Mechanický systém, ktorý pozostáva z hmotného bodu (telesa) visiaceho na neroztiahnuteľnom beztiažovom vlákne (jeho hmotnosť je zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou telesa) v rovnomernom gravitačnom poli sa nazýva matematické kyvadlo (iný názov je oscilátor). Existujú aj iné typy tohto zariadenia. Namiesto závitu možno použiť beztiažovú tyč. Matematické kyvadlo dokáže jasne odhaliť podstatu mnohých zaujímavých javov. S malou amplitúdou oscilácie sa jej pohyb nazýva harmonický.
Prehľad mechanického systému
Vzorec pre periódu oscilácie tohto kyvadla odvodil holandský vedec Huygens (1629-1695). Tento súčasník I. Newtona si tento mechanický systém veľmi obľúbil. V roku 1656 vytvoril prvé kyvadlové hodiny. Čas merali výnimočnena tie časy presnosť. Tento vynález sa stal významným míľnikom vo vývoji fyzikálnych experimentov a praktických činností.
Ak je kyvadlo v rovnováhe (visí vertikálne), potom bude sila gravitácie vyvážená silou napätia nite. Ploché kyvadlo na neroztiahnuteľnom závite je sústava s dvomi stupňami voľnosti so spojom. Keď zmeníte iba jeden komponent, zmenia sa vlastnosti všetkých jeho častí. Ak je teda závit nahradený tyčou, potom bude mať tento mechanický systém iba 1 stupeň voľnosti. Aké vlastnosti má matematické kyvadlo? V tomto najjednoduchšom systéme vzniká chaos pod vplyvom periodickej poruchy. V prípade, že sa závesný bod nepohybuje, ale kmitá, má kyvadlo novú rovnovážnu polohu. Rýchlymi osciláciami nahor a nadol získava tento mechanický systém stabilnú polohu hore nohami. Má aj svoje meno. Nazýva sa Kapitzovo kyvadlo.
Vlastnosti kyvadla
Matematické kyvadlo má veľmi zaujímavé vlastnosti. Všetky sú potvrdené známymi fyzikálnymi zákonmi. Doba kmitania akéhokoľvek iného kyvadla závisí od rôznych okolností, ako je veľkosť a tvar tela, vzdialenosť medzi bodom zavesenia a ťažiskom, rozloženie hmotnosti vzhľadom na tento bod. Preto je určenie doby zavesenia tela pomerne náročná úloha. Je oveľa jednoduchšie vypočítať periódu matematického kyvadla, ktorého vzorec bude uvedený nižšie. V dôsledku pozorovaní podobnýchmechanické systémy môžu vytvoriť nasledujúce vzory:
• Ak pri zachovaní rovnakej dĺžky kyvadla zavesíme rôzne závažia, potom bude perióda ich kmitov rovnaká, hoci ich hmotnosti sa budú značne líšiť. Preto perióda takéhoto kyvadla nezávisí od hmotnosti bremena.
• Ak sa pri spustení systému kyvadlo vychýli o nie príliš veľké, ale rôzne uhly, začne oscilovať s rovnakou periódou, ale s rôznymi amplitúdami. Pokiaľ odchýlky od stredu rovnováhy nie sú príliš veľké, budú oscilácie v ich forme dosť blízke harmonickým. Perióda takéhoto kyvadla nijako nezávisí od amplitúdy kmitania. Táto vlastnosť tohto mechanického systému sa nazýva izochronizmus (v preklade z gréckeho "chronos" - čas, "isos" - rovný).
Obdobie matematického kyvadla
Tento indikátor predstavuje obdobie prirodzených oscilácií. Napriek zložitej formulácii je samotný proces veľmi jednoduchý. Ak je dĺžka závitu matematického kyvadla L a zrýchlenie voľného pádu je g, potom je táto hodnota:
T=2π√L/g
Perióda malých vlastných kmitov v žiadnom prípade nezávisí od hmotnosti kyvadla a amplitúdy kmitov. V tomto prípade sa kyvadlo pohybuje ako matematické kyvadlo so zmenšenou dĺžkou.
Výkyvy matematického kyvadla
Matematické kyvadlo kmitá, čo možno opísať jednoduchou diferenciálnou rovnicou:
x + ω2 sin x=0, kde x (t) je neznáma funkcia (toto je uhol odchýlky od dolnejrovnovážna poloha v čase t, vyjadrená v radiánoch); ω je kladná konštanta, ktorá je určená z parametrov kyvadla (ω=√g/L, kde g je zrýchlenie voľného pádu a L je dĺžka matematického kyvadla (odpruženia).
Rovnica malých fluktuácií v blízkosti rovnovážnej polohy (harmonická rovnica) vyzerá takto:
x + ω2 sin x=0
Kmitavé pohyby kyvadla
Matematické kyvadlo, ktoré vytvára malé oscilácie pohybujúce sa pozdĺž sínusoidy. Diferenciálna rovnica druhého rádu spĺňa všetky požiadavky a parametre takéhoto pohybu. Ak chcete určiť trajektóriu, musíte zadať rýchlosť a súradnicu, z ktorej sa potom určia nezávislé konštanty:
x=hriech (θ0 + ωt), kde θ0 je počiatočná fáza, A je amplitúda oscilácie, ω je cyklická frekvencia určená z pohybovej rovnice.
