Pri štúdiu správania sa plynov vo fyzike často vznikajú problémy s určením energie v nich uloženej, ktorú možno teoreticky použiť na vykonanie nejakej užitočnej práce. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou, aké vzorce možno použiť na výpočet vnútornej energie ideálneho plynu.
Koncept ideálneho plynu
Pri riešení problémov so systémami v tomto stave agregácie je dôležité jasné pochopenie konceptu ideálneho plynu. Akýkoľvek plyn má tvar a objem nádoby, v ktorej je umiestnený, avšak nie každý plyn je ideálny. Napríklad vzduch možno považovať za zmes ideálnych plynov, kým vodnú paru nie. Aký je zásadný rozdiel medzi skutočnými plynmi a ich ideálnym modelom?
Odpoveďou na otázku budú tieto dve funkcie:
- pomer medzi kinetickou a potenciálnou energiou molekúl a atómov, ktoré tvoria plyn;
- pomer medzi lineárnymi veľkosťami častícplyn a priemerná vzdialenosť medzi nimi.
Plyn sa považuje za ideálny iba vtedy, ak je priemerná kinetická energia jeho častíc neúmerne väčšia ako väzbová energia medzi nimi. Rozdiel medzi týmito energiami je taký, že môžeme predpokladať, že interakcia medzi časticami úplne chýba. Ideálny plyn sa tiež vyznačuje absenciou rozmerov jeho častíc, alebo skôr, tieto rozmery možno ignorovať, pretože sú oveľa menšie ako priemerné medzičasticové vzdialenosti.
Dobrými empirickými kritériami na určenie ideálnosti plynového systému sú jeho termodynamické charakteristiky, ako je teplota a tlak. Ak je prvá väčšia ako 300 K a druhá je menšia ako 1 atmosféra, potom každý plyn môže byť považovaný za ideálny.
Aká je vnútorná energia plynu?
Pred zapísaním vzorca pre vnútornú energiu ideálneho plynu musíte túto charakteristiku bližšie spoznať.
V termodynamike sa vnútorná energia zvyčajne označuje latinským písmenom U. Vo všeobecnom prípade je určená nasledujúcim vzorcom:
U=H - PV
Kde H je entalpia systému, P a V sú tlak a objem.
Vo fyzikálnom význame sa vnútorná energia skladá z dvoch zložiek: kinetickej a potenciálnej. Prvý je spojený s rôznymi druhmi pohybu častíc systému a druhý - so silovou interakciou medzi nimi. Ak použijeme túto definíciu na koncept ideálneho plynu, ktorý nemá žiadnu potenciálnu energiu, potom hodnota U v akomkoľvek stave systému bude presne rovná jeho kinetickej energii, teda:
U=Ek.
Odvodenie vzorca vnútornej energie
Vyššie sme zistili, že na jeho určenie pre systém s ideálnym plynom je potrebné vypočítať jeho kinetickú energiu. Z priebehu všeobecnej fyziky je známe, že energia častice s hmotnosťou m, ktorá sa pohybuje vpred určitým smerom rýchlosťou v, je určená vzorcom:
Ek1=mv2/2.
Dá sa použiť aj na častice plynu (atómy a molekuly), je však potrebné urobiť niekoľko poznámok.
Po prvé, rýchlosť v treba chápať ako nejakú priemernú hodnotu. Faktom je, že častice plynu sa pohybujú rôznymi rýchlosťami podľa Maxwell-Boltzmannovho rozdelenia. Ten umožňuje určiť priemernú rýchlosť, ktorá sa v priebehu času nemení, ak na systém nepôsobia žiadne vonkajšie vplyvy.
Po druhé, vzorec pre Ek1 predpokladá energiu na stupeň voľnosti. Častice plynu sa môžu pohybovať vo všetkých troch smeroch a tiež rotovať v závislosti od ich štruktúry. Aby sa zohľadnil stupeň voľnosti z, mal by sa vynásobiť Ek1, t.j.:
Ek1z=z/2mv2.
Kinetická energia celého systému Ek je N-krát väčšia ako Ek1z, kde N je celkový počet častíc plynu. Potom pre U dostaneme:
U=z/2Nmv2.
Podľa tohto vzorca je zmena vnútornej energie plynu možná len vtedy, ak sa zmení počet častíc N vsystému alebo ich priemerná rýchlosť v.
Vnútorná energia a teplota
Aplikovaním ustanovení molekulárnej kinetickej teórie ideálneho plynu môžeme získať nasledujúci vzorec pre vzťah medzi priemernou kinetickou energiou jednej častice a absolútnou teplotou:
mv2/2=1/2kBT.
Tu kB je Boltzmannova konštanta. Nahradením tejto rovnosti do vzorca pre U získaného v predchádzajúcom odseku sa dostaneme k nasledujúcemu výrazu:
U=z/2NkBT.
Tento výraz je možné prepísať z hľadiska množstva látky n a plynovej konštanty R v nasledujúcom tvare:
U=z/2nR T.
V súlade s týmto vzorcom je možná zmena vnútornej energie plynu, ak sa zmení jeho teplota. Hodnoty U a T na sebe závisia lineárne, to znamená, že graf funkcie U(T) je priamka.
Ako ovplyvňuje štruktúra častice plynu vnútornú energiu systému?
Štruktúra častice plynu (molekuly) sa vzťahuje na počet atómov, ktoré ju tvoria. Zohráva rozhodujúcu úlohu pri nahradení zodpovedajúceho stupňa voľnosti z vo vzorci za U. Ak je plyn monatomický, vzorec pre vnútornú energiu plynu je:
U=3/2nRT.
Odkiaľ pochádza hodnota z=3? Jeho vzhľad je spojený iba s tromi stupňami voľnosti, ktoré má atóm, pretože sa môže pohybovať iba v jednom z troch priestorových smerov.
Ak je dvojatómovýmolekula plynu, potom by sa mala vnútorná energia vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
U=5/2nRT.
Ako vidíte, dvojatómová molekula má už 5 stupňov voľnosti, z ktorých 3 sú translačné a 2 rotačné (v súlade s geometriou molekuly sa môže otáčať okolo dvoch vzájomne kolmých osí).
Nakoniec, ak je plyn tri alebo viac atómový, potom platí nasledujúci výraz pre U:
U=3nRT.
Komplexné molekuly majú 3 translačné a 3 rotačné stupne voľnosti.
Príklad problému
Pod piestom je monatomický plyn s tlakom 1 atmosféry. V dôsledku zahrievania sa plyn rozšíril tak, že jeho objem sa zväčšil z 2 litrov na 3. Ako sa zmenila vnútorná energia plynového systému, ak bol proces expanzie izobarický.
Na vyriešenie tohto problému vzorce uvedené v článku nestačia. Je potrebné pripomenúť stavovú rovnicu pre ideálny plyn. Vyzerá to takto.
Keďže piest uzatvára valec plynom, množstvo látky n zostáva počas procesu expanzie konštantné. Pri izobarickom procese sa teplota mení priamo úmerne k objemu sústavy (Karlesov zákon). To znamená, že vzorec uvedený vyššie by bol:
PΔV=nRΔT.
Potom výraz pre vnútornú energiu monatomického plynu bude mať tvar:
ΔU=3/2PΔV.
Nahradením hodnôt zmeny tlaku a objemu v jednotkách SI do tejto rovnice dostaneme odpoveď: ΔU ≈ 152 J.
