Myslím, že by sme mali začať históriou takého slávneho matematického nástroja, akým sú diferenciálne rovnice. Ako všetky diferenciálne a integrálne počty, aj tieto rovnice vynašiel Newton na konci 17. storočia. Práve tento svoj objav považoval za taký dôležitý, že dokonca zašifroval správu, ktorá sa dnes dá preložiť asi takto: „Všetky zákony prírody sú popísané diferenciálnymi rovnicami.“Môže sa to zdať prehnané, ale je to tak. Každý zákon fyziky, chémie, biológie možno opísať týmito rovnicami.
Matematici Euler a Lagrange výrazne prispeli k rozvoju a vytvoreniu teórie diferenciálnych rovníc. Už v 18. storočí objavili a rozvinuli to, čo teraz študujú na vyšších kurzoch univerzít.
Nový míľnik v štúdiu diferenciálnych rovníc sa začal vďaka Henrimu Poincaremu. Vytvoril „kvalitatívnu teóriu diferenciálnych rovníc“, ktorá v kombinácii s teóriou funkcií komplexnej premennej významne prispela k základu topológie – vedy o priestore a jehovlastnosti.
Čo sú diferenciálne rovnice?
Veľa ľudí sa bojí jednej frázy „diferenciálna rovnica“. V tomto článku si však podrobne priblížime celú podstatu tohto veľmi užitočného matematického aparátu, ktorý v skutočnosti nie je taký zložitý, ako sa z názvu zdá. Aby ste mohli začať hovoriť o diferenciálnych rovniciach prvého rádu, mali by ste sa najskôr zoznámiť so základnými pojmami, ktoré s touto definíciou neodmysliteľne súvisia. A začneme s diferenciálom.
Diferenciálny
Mnohí tento pojem poznajú zo školy. Poďme sa na to však pozrieť bližšie. Predstavte si graf funkcie. Môžeme ho zväčšiť do takej miery, že ktorýkoľvek z jeho segmentov bude mať podobu priamky. Na ňom vezmeme dva body, ktoré sú nekonečne blízko seba. Rozdiel medzi ich súradnicami (x alebo y) bude nekonečne malá hodnota. Nazýva sa diferenciál a označuje sa znamienkami dy (diferenciál od y) a dx (diferenciál od x). Je veľmi dôležité pochopiť, že diferenciál nie je konečná hodnota, a to je jeho význam a hlavná funkcia.
A teraz musíme zvážiť ďalší prvok, ktorý nám bude užitočný pri vysvetľovaní konceptu diferenciálnej rovnice. Toto je derivát.
Derivative
Tento pojem sme asi všetci počuli v škole. Derivácia je rýchlosť rastu alebo poklesu funkcie. Avšak z tejto definícieveľa sa stáva nejasným. Skúsme vysvetliť deriváciu z hľadiska diferenciálov. Vráťme sa k nekonečne malému segmentu funkcie s dvoma bodmi, ktoré sú od seba v minimálnej vzdialenosti. Ale aj na túto vzdialenosť sa funkcia stihne o nejakú čiastku zmeniť. A na opísanie tejto zmeny prišli s deriváciou, ktorú možno inak zapísať ako pomer diferenciálov: f(x)'=df/dx.
Teraz stojí za to zvážiť základné vlastnosti derivátu. Sú len tri:
- Derivácia súčtu alebo rozdielu môže byť vyjadrená ako súčet alebo rozdiel derivátov: (a+b)'=a'+b' a (a-b)'=a'-b'.
- Druhá vlastnosť súvisí s násobením. Derivácia súčinu je súčtom súčinov jednej funkcie a derivácie druhej: (ab)'=a'b+ab'.
- Deriváciu rozdielu možno zapísať ako nasledujúcu rovnosť: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Všetky tieto vlastnosti budú užitočné pri hľadaní riešení diferenciálnych rovníc prvého rádu.
Existujú aj čiastočné deriváty. Povedzme, že máme funkciu z, ktorá závisí od premenných x a y. Na výpočet parciálnej derivácie tejto funkcie, povedzme, vzhľadom na x, musíme vziať premennú y ako konštantu a jednoducho ju diferencovať.
