Zjednodušene a stručne povedané, rozsah sú hodnoty, ktoré môže nadobudnúť každá funkcia. Aby ste mohli naplno preskúmať túto tému, musíte postupne rozoberať nasledujúce body a koncepty. Najprv pochopme definíciu funkcie a históriu jej vzhľadu.
Čo je funkcia
Všetky exaktné vedy nám poskytujú mnoho príkladov, kde príslušné premenné závisia nejakým spôsobom jedna od druhej. Napríklad hustota látky je úplne určená jej hmotnosťou a objemom. Tlak ideálneho plynu pri konštantnom objeme sa mení s teplotou. Tieto príklady spája skutočnosť, že všetky vzorce majú závislosti medzi premennými, ktoré sa nazývajú funkcionálne.
Funkcia je pojem, ktorý vyjadruje závislosť jednej veličiny od druhej. Má tvar y=f(x), kde y je hodnota funkcie, ktorá závisí od x - argumentu. Môžeme teda povedať, že y je premenná závislá od hodnoty x. Hodnoty, ktoré môže mať x spolu, súobor danej funkcie (D(y) alebo D(f)), a teda hodnoty y tvoria množinu funkčných hodnôt (E(f) alebo E(y)). Sú prípady, keď je funkcia daná nejakým vzorcom. V tomto prípade doména definície pozostáva z hodnoty takých premenných, v ktorých má zápis so vzorcom zmysel.
Existujú zhodné alebo rovnaké funkcie. Toto sú dve funkcie, ktoré majú rovnaké rozsahy platných hodnôt, ako aj hodnoty samotnej funkcie sú rovnaké pre všetky rovnaké argumenty.
Mnohé zákony exaktných vied sú pomenované podobne ako situácie v reálnom živote. Existuje taký zaujímavý fakt aj o matematickej funkcii. Existuje teorém o limite funkcie „vloženej“medzi dve ďalšie, ktoré majú rovnakú limitu – o dvoch policajtoch. Vysvetľujú to takto: keďže dvaja policajti vedú väzňa do cely medzi nimi, zločinec je nútený tam ísť a jednoducho nemá na výber.
Odkaz na historickú funkciu
Koncept funkcie sa nestal okamžite konečným a presným, prešiel dlhou cestou. Po prvé, Fermatov úvod a štúdium rovinných a pevných miest, publikovaný koncom 17. storočia, uviedol toto:
Vždy, keď sú v konečnej rovnici dve neznáme, je tu miesto.
Vo všeobecnosti táto práca hovorí o funkčnej závislosti a jej hmotnom obraze (miesto=čiara).
Približne v rovnakom čase študoval čiary podľa ich rovníc aj Rene Descartes vo svojom diele „Geometria“(1637), kde sa opäťzávislosť dvoch veličín na sebe.
Samotná zmienka o pojme „funkcia“sa objavila až koncom 17. storočia u Leibniza, nie však v jeho modernej interpretácii. Vo svojej vedeckej práci považoval funkciu za rôzne segmenty spojené so zakrivenou čiarou.
No už v 18. storočí sa funkcia začala definovať správnejšie. Bernoulli napísal toto:
Funkcia je hodnota zložená z premennej a konštanty.
Eulerove myšlienky boli tiež blízko tomuto:
Funkcia premennej veličiny je analytický výraz vytvorený nejakým spôsobom z tejto premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín.
Keď niektoré veličiny závisia od iných takým spôsobom, že keď sa tie druhé zmenia, zmenia sa aj ony samé, potom sa prvé nazývajú funkciami tých druhých.
Graf funkcií
Graf funkcie pozostáva zo všetkých bodov patriacich k osám súradnicovej roviny, ktorých úsečky majú hodnoty argumentu a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú ordináty.
Rozsah funkcie priamo súvisí s jej grafom, pretože ak sú niektoré úsečky vylúčené z rozsahu platných hodnôt, musíte na grafe nakresliť prázdne body alebo graf nakresliť v rámci určitých limitov. Napríklad, ak sa vezme graf v tvare y=tgx, potom hodnota x=pi / 2 + pin, n∉R je vylúčená z oblasti definície, v prípade tangentového grafu je potrebné nakresliťzvislé čiary rovnobežné s osou y (nazývajú sa asymptoty) prechádzajúce bodmi ±pi/2.
Akékoľvek dôkladné a starostlivé štúdium funkcií predstavuje veľkú časť matematiky nazývanú kalkul. V elementárnej matematike sa dotýkajú aj elementárnych otázok o funkciách, napríklad zostavenie jednoduchého grafu a stanovenie niektorých základných vlastností funkcie.
Akú funkciu je možné nastaviť
Funkcia môže:
- byť vzorca, napríklad: y=cos x;
- nastavené ľubovoľnou tabuľkou párov tvaru (x; y);
- majte okamžite grafické zobrazenie, preto musia byť na súradnicových osiach zobrazené dvojice z predchádzajúcej položky formulára (x; y).
Pri riešení niektorých problémov na vysokej úrovni buďte opatrní, takmer každý výraz možno považovať za funkciu vzhľadom na nejaký argument pre hodnotu funkcie y (x). Nájdenie domény definície v takýchto úlohách môže byť kľúčom k riešeniu.
Aký je rozsah?
