
- vonkajší roh sa rovná súčtu ostatných dvoch rohov, ktoré sa s ním nepretínajú.
Veta o súčte uhlov
Veta hovorí, že ak spočítate všetky uhly daného geometrického útvaru, ktorý sa nachádza v euklidovskej rovine, ich súčet bude 180 stupňov. Pokúsme sa dokázať túto vetu.
Urobme si ľubovoľný trojuholník s vrcholmi KMN.
Cez vrchol M nakreslite priamku rovnobežnú s priamkou KN (táto priamka sa nazýva aj euklidovská priamka). Bod A na ňom označíme tak, že body K a A ležia na rôznych stranách priamky MN. Získame rovnaké uhly AMN a KNM, ktoré rovnako ako vnútorné ležia priečne a sú tvorené sečnicou MN spolu s priamkami KN a MA, ktoré sú rovnobežné. Z toho vyplýva, že súčet uhlov trojuholníka nachádzajúcich sa vo vrcholoch M a H sa rovná veľkosti uhla KMA. Všetky tri uhly tvoria súčet, ktorý sa rovná súčtu uhlov KMA a MKN. Pretože tieto uhly sú vnútorné jednostranné vzhľadom narovnobežné priamky KN a MA so sečnou KM, ich súčet je 180 stupňov. Veta dokázaná.
Dôsledok
Z vyššie dokázanej vety vyplýva nasledujúci dôsledok: každý trojuholník má dva ostré uhly. Aby sme to dokázali, predpokladajme, že daný geometrický útvar má iba jeden ostrý uhol. Dá sa tiež predpokladať, že žiadny z uhlov nie je ostrý. V tomto prípade musia existovať aspoň dva uhly, ktoré sú rovné alebo väčšie ako 90 stupňov. Ale potom bude súčet uhlov väčší ako 180 stupňov. Ale to nemôže byť, pretože podľa vety je súčet uhlov trojuholníka 180 ° - nič viac a nič menej. Toto bolo potrebné dokázať.
Nehnuteľnosť vo vonkajšom rohu
Aký je súčet vonkajších uhlov trojuholníka? Na túto otázku možno odpovedať jedným z dvoch spôsobov. Prvým je, že je potrebné nájsť súčet uhlov, ktoré sa berú po jednom v každom vrchole, teda tri uhly. Druhý znamená, že musíte nájsť súčet všetkých šiestich uhlov vo vrcholoch. Najprv sa pozrime na prvú možnosť. Trojuholník teda obsahuje šesť vonkajších rohov – dva na každom vrchole.
Každý pár má rovnaké uhly, pretože sú vertikálne:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Okrem toho je známe, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré sa s ním nepretínajú. Preto
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Z toho vyplýva, že súčet vonkajšíchrohy, ktoré sa berú po jednom v každom vrchole, sa budú rovnať:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Vzhľadom na to, že súčet uhlov je 180 stupňov, možno tvrdiť, že ∟A + ∟B + ∟C=180°. A to znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Ak sa použije druhá možnosť, súčet šiestich uhlov bude dvakrát väčší. To znamená, že súčet vonkajších uhlov trojuholníka bude:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Pravý trojuholník
Aký je súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka? Odpoveď na túto otázku opäť vyplýva z vety, ktorá hovorí, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov. A naše tvrdenie (vlastnosť) znie takto: v pravouhlom trojuholníku tvoria ostré uhly 90 stupňov. Dokážme jeho pravdivosť.
Dajme nám trojuholník KMN, v ktorom ∟Н=90°. Je potrebné dokázať, že ∟K + ∟M=90°.
Takže podľa vety o súčte uhlov ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Naša podmienka hovorí, že ∟Н=90°. Takže to dopadá, ∟K + ∟M + 90°=180°. To znamená, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. To sme museli dokázať.
Okrem vyššie uvedených vlastností pravouhlého trojuholníka môžete pridať nasledujúce:
- uhly, ktoré priliehajú k nohám, sú ostré;
- prepona je trojuholníková viac ako ktorákoľvek z nôh;
- súčet nôh je väčší ako prepona;
- nohatrojuholník, ktorý leží oproti uhlu 30 stupňov, je polovica prepony, to znamená, že sa rovná jej polovici.