Integral
Ďalším dôležitým pojmom je integrál. V skutočnosti ide o priamy opak derivátu. Existuje niekoľko typov integrálov, ale na vyriešenie najjednoduchších diferenciálnych rovníc potrebujeme tie najtriviálnejšie neurčité integrály.
Čo je teda integrál? Povedzme, že máme nejakú závislosť fod x. Zoberieme z neho integrál a dostaneme funkciu F (x) (často nazývanú primitíva), ktorej derivácia sa rovná pôvodnej funkcii. Teda F(x)'=f(x). Z toho tiež vyplýva, že integrál derivácie sa rovná pôvodnej funkcii.
Pri riešení diferenciálnych rovníc je veľmi dôležité pochopiť význam a funkciu integrálu, pretože ich budete musieť veľmi často brať, aby ste našli riešenie.
Rovnice sa líšia v závislosti od ich povahy. V ďalšej časti zvážime typy diferenciálnych rovníc prvého rádu a potom sa naučíme, ako ich riešiť.
Triedy diferenciálnych rovníc
„Diffury“sú rozdelené podľa poradia derivátov, ktoré sú v nich zahrnuté. Existuje teda prvé, druhé, tretie a ďalšie poradie. Môžu byť tiež rozdelené do niekoľkých tried: obyčajné a čiastočné deriváty.
V tomto článku sa budeme zaoberať obyčajnými diferenciálnymi rovnicami prvého rádu. V nasledujúcich častiach si rozoberieme aj príklady a spôsoby ich riešenia. Budeme brať do úvahy iba ODR, pretože ide o najbežnejšie typy rovníc. Bežné sa delia na poddruhy: s oddeliteľnými premennými, homogénne a heterogénne. Ďalej sa dozviete, ako sa navzájom líšia a ako ich vyriešiť.
Okrem toho je možné tieto rovnice kombinovať, takže potom dostaneme systém diferenciálnych rovníc prvého rádu. Zvážime aj takéto systémy a naučíme sa ich riešiť.
Prečo zvažujeme iba prvú objednávku? Pretože musíte začať s jednoduchým a popísať všetko, čo súvisí s diferenciálomrovnice, v jednom článku je jednoducho nemožné.
Rovnice oddeliteľných premenných
Toto sú možno najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého rádu. Patria sem príklady, ktoré možno zapísať takto: y'=f(x)f(y). Na vyriešenie tejto rovnice potrebujeme vzorec na vyjadrenie derivácie ako pomeru diferenciálov: y'=dy/dx. Pomocou nej dostaneme nasledujúcu rovnicu: dy/dx=f(x)f(y). Teraz môžeme prejsť k metóde riešenia štandardných príkladov: premenné rozdelíme na časti, teda všetko s premennou y prenesieme do časti, kde sa nachádza dy, a to isté urobíme s premennou x. Získame rovnicu v tvare: dy/f(y)=f(x)dx, ktorá sa rieši zobratím integrálov oboch častí. Nezabudnite na konštantu, ktorú je potrebné nastaviť po zobratí integrálu.
Riešenie akéhokoľvek "rozdielu" je funkciou závislosti x na y (v našom prípade) alebo, ak existuje číselná podmienka, potom je odpoveď vo forme čísla. Rozoberme si celý priebeh riešenia na konkrétnom príklade:
y'=2ysin(x)
Posúvajte premenné rôznymi smermi:
dy/y=2sin(x)dx
Teraz vezmeme integrály. Všetky nájdete v špeciálnej tabuľke integrálov. A dostaneme:
ln(y)=-2cos(x) + C
V prípade potreby môžeme vyjadriť „y“ako funkciu „x“. Teraz môžeme povedať, že naša diferenciálna rovnica je vyriešená, ak nie je daná žiadna podmienka. Môže byť daná podmienka napríklad y(n/2)=e. Potom jednoducho dosadíme hodnotu týchto premenných do riešenia anájsť hodnotu konštanty. V našom príklade sa rovná 1.
Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu
Prejdime k zložitejšej časti. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu možno zapísať vo všeobecnom tvare takto: y'=z(x, y). Treba poznamenať, že správna funkcia dvoch premenných je homogénna a nemožno ju rozdeliť na dve závislosti: z na x a z na y. Kontrola, či je rovnica homogénna alebo nie, je celkom jednoduchá: vykonáme substitúciu x=kx a y=ky. Teraz rušíme všetky k. Ak sú všetky tieto písmená zmenšené, potom je rovnica homogénna a môžete bezpečne pokračovať v jej riešení. Keď sa pozrieme dopredu, povedzme: princíp riešenia týchto príkladov je tiež veľmi jednoduchý.
Potrebujeme vykonať substitúciu: y=t(x)x, kde t je nejaká funkcia, ktorá tiež závisí od x. Potom môžeme vyjadriť deriváciu: y'=t'(x)x+t. Dosadením tohto všetkého do našej pôvodnej rovnice a jej zjednodušením dostaneme príklad s oddeliteľnými premennými t a x. Vyriešime to a dostaneme závislosť t(x). Keď to dostaneme, jednoducho dosadíme y=t(x)x do našej predchádzajúcej náhrady. Potom dostaneme závislosť y od x.
Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na príklad: xy'=y-xey/x.
Pri kontrole s náhradou sa všetko zníži. Takže rovnica je skutočne homogénna. Teraz urobíme ďalšiu substitúciu, o ktorej sme hovorili: y=t(x)x a y'=t'(x)x+t(x). Po zjednodušení dostaneme nasledujúcu rovnicu: t'(x)x=-et. Výsledný príklad vyriešime oddelenými premennými a dostaneme: e-t=ln(Cx). Potrebujeme iba nahradiť t y/x (napokon, ak y=tx, tak t=y/x), a dostanemeodpoveď: e-y/x=ln(xC).
Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu
Je čas na ďalšiu veľkú tému. Budeme analyzovať nehomogénne diferenciálne rovnice prvého rádu. Čím sa líšia od predchádzajúcich dvoch? Poďme na to. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu vo všeobecnom tvare možno zapísať takto: y' + g(x)y=z(x). Stojí za to objasniť, že z(x) a g(x) môžu byť konštanty.
A teraz príklad: y' - yx=x2.
Existujú dva spôsoby, ako to vyriešiť, a my sa budeme zaoberať oboma v poradí. Prvým je metóda variácie ľubovoľných konštánt.
Aby ste rovnicu vyriešili týmto spôsobom, musíte najprv prirovnať pravú stranu k nule a vyriešiť výslednú rovnicu, ktorá po posunutí častí nadobudne tvar:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Teraz musíme nahradiť konštantu C1 funkciou v(x), ktorú musíme nájsť.
y=vex2/2.
Poďme zmeniť derivát:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
A nahraďte tieto výrazy do pôvodnej rovnice:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Na ľavej strane môžete vidieť, že dva výrazy sa rušia. Ak sa to v niektorom príklade nestalo, urobili ste niečo zle. Pokračovať:
v'ex2/2 =x2.
Teraz vyriešime obvyklú rovnicu, v ktorej musíme oddeliť premenné:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Ak chcete extrahovať integrál, musíme tu použiť integráciu po častiach. To však nie je témou nášho článku. Ak máte záujem, môžete sa naučiť vykonávať takéto akcie sami. Nie je to ťažké a s dostatočnou zručnosťou a pozornosťou to nezaberie veľa času.
Prejdime k druhej metóde riešenia nehomogénnych rovníc: Bernoulliho metóde. Ktorý prístup je rýchlejší a jednoduchší, je len na vás.
Pri riešení rovnice touto metódou musíme urobiť náhradu: y=kn. Tu k a n sú niektoré funkcie závislé od x. Potom bude derivácia vyzerať takto: y'=k'n+kn'. Dosaďte obe substitúcie do rovnice:
k'n+kn'+xkn=x2.
