Matematika pochádza zo staroveku. Vďaka nej architektúra, stavebníctvo a vojenská veda dali nové kolo vývoja, úspechy získané pomocou matematiky viedli k pohybu pokroku. Dodnes zostáva matematika hlavnou vedou, ktorá sa nachádza vo všetkých ostatných odvetviach.
Aby sa mohli vzdelávať, deti od prvého ročníka začínajú do tohto prostredia postupne splývať. Je veľmi dôležité porozumieť matematike, pretože sa v tej či onej miere vyskytuje u každého človeka počas jeho života. Tento článok bude analyzovať jeden z kľúčových prvkov – nájdenie a použitie derivátov. Nie každý si vie predstaviť, ako široko sa tento pojem používa. Zvážte viac ako 10 aplikácií derivátov v určitých oblastiach alebo vedách.
Aplikácia derivácie na štúdium funkcie
Derivácia je taká hranicapomer prírastku funkcie k prírastku jej argumentu, keď má exponent argumentu tendenciu k nule. Derivácia je nevyhnutná vec pri štúdiu funkcie. Napríklad sa môže použiť na určenie nárastu a poklesu posledne menovaného, extrémov, konvexnosti a konkávnosti. Diferenciálny počet je súčasťou povinného učebného plánu pre študentov 1. a 2. ročníka matematických univerzít.
Nuly rozsahu a funkcie
Prvá fáza akéhokoľvek štúdia grafu začína zistením domény definície, v zriedkavejších prípadoch hodnoty. Oblasť definície je nastavená pozdĺž osi x, inými slovami, toto sú číselné hodnoty na osi OX. Rozsah je často už nastavený, ale ak nie je, potom by sa mala vyhodnotiť hodnota argumentu x. Predpokladajme, že ak pre niektoré hodnoty argumentu funkcia nedáva zmysel, potom je tento argument vylúčený z rozsahu.
Nuly funkcie nájdeme jednoduchým spôsobom: funkcia f(x) by sa mala rovnať nule a výsledná rovnica by mala byť vyriešená vzhľadom na jednu premennú x. Získané korene rovnice sú nuly funkcie, to znamená, že v týchto x je funkcia 0.
Zvýšiť a znížiť
Použitie derivácie na štúdium funkcií pre monotónnosť možno zvážiť z dvoch pozícií. Monotónna funkcia je kategória, ktorá má iba kladné hodnoty derivácie alebo iba záporné hodnoty. Jednoducho povedané, funkcia sa počas celého skúmaného intervalu iba zvyšuje alebo znižuje:
- Zvýšiť parameter. Funkciaf(x) sa zvýši, ak je derivácia f`(x) väčšia ako nula.
- Zostupný parameter. Funkcia f(x) sa zníži, ak je derivácia f`(x) menšia ako nula.
Dotyčnica a sklon
Aplikáciu derivácie na štúdium funkcie určuje aj dotyčnica (priamka smerovaná pod uhlom) ku grafu funkcie v danom bode. Tangenta v bode (x0) - priamka, ktorá prechádza bodom a patrí do funkcie, ktorej súradnice sú (x0, f(x 0 )) a má sklon f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - rovnica dotyčnice k danému bodu grafu funkcie.
Geometrický význam derivácie: derivácia funkcie f(x) sa rovná sklonu vytvorenej dotyčnice ku grafu tejto funkcie v danom bode x. Uhlový koeficient sa zase rovná tangente uhla sklonu dotyčnice k osi OX (abscisa) v kladnom smere. Tento dôsledok je základom pre aplikáciu derivácie na graf funkcie.
Extrémne body
Aplikovanie derivátu na štúdiu zahŕňa nájdenie vysokých a nízkych bodov.
Ak chcete nájsť a určiť minimálny a maximálny počet bodov, musíte:
- Nájdite deriváciu funkcie f(x).
- Výslednú rovnicu nastavte na nulu.
- Nájdite korene rovnice.
- Nájdite najvyššie a najnižšie body.
Aby ste našli extrémyvlastnosti:
- Nájdite minimálny a maximálny počet bodov pomocou metódy vyššie.
- Nahraďte tieto body do pôvodnej rovnice a vypočítajte ymax a ymin
Maximálny bod funkcie je najväčšia hodnota funkcie f(x) na intervale, inými slovami xmax.
Minimálny bod funkcie je najmenšia hodnota funkcie f(x) na intervale, inými slovami xmeno
Extrémne body sú rovnaké ako maximálne a minimálne body a extrémy funkcie (ymax. a yminimum) - funkčné hodnoty, ktoré zodpovedajú extrémnym bodom.
Konvexnosť a konkávnosť
Konvexnosť a konkávnosť môžete určiť použitím derivácie na vykreslenie:
- Funkcia f(x) skúmaná na intervale (a, b) je konkávna, ak sa funkcia nachádza pod všetkými jej dotyčnicami v rámci tohto intervalu.
- Funkcia f(x) skúmaná na intervale (a, b) je konvexná, ak sa funkcia nachádza nad všetkými svojimi dotyčnicami vo vnútri tohto intervalu.