Ďalšou vlastnosťou tohto geometrického útvaru je Pytagorova veta. Uvádza, že v trojuholníku s uhlom 90 stupňov (obdĺžnikový) sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony.
Súčet uhlov rovnoramenného trojuholníka
Predtým sme povedali, že rovnoramenný je mnohouholník s tromi vrcholmi, ktorý obsahuje dve rovnaké strany. Táto vlastnosť daného geometrického útvaru je známa: uhly na jeho základni sú rovnaké. Poďme to dokázať.
Vezmite si trojuholník KMN, ktorý je rovnoramenný, KN je jeho základňa.
Sme povinní dokázať, že ∟К=∟Н. Povedzme teda, že MA je osi nášho trojuholníka KMN. Trojuholník MCA, berúc do úvahy prvé znamienko rovnosti, sa rovná trojuholníku MCA. Podmienkou je totiž dané, že KM=NM, MA je spoločná strana, ∟1=∟2, keďže MA je os. Na základe skutočnosti, že tieto dva trojuholníky sú rovnaké, môžeme konštatovať, že ∟K=∟Н. Takže veta je dokázaná.
Nás však zaujíma, aký je súčet uhlov trojuholníka (rovnomerného). Keďže v tomto ohľade nemá svoje vlastné zvláštnosti, začneme z vety, o ktorej sme sa zmienili skôr. To znamená, že môžeme povedať, že ∟K + ∟M + ∟H=180° alebo 2 x ∟K + ∟M=180° (keďže ∟K=∟H). Túto vlastnosť nebudeme dokazovať, pretože samotná veta o súčte trojuholníka bola dokázaná skôr.
Ak nie je uvedené inakvlastnosti o uhloch trojuholníka, existujú aj také dôležité tvrdenia:
- v rovnoramennom trojuholníku je výška, ktorá bola znížená k základni, stredom, osou uhla, ktorý je medzi rovnakými stranami, ako aj osou symetrie jeho základne;
- mediány (osi, výšky), ktoré sú nakreslené po stranách takéhoto geometrického útvaru, sú rovnaké.
Rovnostranný trojuholník
Nazýva sa aj pravý, je to trojuholník so všetkými stranami rovnakými. Preto sú uhly tiež rovnaké. Každý z nich má 60 stupňov. Poďme dokázať túto vlastnosť.
Predpokladajme, že máme trojuholník KMN. Vieme, že KM=NM=KN. A to znamená, že podľa vlastnosti uhlov umiestnených na základni v rovnoramennom trojuholníku ∟К=∟М=∟Н. Keďže podľa vety je súčet uhlov trojuholníka ∟К + ∟М + ∟Н=180°, potom 3 x ∟К=180° alebo ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ H=60°. Tým je tvrdenie dokázané.
Ako môžete vidieť z vyššie uvedeného dôkazu založeného na vete, súčet uhlov rovnostranného trojuholníka, rovnako ako súčet uhlov akéhokoľvek iného trojuholníka, je 180 stupňov. Nie je potrebné znovu dokazovať túto vetu.
Existujú aj také vlastnosti charakteristické pre rovnostranný trojuholník:
- medián, os, výška v takomto geometrickom útvare sú rovnaké a ich dĺžka sa vypočíta ako (a x √3): 2;
- ak opíšete kruh okolo daného mnohouholníka, jeho polomer bude rovnakýrovná sa (a x √3): 3;
- ak vpíšete kruh do rovnostranného trojuholníka, jeho polomer bude (a x √3): 6;
- plocha tohto geometrického útvaru sa vypočíta podľa vzorca: (a2 x √3): 4.
Uhlový trojuholník
Podľa definície tupého trojuholníka je jeden z jeho uhlov medzi 90 a 180 stupňami. Ale vzhľadom na to, že ďalšie dva uhly tohto geometrického útvaru sú ostré, môžeme konštatovať, že nepresahujú 90 stupňov. Preto pri výpočte súčtu uhlov v tupom trojuholníku funguje veta o súčte uhlov o trojuholníku. Ukazuje sa, že na základe vyššie uvedenej vety môžeme bezpečne povedať, že súčet uhlov tupého trojuholníka je 180 stupňov. Túto vetu opäť nie je potrebné znovu dokazovať.