Skupina:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Teraz sa musíme rovnať nule, čo je v zátvorkách. Ak teraz skombinujete dve výsledné rovnice, získate systém diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktorý musíte vyriešiť:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Prvá rovnosť sa rieši ako normálna rovnica. Ak to chcete urobiť, musíte oddeliť premenné:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Vezmite integrál a získajte: ln(n)=x2/2. Potom, ak vyjadríme n:
n=ex2/2.
Teraz dosadíme výslednú rovnosť do druhej rovnice systému:
k'ex2/2=x2.
A transformáciou získame rovnakú rovnosť ako v prvej metóde:
dk=x2/ex2/2.
Nebudeme zachádzať ani do ďalších krokov. Stojí za zmienku, že najskôr riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu spôsobuje značné ťažkosti. Ako sa však ponoríte hlbšie do témy, začne to byť lepšie a lepšie.
Kde sa používajú diferenciálne rovnice?
Diferenciálne rovnice sa vo fyzike veľmi aktívne používajú, pretože takmer všetky základné zákony sú napísané v diferenciálnej forme a vzorce, ktoré vidíme, sú riešením týchto rovníc. V chémii sa používajú z rovnakého dôvodu: sú z nich odvodené základné zákony. V biológii sa diferenciálne rovnice používajú na modelovanie správania systémov, ako je predátor-korisť. Môžu byť tiež použité na vytvorenie reprodukčných modelov, povedzme, kolónie mikroorganizmov.
Ako pomôžu diferenciálne rovnice v živote?
Odpoveď na túto otázku je jednoduchá: v žiadnom prípade. Ak nie ste vedec alebo inžinier, je nepravdepodobné, že by pre vás boli užitočné. Pre všeobecný vývoj však nezaškodí vedieť, čo je diferenciálna rovnica a ako sa rieši. A potom otázka syna alebo dcéry "čo je diferenciálna rovnica?" nebude ťa zmiasť. No, ak ste vedec alebo inžinier, potom sami chápete dôležitosť tejto témy v akejkoľvek vede. Najdôležitejšie však je, že teraz vyvstáva otázka "ako vyriešiť diferenciálnu rovnicu prvého rádu?" vždy môžeš odpovedať. Súhlasím, vždy je to peknékeď pochopíte, čo sa ľudia dokonca boja pochopiť.
Hlavné problémy s učením
Hlavným problémom pri pochopení tejto témy je slabá zručnosť integrovania a diferenciácie funkcií. Ak ste zlí v preberaní derivácií a integrálov, potom by ste sa pravdepodobne mali naučiť viac, ovládať rôzne metódy integrácie a diferenciácie a až potom začať študovať látku, ktorá bola popísaná v článku.
Niektorí ľudia sú prekvapení, keď zistia, že dx sa dá preniesť, pretože skôr (v škole) sa uvádzalo, že zlomok dy/dx je nedeliteľný. Tu si musíte prečítať literatúru o derivácii a pochopiť, že je to pomer nekonečne malých veličín, s ktorými možno pri riešení rovníc manipulovať.
Mnohí si hneď neuvedomia, že riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu je často funkciou alebo integrálom, ktorý nemožno vziať, a tento klam im robí veľa problémov.
Čo ešte možno študovať na lepšie pochopenie?
Najlepšie je začať s ďalším ponorením sa do sveta diferenciálneho počtu so špecializovanými učebnicami, napríklad v kalkule pre študentov nematematických odborov. Potom môžete prejsť na odbornejšiu literatúru.
Treba povedať, že okrem diferenciálnych rovníc existujú aj integrálne rovnice, takže vždy sa budete mať o čo snažiť a čo študovať.
Záver
Dúfame, že po prečítaníTento článok vám dal predstavu o tom, čo sú diferenciálne rovnice a ako ich správne vyriešiť.
V každom prípade sa nám matematika v živote bude nejako hodiť. Rozvíja logiku a pozornosť, bez ktorej je každý človek ako bez rúk.