Prvá vec, ktorú potrebujete vedieť o funkcii, aby ste ju mohli študovať alebo zostaviť, je jej rozsah. Graf by mal obsahovať len tie body, kde môže funkcia existovať. Doménu definície (x) možno označovať aj ako doménu prijateľných hodnôt (skrátene ODZ).
Ak chcete správne a rýchlo zostaviť graf funkcií, musíte poznať doménu tejto funkcie, pretože od nej závisí vzhľad grafu a vernosťvýstavby. Ak chcete napríklad zostrojiť funkciu y=√x, musíte vedieť, že x môže nadobúdať iba kladné hodnoty. Preto je postavený iba v prvom súradnicovom kvadrante.
Rozsah definície na príklade elementárnych funkcií
Matematika má vo svojom arzenáli malý počet jednoduchých, definovaných funkcií. Majú obmedzený rozsah. Riešenie tohto problému nespôsobí ťažkosti, aj keď máte pred sebou takzvanú komplexnú funkciu. Je to len kombinácia niekoľkých jednoduchých.
- Funkcia teda môže byť zlomková, napríklad: f(x)=1/x. Teda premenná (náš argument) je v menovateli a každý vie, že menovateľ zlomku nemôže byť rovný 0, preto argument môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu okrem 0. Zápis bude vyzerať takto: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ak je v menovateli nejaký výraz s premennou, musíte vyriešiť rovnicu pre x a vylúčiť hodnoty, ktoré meniteľa otočia na 0. Na schematické znázornenie stačí 5 dobre zvolených bodov. Grafom tejto funkcie bude hyperbola s vertikálnou asymptotou prechádzajúcou bodom (0; 0) a v kombinácii osami Ox a Oy. Ak sa grafický obrázok pretína s asymptotami, potom sa takáto chyba bude považovať za najhrubšiu.
- Aká je však doména koreňa? Definičný obor funkcie s radikálnym výrazom (f(x)=√(2x + 5)), ktorý obsahuje premennú, má tiež svoje nuansy (platí len pre koreň párneho stupňa). Akoaritmetický koreň je kladný výraz alebo rovný 0, potom koreňový výraz musí byť väčší alebo rovný 0, riešime nasledujúcu nerovnosť: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, teda definičný obor tohto funkcia: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graf je jednou z vetiev paraboly, otočenej o 90 stupňov a nachádza sa v prvom súradnicovom kvadrante.
- Ak máme čo do činenia s logaritmickou funkciou, mali by ste si uvedomiť, že existuje obmedzenie týkajúce sa základu logaritmu a výrazu pod znamienkom logaritmu, v tomto prípade môžete nájsť doménu definície ako nasleduje. Máme funkciu: y=loga(x + 7), riešime nerovnosť: x + 7 > 0, x > -7. Potom je definičný obor tejto funkcie D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Venujte pozornosť aj goniometrickým funkciám tvaru y=tgx a y=ctgx, keďže y=tgx=sinx/cos/x a y=ctgx=cosx/sinx, preto musíte hodnoty vylúčiť pri ktorej sa menovateľ môže rovnať nule. Ak poznáte grafy goniometrických funkcií, pochopenie ich domény je jednoduchá úloha.
Ako sa líši práca s komplexnými funkciami
Pamätajte na niekoľko základných pravidiel. Ak pracujeme s komplexnou funkciou, tak netreba niečo riešiť, zjednodušovať, sčítavať zlomky, redukovať na najmenšieho spoločného menovateľa a extrahovať odmocniny. Túto funkciu musíme preskúmať, pretože rôzne (aj rovnaké) operácie môžu zmeniť rozsah funkcie, čo vedie k nesprávnej odpovedi.
Máme napríklad komplexnú funkciu: y=(x2 - 4)/(x - 2). Čitateľ a menovateľ zlomku nemôžeme zmenšiť, keďže je to možné len vtedy, ak x ≠ 2, a to je úlohou nájsť definičný obor funkcie, preto čitateľa nefaktorujeme a neriešime žiadne nerovnice, pretože hodnota, pri ktorej funkcia neexistuje, viditeľná voľným okom. V tomto prípade x nemôže nadobudnúť hodnotu 2, keďže menovateľ nemôže ísť na 0, zápis bude vyzerať takto: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Recipročné funkcie
Na začiatok stojí za to povedať, že funkcia sa môže stať reverzibilnou iba v intervale zvyšovania alebo znižovania. Aby ste našli inverznú funkciu, musíte zameniť x a y v zápise a vyriešiť rovnicu pre x. Domény definície a domény hodnoty sú jednoducho obrátené.
Hlavnou podmienkou reverzibility je monotónny interval funkcie, ak má funkcia intervaly zvyšovania a znižovania, potom je možné zostaviť inverznú funkciu ľubovoľného intervalu (rastúceho alebo klesajúceho).
Napríklad pre exponenciálnu funkciu y=exrecipročná je prirodzená logaritmická funkcia y=logea=lna. Pre trigonometriu to budú funkcie s predponou arc-: y=sinx a y=arcsinx atď. Grafy budú umiestnené symetricky vzhľadom na niektoré osi alebo asymptoty.
Závery
Hľadanie rozsahu prijateľných hodnôt spočíva v skúmaní grafu funkcií (ak nejaký existuje),zaznamenávanie a riešenie potrebného špecifického systému nerovností.
Tento článok vám teda pomohol pochopiť, na čo slúži rozsah funkcie a ako ju nájsť. Dúfame, že vám pomôže dobre porozumieť kurzu základnej školy.