Matematické kyvadlo (vzorce pre veľké amplitúdy)
Tento mechanický systém, ktorý robí svoje oscilácie s výraznou amplitúdou, sa riadi zložitejšími zákonmi pohybu. Pre takéto kyvadlo sa vypočítajú podľa vzorca:
sin x/2=usn(ωt/u), kde sn je Jacobiho sínus, ktorý pre u < 1 je periodická funkcia a pre malé u sa zhoduje s jednoduchým trigonometrickým sínusom. Hodnota u je určená nasledujúcim výrazom:
u=(ε + ω2)/2ω2, kde ε=E/mL2 (mL2 je energia kyvadla).
Určenie periódy oscilácie nelineárneho kyvadlavykonaná podľa vzorca:
T=2π/Ω, kde Ω=π/2ω/2K(u), K je eliptický integrál, π - 3, 14.
Pohyb kyvadla pozdĺž separatrix
Separatrix je trajektória dynamického systému s dvojrozmerným fázovým priestorom. Matematické kyvadlo sa po ňom pohybuje neperiodicky. V nekonečne vzdialenom časovom okamihu padá z krajnej hornej polohy na stranu s nulovou rýchlosťou, potom ju postupne naberá. Nakoniec sa zastaví a vráti sa do pôvodnej polohy.
Ak sa amplitúda kmitov kyvadla blíži k číslu π, znamená to, že pohyb vo fázovej rovine sa približuje k separatrixe. V tomto prípade, pri pôsobení malej hnacej periodickej sily, mechanický systém vykazuje chaotické správanie.
Keď sa matematické kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, vznikne tangenciálna sila gravitácie Fτ=–mg sin φ. Znamienko mínus znamená, že táto tangenciálna zložka smeruje opačným smerom ako výchylka kyvadla. Keď posun kyvadla po oblúku kružnice s polomerom L označíme x, jeho uhlový posun sa rovná φ=x/L. Druhý zákon Isaaca Newtona, navrhnutý pre projekcie vektora zrýchlenia a sily, poskytne požadovanú hodnotu:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Na základe tohto pomeru je jasné, že toto kyvadlo je nelineárny systém, pretože sila, ktorá sa snaží vrátiťto k rovnovážnej polohe, je vždy úmerné nie posunutiu x, ale sin x/L.
Len keď matematické kyvadlo robí malé oscilácie, ide o harmonický oscilátor. Inými slovami, stáva sa mechanickým systémom schopným vykonávať harmonické vibrácie. Táto aproximácia je prakticky platná pre uhly 15–20°. Kmity kyvadla s veľkými amplitúdami nie sú harmonické.
Newtonov zákon pre malé kmity kyvadla
Ak tento mechanický systém vykonáva malé vibrácie, Newtonov 2. zákon bude vyzerať takto:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Na základe toho môžeme konštatovať, že tangenciálne zrýchlenie matematického kyvadla je úmerné jeho posunutiu so znamienkom mínus. Toto je stav, vďaka ktorému sa systém stáva harmonickým oscilátorom. Modul proporcionálneho zosilnenia medzi posunom a zrýchlením sa rovná druhej mocnine kruhovej frekvencie:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
Tento vzorec odráža prirodzenú frekvenciu malých kmitov tohto typu kyvadla. Na základe toho
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Výpočty založené na zákone zachovania energie
Vlastnosti oscilačných pohybov kyvadla možno opísať aj pomocou zákona zachovania energie. V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy, že potenciálna energia kyvadla v gravitačnom poli je:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Celková mechanická energiarovná sa kinetickému alebo maximálnemu potenciálu: Epmax=Ekmsx=E
Po napísaní zákona zachovania energie zoberte deriváciu pravej a ľavej strany rovnice:
Ep + Ek=const
Keďže derivácia konštantných hodnôt je 0, potom (Ep + Ek)'=0. Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, teda:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Na základe posledného vzorca zistíme: α=- g/Lx.
Praktická aplikácia matematického kyvadla
Zrýchlenie voľného pádu sa mení v závislosti od zemepisnej šírky, pretože hustota zemskej kôry na celej planéte nie je rovnaká. Tam, kde sa vyskytujú horniny s vyššou hustotou, bude o niečo vyššia. Zrýchlenie matematického kyvadla sa často používa na geologický prieskum. Používa sa na vyhľadávanie rôznych minerálov. Jednoducho spočítaním počtu výkyvov kyvadla môžete nájsť uhlie alebo rudu v útrobách Zeme. Je to spôsobené tým, že takéto fosílie majú hustotu a hmotnosť väčšiu ako voľné horniny pod nimi.
Matematické kyvadlo používali takí významní vedci ako Sokrates, Aristoteles, Platón, Plutarchos, Archimedes. Mnohí z nich verili, že tento mechanický systém môže ovplyvniť osud a život človeka. Archimedes použil pri svojich výpočtoch matematické kyvadlo. V súčasnosti je veľa okultistov a jasnovidcovpoužite tento mechanický systém na splnenie ich proroctiev alebo hľadanie nezvestných ľudí.
Slávny francúzsky astronóm a prírodovedec K. Flammarion použil na svoj výskum aj matematické kyvadlo. Tvrdil, že s jeho pomocou dokázal predpovedať objavenie novej planéty, objavenie sa tunguzského meteoritu a ďalšie dôležité udalosti. Počas druhej svetovej vojny v Nemecku (Berlín) pracoval špecializovaný inštitút kyvadla. Dnes sa podobným výskumom venuje Mníchovský parapsychologický ústav. Zamestnanci tejto inštitúcie nazývajú svoju prácu s kyvadlom „radiestézia“.