Bod, ktorý oddeľuje konvexnosť a konkávnosť, sa nazýva inflexný bod funkcie.
Na nájdenie inflexných bodov:
- Nájdite kritické body druhého druhu (druhá derivácia).
- Inflexné body sú tie kritické body, ktoré oddeľujú dve opačné znamienka.
- Vypočítajte hodnoty funkcií v inflexných bodoch funkcií.
Čiastočné deriváty
Aplikáciaexistujú deriváty tohto typu v problémoch, kde sa používa viac ako jedna neznáma premenná. Najčastejšie sa s takýmito deriváciami stretávame pri vykresľovaní funkčného grafu, presnejšie povedané plôch v priestore, kde sú namiesto dvoch osí tri, teda tri veličiny (dve premenné a jedna konštanta).
Základným pravidlom pri výpočte parciálnych derivácií je vybrať jednu premennú a zvyšok považovať za konštanty. Preto sa pri výpočte parciálnej derivácie stáva konštanta akoby číselnou hodnotou (v mnohých tabuľkách derivácií sú označované ako C=const). Význam takejto derivácie je rýchlosť zmeny funkcie z=f(x, y) pozdĺž osí OX a OY, to znamená, že charakterizuje strmosť priehlbín a vydutín zostrojeného povrchu.
Derivácia vo fyzike
Použitie derivátu vo fyzike je rozšírené a dôležité. Fyzikálny význam: derivácia dráhy vzhľadom na čas je rýchlosť a zrýchlenie je derivácia rýchlosti vzhľadom na čas. Z fyzikálneho významu možno mnohé odvetvia pritiahnuť k rôznym odvetviam fyziky, pričom sa úplne zachová význam derivátu.
Pomocou derivácie sa nájdu nasledujúce hodnoty:
- Rýchlosť v kinematike, kde sa počíta derivácia prejdenej vzdialenosti. Ak sa nájde druhá derivácia dráhy alebo prvá derivácia rýchlosti, nájde sa zrýchlenie telesa. Okrem toho je možné nájsť okamžitú rýchlosť hmotného bodu, ale na to je potrebné poznať prírastok ∆t a ∆r.
- V elektrodynamike:výpočet okamžitej sily striedavého prúdu, ako aj EMF elektromagnetickej indukcie. Výpočtom derivácie môžete nájsť maximálny výkon. Deriváciou množstva elektrického náboja je sila prúdu vo vodiči.
Derivácia v chémii a biológii
Chémia: Derivát sa používa na určenie rýchlosti chemickej reakcie. Chemický význam derivátu: funkcia p=p(t), v tomto prípade p je množstvo látky, ktoré vstúpi do chemickej reakcie za čas t. ∆t - časový prírastok, ∆p - prírastok látkového množstva. Hranica pomeru ∆p k ∆t, pri ktorej má ∆t tendenciu k nule, sa nazýva rýchlosť chemickej reakcie. Priemerná hodnota chemickej reakcie je pomer ∆p/∆t. Pri určovaní otáčok je potrebné presne poznať všetky potrebné parametre, podmienky, poznať súhrnný stav látky a prúdiaceho média. Toto je pomerne veľký aspekt v chémii, ktorý je široko používaný v rôznych priemyselných odvetviach a ľudských činnostiach.
Biológia: pojem derivát sa používa na výpočet priemernej miery reprodukcie. Biologický význam: máme funkciu y=x(t). ∆t - časový prírastok. Potom pomocou niektorých transformácií získame funkciu y`=P(t)=x`(t) - vitálnu aktivitu populácie času t (priemerná miera reprodukcie). Toto použitie derivátu vám umožňuje viesť štatistiky, sledovať mieru reprodukcie atď.
Derivácia v geografii a ekonómii
Derivácia umožňuje geografom rozhodnúťúlohy ako hľadanie populácie, výpočet hodnôt v seizmografii, výpočet rádioaktivity jadrových geofyzikálnych indikátorov, výpočet interpolácie.
V ekonómii je dôležitou súčasťou výpočtov diferenciálny počet a výpočet derivátu. V prvom rade nám to umožňuje určiť hranice potrebných ekonomických hodnôt. Napríklad najvyššia a najnižšia produktivita práce, náklady, zisky. V zásade sú tieto hodnoty vypočítané z funkčných grafov, kde nachádzajú extrémy, určujú monotónnosť funkcie v požadovanej oblasti.
Záver
Úloha tohto diferenciálneho počtu sa podieľa, ako je uvedené v článku, v rôznych vedeckých štruktúrach. Použitie derivačných funkcií je dôležitým prvkom v praktickej časti vedy a výroby. Nie nadarmo nás na strednej a vysokej škole učili vytvárať zložité grafy, skúmať funkcie a pracovať na nich. Ako vidíte, bez derivátov a diferenciálnych výpočtov by nebolo možné vypočítať dôležité ukazovatele a veličiny. Ľudstvo sa naučilo modelovať rôzne procesy a skúmať ich, riešiť zložité matematické problémy. Matematika je skutočne kráľovnou všetkých vied, pretože táto veda je základom všetkých ostatných prírodných a technických disciplín.
